阶段性测试题2

1、阶段性测试题二（三角函数）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的。）121.（文）a是第四象限的角，tana=，贝V sin a等于C.131A 一 A . 12答案D解析首先a为第四象限角，则sin a<0 ,排除C,其次由勾股数5,12,13知排除C. 2cos2x解析则tanx为2cos x sin x._2=cosx+ sinx, cosx sinxcosx sinx12D. - nA、B,1 、1 co

2、sx+ sinx= 5,两边平方可得 1 + 2sin xcosx=云,12 n-sinxcosx= 25, - -2<x< nI cosx+ sinx =15由解得12sin xcosx= 25sinx= 5 , cosx= 5 ,4 tan x= 一3'点评 也可由.s2nxc°sx2 = ¥，分子分母同除以cos2x,解方程求得tanx.sin x+ cos x 252. （文）将函数y= sin 6x+ ：的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移4,0d. in，0B.单位，得到的函数的一个对称中心是A. 2，0n cc. 9, 0 答案

3、fn横坐标伸长为3倍y= sin 6x+ 4> y= sin;0-（理）将函数y= cosx的图像向左 平移O（0w（<2n个单位后，得到函数y= sin x冒的图像，解析=i时为nin 2x+ n错误！ y= sin2x,对称中心为 错误!.当knA.6答案解析/ sin xcos11 nDEf 2n =cos x 3 ，将y= cosx的图象向右平移22可得到 y= cos3象应将y= cosx的图象左移(=2 n #=个单位.3.一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为5 11A.B.247tx手 的图象，二要得到y= sin x才的图2C诟-1C. 4 答

4、案 解析 sinA、 a、b、c成等比数列, c2 a2 a小一 >0, c ，点评A设三内角A<B<C, sinB、sinC成等比数列, b2= ac, a 1= 0. c a=5n 1 = sinA，故选，c 2在厶ABC中，由正弦定理 .f n "P2、P3、，则 P2P4|等于B . 2 nC. 3 n=ac, A.4.(文)曲线 y= 2sin x+ 4 cos x 4 与直线 y = 2在 次记为A . n答案2sin x +n _ 一24 ='a= 2RsinA、b= 2RsinB 可知，a<b? A<B? sinA<sinB

5、.y轴右侧的交点按横坐标从小到大依2 fn'in2sin x + 4 = 1 cos2(x+ -) = 1 + sin2x,其最小正周期为解析n,又|P2P4|显然是一个周期，故选A.x(理)已知函数f(x)=n siQ，如果存在实数 冷,X2 ,使得对任意的实数x, f(X1) w f(x) < f(x2)，贝y |X1 x2| 的最小值是A . 8 nB . 4 nC. 2 n答案B2 n解析函数f(x)周期T = 1 = 8n,4则凶一x2 I的最小值为2= 4 n.点评考查三角函数的最值及周期，又不直接涉及这些概念，应注意加强这种问题的 分析，强化训练.5.函数f(x)=

6、 sinx2cos2的一个单调增区间是n n2，2n2， 2A.C.B. (0, n)n 3 n4， 4D.都有答案D解析f(x)= si nx 2cos2|= si nx cosx 1 = 2s in (x-1,由+ 2knWx 4W + 2knk Z)得，- n3 n if(x)增区间为 4+ 2k n, + 2kn(k Z). f(x)在区间才，歹上递增.6.(文)已知方程 x2 + 4ax+ 3a + 1 = 0(a>1)的两根为tana、tan3,且 a,3n2,a+ 3tan 12的值是1 A.答案4C.3D.1 或一2解析- tan( a+ 3)=Btan a+ tan 3

7、= 4a<0tan octan 3= 3a + 1>0tan a+ tan 341 tanatanB 3'- n2< a<0- tan( a+ 3)=B.(理)已知双曲线x2 y2= a2(a>0)的左右顶点分别为 A、B,3 / APB =一点P,/ PAB = a, / PBA =A .tan a+ tan 3+ tan = 0B .tan a+ tan 3 tan = 0C.tan a+ tan 3+ 2tan y= 0D .tan a+ tan 3 2tan = 0答案C双曲线在第一象限的图象上有( )解析设P(xo, yo),则- tan a+

8、tan 3tan = tan( a+ 3)=tan "an 3- 1、2yo-tan "an A kpA( kpB)= % + ayo=yo = 1xo a = a2 x2= 1. tan = tan "Itan 3,即 tana+ tan + 2tanY= 0,故选 C.2 27.(文)已知 sinx siny= 3 , cosx cosy = 3,且 x、y 为锐角，贝V tan(x y)的值是()2 142 T4代丁B . VC洱d嗣.± 5. ± 28答案B2 2解析 由已知 sinx siny= 3, cosx cosy= 3,得3

9、3224sin x 2sinxsiny+ sin y= 9<4，2 c24cos x 2cosxcosy + cos y= 95相加得 cos(x y) = 9, X、y 均为锐角， sin(x y)=, tan(x y) = 2 14，故选 B.5(理)已知a 氏A 4逅+ 3A 103 4.3C. 10n n si门扌+ C°s2=¥，sin(a® =c 4 .''3 3B. 10-W3 + 3D - 3，则cosB的值为5答案D_再aa x/6解析 sin+cos2=y， sin a= £2n2< a< ncos

10、a=.nn 2< n 一冗<_一 2，3 4sin( a 9=一一， - cos( a B =55 cos B= cos a ( a B=cos acos( a B+ sin ain( a B=x 4+6 3 =心岀I 2 丿 52 I 5.厂 10& (文)已知函数f(x) = 3sin图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2R+ y2= R2上，则f(x)的最小正周期为()A . 1B . 2C. 3D. 4答案D解析f(x)的周期T= 2n = 2R,f(x)的最大值是3，结合图形分析知 R> .3,则2R>2.3>3,R只有2R= 4这

11、一种可能，故选 D.(理)(09辽宁)已知函数f(x)= Acos(3x+妨的图象如图所示，fj = I，贝V f(0)=()2A . 3C 1答案B2B.31解析首先由图象可知所求函数的周期T = 2X严12=寻扌:=3-点0相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点,0=才+ 2kn -片一9jn+ 2kn.n4，2 .2又令 k= 1 得，©=n,二 f(x)= Acos4n 2Asin= £ A= f(0) = Acosn = Acosn= |.9.(文)若a、b、c是厶ABC的三边,宀曰定是A 直角三角形 C .锐角三角形答案D直线 ax+ by+ c= 0与圆x

12、2 + y2= 1相离，则(等边三角形 钝角三角形ABC)4 33解析由题设知> 2c| 2>1,Va2+ b2即 a2 + b2<c2，即 a2+ b2 c2<0, a2+ b2 c2于是cosC= 莎 <0,所以/ C为钝角.故 ABC为钝角三角形.(理)在厶ABC中，cos2A=哇三则 ABC的形状为A 直角三角形B .等腰三角形或直角三角形C 正三角形D 等腰直角三角形答案解析即 cosAA2A_ b+ c cos 2 = 2c，=b，又由余弦定理知，c.1 + cosA b+ c2c，b2+ c2 a2. b2 + c2 a2_bcosA = 2bc ，

13、2bc = c， a2+ b2= c2,ABC为直角三角形.10.如图是函数 y= sinx(0< x< n的图象，A(x, y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点 B(A, B可重合).设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图象是()答案A解析由条件知，若 A(x, y),贝U B( n- x, y), y= f(x)= |尸x-x|= |尸2x|,图象即为 选项A.11.(文)已知f(x) = sinx+ _3cosx(x R)，函数y = f(x+ 0)的图象关于直线 x= 0对称，则 0的值可以是()冗A.2答案D解析f(x)= 2sin x+ 3

14、 ，y= f(x+ 0 = 2sin(x + 3+ 0)图象关于x= 0对称，即为偶函数， n+ 0= n+ kn, 0= kn+n，k Z ,当 k= 0 时，0=£ 故选 D.32660中心对称，那么|0的最小nB.3nC.4nD.6(理)(09全国I )如果函数y= 3cos(2x+ 0的图像关于点 值为冗A.-6答案nB.4nC.3nD.2T y= 3cos(2x+ 0的图象关于点 13n“+ k n.6当k= 2时，W|有最小值g解析0 对称， 8"n+ 0= 2+ k 兀 k 乙*32A=V5 12.(文)(08四川) ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为

15、a、b、c.若a = b,2B,贝U cosB =(AW答案Ba 二 sinA si n2B5解析由题意得 b = 2 = sinB= sinB = 2cosB， cosB= 4，选 B.(理)(2010皖南八校)在厶ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,如果cos(2B + C) + 2sinAsinB<0,那么a、b、c满足的关系是()22 | -2 2A . 2ab>cB . a + b <c22 2 2C. 2bc>aD. b + c <a答案B解析/ cos(2B + C)+ 2sinAsinB<0, A+ B+ C = n/ cos(

16、 n- A + B) + 2sinA sinB<0,/ cos( A)cosB- sin( A)sinB + 2sinAsinB<0,/ cosAcosB+ sinAsinB<0 ,艮卩 cos(A+ B)>0, 0<A+ B<2， C>2,2. b22由余弦定理得，cosC = c<0,a2+ b2 c2<0 ,2ab故应选B.第n卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共13.已知 a 0, n ,4个小题，每小题 4分，共16分，把正确答案填在题中横线上） a= (sin a)cosa, b = (sin asina c= (cos

17、 a*sina,贝V a、b、c 的大小关系是.答案a<b<cn， 1>cos a>sin a>0, y= (sin a)x 为减函数， a<b.而解析/ a 0,+ 8）上为增函数， c>b.故c>b>a.14. （文）在厶ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知 a= 2,y= xsina 在(0,c= 3, cosB =则sinC的值为答案¥解析/ b2= a2 + c2 2accosB, b = -.'10._ a2 + b2 c2 帧 cosC =,2ab8、b、c分别是又 0<C< n,

18、 sinC= 8 '(理)在厶 ABC 中，已知 sinAsinBcosC= sinAsinCcosB+ sinBsinCcosA，若 a abA、B、C所对的边，则的最大值为c答案解析32a2+ b2 c2abo厂=acnc2ab a2+ b2 3J 32W c-2=c _2= 2"2 丄 22_2丄 2 2a + c bb + c a222+ be , a2 + b2= 3c22bc.ab c2 = 2c2 2 c2 = 2c当且仅当a= b时取等且315.(文)已知sina= 5, a为第二象限角，且tan(a+ 3 = 1,贝V tanB的值为号.答案7解析/ sin

19、 a= 3， a为第二象限角，54 丄3-cos a= , - - tan a=,5 4tan( a+ 3 tan a-tan £= tan( a+ 3 a =1 + tan( a+ 3)tan a12ta n14(理)设 a= 0cos16 ° 专sin16 ° b=十怡14 °° c= 为(从小到大排列).答案a<c<b解析a= sin14 ° b = sin28 ° c= sin25 ° / y= sinx 在(0 °° 90°)上单调递增， a<c<b.

20、1+ cos2x+ 8sin2x 曲,函数f(x)=的最小值为16.当0 V XVsin2x1 cos50 ° nrt2,贝y a、b、c的大小关系/ 0<x<n， tanx>0, cotx>0,2 2 2 2 2cos x+ 8sin x cos x+ 4sin x f(x) =解析答案sin2xsin xcosx=cotx+ 4tanx> 2 cotx 4tanx= 4.1等号在 cotx= 4tanx,即卩tanx= 岂时成立.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)、2f517.(本小题满分 12 分)已知

21、向量 a= (cos a, sin a, b= (cos 3, si n®, |a b|= 5 ,(1) 求 cos( a 3 的值；若一2< 3<0< a<2,且 sin 3= 13,求 sin a 的值.解析(1) T |a b|= a2 2a b+ b2= 5又 a= (cos a , sin a, b= (cos 3 , sin 3), a2= b2= 1, a b= cosacos 3+ sin osin 3= cos(a 3).42 5 3cos( a 3=5.nn小c(2) / 2< 3<0< a<2 , 0< a3

22、<n.3 4由(1)得 cos(a 3) = 5, sin( a 3)= 5.5° 12又 sin二，- cos3= 772 13213' sin a= sin( a 3 + 3 = sin( a ®cos 3+ cos( a ®sin 34 z 1235335 135 ' 13) 65.18. (本小题满分 12 分)(文)设函数 f(x)= . 3cos?3x+ sin 3XOS3X+ a(其中 w>0 , a R)且nf(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6.(1)求3的值；的最小值为.3,求a的值.(2)如果f(x)在

23、区间n 厂3，分析欲求3和a,需将已知三角函数表达式化为一角一函形式，即Asin( 3x+妨+ C或Acos(3x+() + C的形式，然后根据图象最高点求3,通过变量x的范围，确定取得最值时变量的取值，进而求 a的值.a解析(1) f(x) = -23cos2 wx+ si n2 wx+ =sin(2 wx+ »+# + a,依题意得2 w + n= n,632解得：w=1. 由(1)知，f(x)= sin(x+宁+ a.5n时取得最小值*+甲+ a.3+ 12.3cosw x), n = (coswx sin wx,2sinw，其中 w>0，函冗2.x的集合；n彳6 - -

24、由题设知一1 + a = 3.故a=(理)已知向量 m= (sin 3x+ cos wx,数f(x) = m n,若f(x)相邻两对称轴间的距离为又当x(1) 求w的值，并求(2) 在厶ABC中，a、 =1，求边a的长.f(x)的最大值及相应b、c分别是A、B、C所对的边， ABC的面积S= 5 3, b= 4, f(A)x+ 2 3sin wxcoswx= cos2 wx+ 3sin2 wx= 2sin '2 wx+解析 f(x) = coS wx sin w由题意可得 T = n,二w= 1 , f(x)= 2sin 2x+ 訂当sin 2x + = 1时，f(x)有最大值2,nn

25、n 2x + -= 2k t-, x= kn+- (k Z),6 26 x 的集合为x|x = n kn, k Z.( n f(A)= 2sin 2A+ 6 = 1 sin 2A+n =10<A< n, 2A+n=6 2 6 6 A =扌，S= *bcsinf= 5 3, c= 5 ,由余弦定理得：a2= 16+ 25 2 X4X 5cosn= 21, a = 21.19. (本小题满分12分)据气象台预报，距 S岛300km的A处有一台风中心形成，并以 每小时30km的速度向北偏西 30°角的方向移动，在距台风中心 270km以内的地区将受到台 风的影响.问：S岛是否受

26、其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时 S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.分析设B为台风中心，则 B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响 可转化为SBW 270，这一不等式是否有解的判断，则需表示SB,可设台风中心经过 t小时到达B点，则在 ABS中，由余弦定理可求 SB.解析 如下图，设台风中心经过t小时到达 B点，由题意：flnr/ SAB= 90° 30° = 60°在厶 SAB 中，SA= 300, AB = 30t, / SAB= 60°由余弦定理得：SB2= SA2 + AB2 2SAAB cos/ SAB=30

27、02 + (30t)2 2 300 30tcos60°若S岛受到台风影响，则应满足条件：|SB|W 270 即 SB2W 2702化简整理得t2 10t + 19W 0解之得 5 6< t < 5+ 6,所以从现在起，经过5.、6小时S岛开始受到影响，(5 + ,6)小时后影响结束，持续时间:(5 + .6) (5 ,6) = 2 . 6(小时)答：S岛从现在起经过(5 6)小时受到台风影响，且持续时间为 2 6小时.20 .(本小题满分12 分)(文)已知向量 a = (3sina, cos a), b= (2sin a 5sin a 4cos",a En 2

28、nj 且 a 丄 b.(1)求tan a的值；(2)求 cos10解析/ a 丄 b, a b= 0而 a = (3sin a, cos a, b= (2sin a, 5sin a 4cos a,故 a b= 6sin a+ 5sin acos a 4cos a= 0.22即 6sin a+ 5sin acos a 4cos a= 0.sin a+ cos a=0.由于 cos a* 0, 6tan2a+ 5tan a 4= 0. 解之得，tan a= 4,或 tan a= .3 2j3 n .a io na/ a -, 2n，2 -, n ,tan?<0, 由 tana= £

29、求得，tana= 1 或 tan2= 2(舍去).cos麵x 1£声 s=入一入52522 *5+ , 1533cos 2xsin3xsin x+2cos3xcosx+ sin2x 的最小值.解析/ sin3xsin'x+ cos3x cos'x =(sinx sin3x) sin2x+ (cosx cos3x) cos2x=21(cos2x cos4x)sin x+ (cos2x+ cos4x)cos x1 2 2 2 2=(sin)eos2x+ (cos x sin x) eos4x11+ cos4x=2(cos2x+ cos2x cos4x) = cos2x =

30、cos32x.2cos 2x y=2 + sin2x= cos2x+ sin2xcos 2x=炉n 2x +訂当 sin 2x + - = 1 即 2x+才=2k n扌，x= kn , k Z 时，ymin =羽.821. (本小题满分12分)(文)已知 ABC的周长为、2 + 1，且sinA+ sinB= , 2sinC.(1)求边AB的长；1若 ABC的面积为6sinC,求角C的度数.解析(1)由题意及正弦定理得，AB + BC + AC = .2+ 1, BC + AC= .2AB, 两式相减得，AB = 1.1 1由 ABC 的面积 2BC AC inC= 6sinC 得，BC AC = 3，t