可降阶的高阶微分方程(32)课件

1、 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。的方程来求解。可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 前面介绍了三种标准类型的一阶方程及其前面介绍了三种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，用降阶法求解，一般都没有初等解法，以二阶方程以二阶方程 0),( yyyxF为例展开讨论为例展开讨

2、论重点讨论能将二阶导数解出的情况重点讨论能将二阶导数解出的情况),(yyxfy 如果我们设法作变量代换把它从二阶降如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解来求解一、一、 型型)(xfy 特点：特点：右端不含右端不含 yy ,仅是仅是 x 的函数的函数 解法：逐次积分解法：逐次积分即即 1)(cdxxfy再积分再积分 21)(cxcdxdxxfy对对 n 阶方程阶方程同理同理)()(xfyn 积分得积分得 1)1()(cdxxfyn如此连续积分如此连续积分n 次即得原方程的次即得原方程的含有含有n个任意常数的通解个任意常

3、数的通解一般情况一般情况),()1()()( nknyyxfy特点：特点：.,)1( kyyy及及不显含未知函数不显含未知函数解法：解法：zyk )(令, z求求得得,)(次次连连续续积积分分将将kzyk 可得通解可得通解.例例1 xysin)4( 解解1coscxy 21sincxcxy 322121coscxcxcxy 4322312161sincxcxcxcxy 例例 2.0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解),()4(xPy 设设)()5(xPy 代入原方程代入原方程, 0 PPx）（0 P解线性方程解线性方程, 得得xCP1 ,1)4(xCy 即即两端积分两端积分,得得

4、,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 原方程通解为原方程通解为54233251dxdxdxdxdy 二、二、 型型),(yxfy 特点：特点：右端不含右端不含 y 解法：解法：降阶降阶令令 py py 代入原方程得代入原方程得),(pxfdxdp 若已求得其通解为若已求得其通解为),(1cxp 回代回代 py 得得),(1cxdxdy 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得 21),(cdxcxy 例例3 解方程解方程3, 1,2)1(002 xxyyyxyx解解令令py xppx2)1 (2 分离变量得分离变量得212xxpdp 12ln)1l

5、n(lncxp 即即)1 (21xcp )1 (21xcy 由由得得30 xy31 c)1(32xy 233cxxy 由由1120 cyx故故133 xxy解方程解方程2)(1yy 解解pypy 令21pdxdp dxpdp 211arctancxp 即即)tan(1cxp dxcxy)tan(121)cos(lnccx 例例4 三、三、 型型),(yyfy 特点：特点：右端不含右端不含 x降阶，把降阶，把y看做自变量看做自变量解法：解法：令令)(ypdxdyydxdpy 由复合函数求导法则得由复合函数求导法则得dxdydydpdxdpy dydpp 代入原方程得代入原方程得 ),(pyfdy

6、dpp 这是一个关于这是一个关于 y ，p 的一阶方程的一阶方程若已求得它的通解为若已求得它的通解为),(1cypy 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得21),(1cxdycy 即得原方程的通解即得原方程的通解例例5 解方程解方程3)(yyy 解解令令py dydppy )1 (2ppdydpp 若若0 p21pdydp 1arctancyp 即即)tan(1cyp dxcydy )tan(1积分得积分得21)sin(lncxcy 即即xeccy21)sin( 或或12)arcsin(cecyx 0 p包含在通解中包含在通解中如一方程既属于不含如一方程既属于不含 x 型型 又

7、属于不含又属于不含 y 型型则一般而言则一般而言若两边可消去若两边可消去 p 作为不含作为不含 x 型（类型三）型（类型三）来解较简单来解较简单 若两边不可消去若两边不可消去 p 作为不含作为不含 y 型（类型二）型（类型二）来解较简单来解较简单注注 例例6 解方程解方程 2 yy解解 令令 yz 2 dxdzz42 dxdz)( 412cxz 12cxy 2231)(34ccxy 32251)(158cxccxy 12cxz 六、小结六、小结解法解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解.练练 习习 题题一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(M且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积分曲线相切的积分曲线 . .练习题答案练习题答案一一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2