（全国通用）高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第3节 圆的方程学案 文 新人教A

1、1第第 3 3 节节圆的方程圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知 识 梳 理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：D2，E2半径r12D2E24F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)drM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)drM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)drM在圆内，即(x0a)

2、2(y0b)2r2M在圆内.常用结论与微点提醒1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2y2r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.3.求轨迹方程和求轨迹是有区别的， 求轨迹方程得出方程即可， 而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2y24mx2y5m0 表示圆.()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E224AF0.()解析(2

3、)当a0 时，x2y2a2表示点(0，0)；当a0 时，表示半径为|a|的圆.(3)当(4m)2(2)245m0，即m14或m1 时表示圆.答案(1)(2)(3)(4)2.若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数a的取值范围是()A.(1，1)B.(0，1)C.(，1)(1，)D.a1解析因为点(1，1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0)，将P，Q两点的坐标分别代入得2D4EF20，3DEF10.又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，得D24F36，4联立，解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4

4、y80 或x2y26x8y0.答案(1)(x3)2y22(2)x2y22x4y80 或x2y26x8y0规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法， 通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时， 常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练 1】 (1)(2018兰州诊断)半径为 2 的圆C的圆心在第四象限，且与直线x0 和xy22均相切，则该圆的标准方程为()A.(x1)2(y2)24B.(x2)2(y

5、2)22C.(x2)2(y2)24D.(x2 2)2(y2 2)24(2)(2015全国卷)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点， 且圆心在x轴的正半轴上， 则该圆的标准方程为_.解析(1)设圆心坐标为(2，a)(a0)，则圆心到直线xy22的距离d|2a2 2|22，a2，该圆的标准方程为(x2)2(y2)24.(2)由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，2)三点，(4，0)，(0，2)两点的垂直平分线方程为y12(x2)，令y0，解得x32，圆心为32，0，半径为52.圆的标准方程为x322y2254.答案(1)C(2)x322y2254考点二与圆有关的最值问题【例 2】 已知实

6、数x，y满足方程x2y24x10.5(1)求yx的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值.解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆.(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得k 3(如图 1).所以yx的最大值为 3，最小值为 3.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得b2 6(如图 2).所以yx的最大值为2 6，最小值为2 6.(3

7、)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3).又圆心到原点的距离为 （20）2（00）22，所以x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3.规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题， 充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：(1)形如mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.【训练 2】 设点P

8、是函数y 4（x1）2图象上的任意一点， 点Q坐标为(2a，a3)(aR R)，则|PQ|的最小值为_.解析函数y 4（x1）2的图象表示圆(x1)2y24 在x轴及下方的部分，令点Q6的坐标为(x，y)，则x2a，ya3，得yx23，即x2y60，作出图象如图所示，由于圆心(1，0)到直线x2y60 的距离d|1206|12（2）2 52，所以直线x2y60 与圆(x1)2y24 相离，因此|PQ|的最小值是 52.答案52考点三与圆有关的轨迹问题【例 3】 设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24 上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.解如图所示，设P(x，y)，N

9、(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2 ，线段MN的中点坐标为x032，y042.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2x032，y2y042.从而x0 x3，y0y4.又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点95，125 和215，285 (点P在直线OM上时的情况).规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式

10、等.【训练 3】 (2018郑州模拟)已知线段AB的端点B在圆C1：x2(y4)216 上运动，端点A的坐标为(4，0)，线段AB的中点为M.(1)试求M点的轨迹C2的方程；(2)若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长.解(1)设M(x，y)，B(x，y)，7则由题意可得xx42，yy2，解得x2x4，y2y，点B在圆C1：x2(y4)216 上，(2x4)2(2y4)216，即(x2)2(y2)24.M点的轨迹C2的方程为(x2)2(y2)24.(2)由方程组（x2）2（y2）24，x2（y4）216，得直线CD的方程为xy10， 圆C1的圆心C1(0，4)到直线CD的距离d|4

11、1|25 22，又圆C1的半径为 4，线段CD的长为 2425 222 14.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.已知点A(1，1)，B(1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A.x2y22B.x2y2 2C.x2y21D.x2y24解析AB的中点坐标为(0，0)，|AB| 1（1）2（11）22 2，圆的方程为x2y22.答案A2.方程x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则实数a的取值范围是()A.(，2)23，B.23，0C.(2，0)D.2，23解析方程为xa22(ya)21a3a24表示圆，则 1a3a240，解得2a23.答案D83.(2018厦门质检)圆C与

12、x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|2，则圆C的标准方程为()A.(x1)2(y 2)22B.(x1)2(y2)22C.(x1)2(y 2)24D.(x1)2(y 2)24解析由题意得，圆C的半径为 11 2，圆心坐标为(1， 2)，圆C的标准方程为(x1)2(y 2)22.答案A4.点P(4，2)与圆x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x2)2(y1)21B.(x2)2(y1)24C.(x4)2(y2)24D.(x2)2(y1)21解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则x4x02，y2y02，解得x02x4，y02y2.因为

13、点Q在圆x2y24 上，所以x20y204，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.答案A5.(2015全国卷)已知三点A(1，0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.2 53D.43解析由点B(0， 3)，C(2， 3)，得线段BC的垂直平分线方程为x1，由点A(1，0)，B(0， 3)，得线段AB的垂直平分线方程为y3233x12 ，联立，解得ABC外接圆的圆心坐标为1，2 33，其到原点的距离为122 332213.答案B二、填空题6.(2018长沙模拟)以抛物线y24x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的

14、标准方9程为_.解析抛物线y24x的焦点为(1，0)，准线为x1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x1)2y24.答案(x1)2y247.(2018宜昌模拟)已知圆C：x2y2kx2yk2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为_.解析圆C的方程可化为xk22(y1)234k21.所以，当k0 时圆C的面积最大.答案(0，1)8.已知点M(1，0)是圆C：x2y24x2y0 内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_.解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2y24x2y0 的圆心为C(2，1)，kCM10211，最短弦所在直线的方程为y0(x1)，即xy10.答

15、案xy10三、解答题9.一圆经过A(4，2)，B(1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为 2，求此圆的方程.解设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0).令y0，得x2DxF0，所以x1x2D.令x0，得y2EyF0，所以y1y2E.由题意知DE2，即DE20.又因为圆过点A，B，所以 1644D2EF0.19D3EF0.解组成的方程组得D2，E0，F12.故所求圆的方程为x2y22x120.10.已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM

16、的面积.解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为 4.10设M(x，y)，则CM(x，y4)，MP(2x，2y).由题设知CMMP0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心， 2为半径的圆.由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为 3，所以l的斜率为13，故l的方程为x3y80.又|OM|OP|2 2，O到l的距离为4 105，所以|PM|4 105，SPOM124 1054

17、 105165，故POM的面积为165.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11.若直线ax2by20(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80 的周长，则1a2b的最小值为()A.1B.5C.4 2D.32 2解析由题意知圆心C(2，1)在直线ax2by20 上，2a2b20，整理得ab1，1a2b1a2b(ab)3ba2ab32ba2ab32 2，当且仅当ba2ab，即b2 2，a 21 时，等号成立.1a2b的最小值为 32 2.答案D12.(2018东北三省四校联考)已知圆C：(x3)2(y4)21，设点P是圆C上的动点.记d|PB|2|PA|2，其中A(0，1)，B(0，1)，则d

18、的最大值为_.11解析设P(x0，y0)，d|PB|2|PA|2x20(y01)2x20(y01)22(x20y20)2.x20y20为圆上任一点到原点距离的平方，(x20y20)max(51)236，dmax74.答案7413.(2017全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程.(1)证明设l：xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y22x，xmy2，消去x得y22my40，4m216 恒大于 0，y1y22m，y1y24.OAOBx1x2y1y2(my12)(my22)y1y2(m21)y1y22m(y1y2)44(m21)2m2m40.所以OAOB，即O在圆M上.(2)解