解圆锥曲线问题常用方法一

1、WORD资料可编辑解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：1 、定义法（1） 椭圆有两种定义。第一定义中，ri+r（3）y =2px（ p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M（x0,y 0）,则有2y0k=2p,即yok=p.【典型例题】例1、（1）抛物线C:y2=4x上一点P到点A（3,4 J2）与到准线的距离和最小，则点P的坐标为 2 抛物线C: y =4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为分析：（1）A在抛物线外，如图，连 PF，则PH = PF，因而易发现，当线时，距离和最小。（2） B在抛物线内，如图，作 QRL I

2、交于R,则当B、Q R三点共线时,解: ( 1) (2, 2 )=2a。第二定义中，n=edi r 2=ed2。（2） 双曲线有两种定义。第一定义中，口 一 r2 = 2a，当r 1>r2时，注意r2的最小值为c-a :第二定义中，r1=ed1,r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化 为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题

3、的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可 用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3 、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不 求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A（x1,y 1）,B（x 2,y 2）,弦AB中点为M（xo,y。），将点A B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而 不求”法，具体有：2 2（1）=1（a b 0）与直线相交于 A、B,设弦AB中点为M（xo,yo），则有 笃，冷丘=0。a2 b2a2b22

4、 21H Q沖B/rA、P、F三点共距离和最小。（2） 笃 y7 =1（a 0,b 0）与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M（x0,y。）则有与-冷k=0 a2 b2a2 b2连PF,当A、P、F三点共线时，AP十PH = AP + PF最小，此时AF的方程为y = 4*2 _O(X_1)即y=2(x-1),3 1 代入y 2(2)作出右准线I，作PHL l交于H,因a =4, b =3,=4x得P(2,2 ,2)，(注：另一交点为(丄，-、.2 )，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)21(2) (,1)42 过Q作QRLI交于R,当B Q R三点共线时，BQ - QF| |BQ - Q

5、R最小，此时 Q点的纵坐标为1，代入y =4x得1小1彳x=，Q( J )44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。2 2例2、F是椭圆x y =1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点,43P为椭圆上一动点。(1) PA + PF的最小值为(2) PA +2PF的最小值为yA PHAF 0fFx专业整理分享分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF 或准线作出来考虑问题。解：(1) 4- ,5设另一焦点为F ，贝U F (-1,0)连AF ,P FPA +|PF =|PA +2a-PF '=2a-(PF - PA) 3 2a- AF&

6、#39; = 4-J5当P是F A的延长线与椭圆的交点时，PA PF取得最小值为4-5 。2c =1, a=2 , c=1,1e=,2 PF= -|PH，即2PF = PH PA 2PF| I PA PH当A、2 aP、H三点共线时，其和最小，最小值为xAc= 41=32 2 2 2动圆M与圆C:(x+1) +y =36内切,与圆Q:(x-1) +y =4外切,求圆心M的轨迹方程。分析:作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M C共线,B、D M共线)。列式的主要途径是动圆的 “半径等于半径”(如图中的MC =|MD I)。AVCMD0B5 x解：如图,MC

7、 = MD:.AC MA = MB-DB 即6 MA = MB 2二 MA + MB =8(*)点M的轨迹为椭圆,x22a=8, a=4, c=1 , b2=15 轨迹方程为162y =115点评：得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出,(x - 1)2/ (x -1)2 - y2 =4，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐!3 例 4、 ABC中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R ( R为外接圆半径)，可转

8、化为边长的关系。”3解：si nC-si nB=si nA 2Rs in C-2Rs inB=5= 3BC53 -2RsinA5ABAC即ABAC(*)点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)/ 2a=6, 2c=10-a=3, c=5 ,b=4所求轨迹方程为2=1(x>3)16点评:要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M求点M到x轴的最短距离。分析:(1)可直接利用抛物线设点，如设2.A(X1,x 1),B(X2, X22)，又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出yo关于xo的函数表达

9、式，再用函数思想求出最短距离。M到准线的距离，想到用定义法。(2) M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑2 2解法一：设 A(X1, X1 ) , B(X2, X2) , AB中点 M(X0, y。)(X! X2)2 (x2 X；)2 =9 则 X1 X2 2xoX； x； =2yo2 2由得(X1-X2) 1+(x 1+X2) =92 2即(x 1+X2) -4xix2 -1+(x 1+X2) =9由、得 2xix2=(2x o) 2-2y o=4xo2y o222代入得(2x o) -(8x o-4yo) -1+(2x o) =929"4y0 _4X°，29294

10、y° =4x°2 二(4x° 1)214x°4x° +1> 2 .9 -1 = 5, y ° 亠 54.'25' 2 5当 4X°2+ 仁3 即 X°时，(y°)min 此时 M(_",)11A1y /n JiB-A0MBixA2 42 4法二：如图，2 MM 2 = AA2 +|BB21 = |AF | + |BF| = AB = 33 13MM 2 X，即 MM1 +色-，24 2MM i Z M到X轴的最短距离为-4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消xi,

11、X2,从而形成y°关于x°的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到X轴的距离转化为它到准线的距离， 再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。2 2例6、已知椭圆 1（2乞m乞5）过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、Cm m T，当AB经过焦点F时取得最小值。4D 设 f(m)= | AB _ CD | , (1 )

12、求 f(m),(2)求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因 A、B来源于“不同系统” ，A在准线上，B在椭圆上，同样x轴上，立即可得防C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到f (m) = (XB - Xa ) V2 - (XD Xc)5；2| = J2KXb XA ) (XD Xc)|=2 (XbXc ) _ (XaXd )=J2(Xb +Xc)此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。2 2Xy222解：(1)椭圆1 中，a =m b=m-1, c =1，左焦点 Fi(-1,0)m m 1则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x

13、 +my -m(m-1)=0得(m-1)x 2+m(x+1) 2-m2+m=02 22m2m -1/ (2m-1)x +2mx+2m-m=0设 B(x1,y 1),C(x 2,y 2),则 X1+X2=-f(m) =|AB -CD| =V2|(Xb -Xa)-(Xd -Xc)=血|(捲 +X2) - (Xa +Xc)| =V2|X1 +X22m2m -1伽第；_2(1詁)当 m=5时，一、10 血 f (m)min9当m=2时，4J2f (m) max -3点评：此题因最终需求XB XC，而BC斜率已知为1，故可也用"点差法”设BC中点为 M(xo,y o),通过将B、代入作差，得y

14、°k = 0，将 yo=xo+1, k=1 代入得 - x°_1m m 10，二 x°m1,可见 Xb . Xc =2m - 1当然，解本题的关键在于对f (m)二AB CD|的认识,通过线段在 x轴的"投影”发现 f (m) = xB + xC题的要点。【同步练习】1、已知:Fi， F2是双曲线222=1的左、右焦点，过a2 b2Fi作直线交双曲线左支于点的周长为(4a、4a+m C4a+2m D、4a-m3、则顶点4、5、6、7、若点P到点y2=-16xBF(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，贝U P点的轨迹方程是2、y =-32xy2=

15、16xD2、y =32x已知 ABC的三边A的轨迹方程是(x2x2ABBCAC的长依次成等差数列，且AB a AC，点B、C的坐标分别为(-1 , 0), (1c坐标2m2m -1是解此 ABF,0),2y =13x22y =1(x0)32-1(x ： 0)3过原点的椭圆的一个焦点为(x冷)22 1 2 x (y _ J2F(1 ,21(x0 且 y = 0)43x20)，其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是229 ,y (x = -1)49 (x1)4、(x £)2 y2 二弘=-1)24、x2 (y )2 =9(x = -1)242 2已知双曲线y 1上一点M的横坐标为4,则点M

16、到左焦点的距离是916抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是2已知抛物线y =2x的弦AB所在直线过定点 p(-2 , 0)，则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、 直线y=kx+1与双曲线x2-y 2=1的交点个数只有一个，则k=2 210、 设点P是椭圆x y1上的动点，Fl, F2是椭圆的两个焦点，求 sin / F1PF2的最大值。25911、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线与此椭圆相交于 A B两点，且AB中点M为(-2 , 1) , AB =4*；3

17、，求直线I的方程和椭圆方程。2 2CD。12、已知直线l和双曲线 %=1(a 0, b 0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：ABa b参考答案AF2 AFi = 2a, BF? BF<)= 2a ,AB = 4a 2m,选 c2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为2y =16x,选 C3、D/ AB + AC = 2 沢 2，且 AB a AC点A的轨迹为椭圆在 y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即yz 0，故选Db4、A设中心为(x , y),则另一焦点为(2x-1 , 2y),则原点到两焦点距离和为4 得 1 . (2

18、x-1)2(2y)2AF2 + BF2 - AB =4a, AF2 + BF2又 c<a, 、-(x-1)2 y2 ： 2/. (x-1) 2+y2<4 ，由，得 x 丰-1，选 A (1、229-(x_2) y =499929529295、左准线为x=-, M到左准线距离为d = 4 -()则M到左焦点的距离为 ed =35553531 1222 26、x (y ) 设弦为 AB, A(x1 , y1) , B(x2 , y2)AB 中点为(x , y),贝U y1=2x1 , y2=2x2 , yi-y 2=2(x 1 -x 2)2 2y二丄，轨迹方程是x二1 (y>丄)

19、2 2 2yi y2112- =2(为 +x2) 2=2 -2x , x= 将 x=代入 y=2x 得xi -x22227、y =x+2(x>2) 设 A(X1, y1) , B(X2, y2) , AB 中点 M(x, y)，则宀舛宀九八谚艸“卅(小2y 0-kAB = kMP x,kMP 'x +2又弦中点在已知抛物线内y 2y=2，即 y2=x+2x 22P,即 y <2x,即卩 x+2<2x, x>22 28、4 a = b = 4,c= 8,c=22，令x=2-2代入方程得8-y2=4 y2=4, y=2，弦长为 49、-、2 丄 1 y=kx+12

20、2 2 2 2 2代入 x -y =1 得 x -(kx+1)-仁0(1-k )x -2 kx-2=0- 21-k L，: 0222得 4k+8(1-k )=0 , k=±*2 1-k =0 得 k= ±:=02 2 210、解：a =25, b =9, c =16设 F1、F2 为左、右焦点，贝UF1(-4 , 0)F 2(4 , 0)fF1IF2 "设 PR = » , PF2则?r202-2口 r2 cos日=(2c)222-得 2nr2(1+cos 0 )=4b2111ypK )AFVx_ 4b22b2-1+cos 0 =2r1r2r1r2 r1+r2 几“,2 r1r2的最大值为a18，即 1+c