基本初等函数与初等函数(1)课件

1、1y=cOxy第三节第三节 基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数一、一、 基本初等函数基本初等函数常量函数、常量函数、指数函数、指数函数、 对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、 反三角函数反三角函数幂函数、幂函数、1 1常量函数：常量函数： cy （c为任意常数）为任意常数） 2)( 是常数xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1xy 2.幂函数幂函数1、图形都通过点（、图形都通过点（1，1）。）。2、0时，图形过原点，时，图形过原点， 且在且在), 0( 内单调增加。内单调增加。3、0时，图形在时，图形在), 0( 内单调减少。内单调减少。图像特点：图像特点：3例例1：

2、求函数求函数31211423xxy的定义域。的定义域。解：解：023x014x32x41x),(), 414132x43、指数函数、指数函数xay 1, 0aa它的定义域是整个实数集它的定义域是整个实数集.,x性质：性质：（1）图形在）图形在 x 轴的上方轴的上方0y.,x（2）图形均过点）图形均过点1 ,0 xay xay )1( a)1 , 0( （3）)1( a曲线从左到右逐渐上升。曲线从左到右逐渐上升。) 10( a曲线从左到右逐渐下降。曲线从左到右逐渐下降。但与但与 x 轴不相交轴不相交.) 10( a5xey 以无理数以无理数7182818. 2e为底的指数函数为底的指数函数是常用

3、的实数函数是常用的实数函数.指数函数的运算性质指数函数的运算性质:1. 10ayxyxaaa. 2yxyxaa)(. 3yxyxaaa. 46例例2: 比较下列数值的大小比较下列数值的大小312133. 1与解解:1axa312133 312131217 . 07 . 0. 2与解解:1axa31217 . 07 . 074. 对数函数对数函数),(log10aaxyaxay 的反函数记为的反函数记为称为对数函数称为对数函数,., 0 xxyalogxya1log)(1a)0 , 1( 性质性质:（2）图形在）图形在 y 轴的右方轴的右方0 x（1）图形均过点）图形均过点0 , 11a不与不与

4、 y 轴相交轴相交.曲线从左到右逐渐上升。曲线从左到右逐渐上升。曲线从左到右逐渐下降。曲线从左到右逐渐下降。(3)01a8对数函数的运算性质：对数函数的运算性质：以以 e 为底的对数为底的对数xelog是常用的对数函数，是常用的对数函数，称为自然对数，记为称为自然对数，记为xyln01log. 1a1log. 2aayxyxaaalogloglog. 3yxyxaaalogloglog. 4xxaaloglog. 50lnxexx0)()()(lnxexx01ln 1ln exyyxlnlnlnyxyxlnlnlnxxlnln95、三角函数、三角函数（1）正弦函数）正弦函数xysinxysin

5、1、1sinx,x是有界函数是有界函数xxsinsin. 2性质：性质：是奇函数是奇函数4、周期、周期2l3、2,2x是单增函数。是单增函数。10（2）余弦函数）余弦函数xycos,xxycos1、1cosx是有界函数是有界函数xxcoscos. 2是偶函数是偶函数4、周期、周期2l3、, 0 x是单减函数。是单减函数。性质性质:值域值域W: -1, 111xytan（3）正切函数）正切函数,x2,1, 02kkx性质性质:（1）在定义域中是无界函数。）在定义域中是无界函数。（2）是奇函数）是奇函数（3）在）在2,2内是单调增函数。内是单调增函数。（4）周期为）周期为l12xycot（4）余切

6、函数）余切函数,x2,1, 0kkx性质性质:（1）在定义域中是无界函数。）在定义域中是无界函数。 （2）是奇函数）是奇函数（3）在）在, 0内是单调减函数。内是单调减函数。（4）周期为）周期为l13（5）正割函数）正割函数xxycos1sec是余弦函数的倒数，无界函数，周期为是余弦函数的倒数，无界函数，周期为2（6）余割函数）余割函数xxysin1csc是正弦函数的倒数，无界函数，周期为是正弦函数的倒数，无界函数，周期为214常用的三角函数的公式常用的三角函数的公式1cossin22xxxxxcossin22sin22cos1sin2xx22cos1cos2xxxx22sectan1xx22

7、csccot1xxxxx2222sin211cos2sincos2cos2sin cossinsinxyxyxy2cos coscoscosxyxyxy156.反三角函数反三角函数 1 , 1x反余弦函数反余弦函数xyarccos 1 , 1x反正切函数反正切函数xyarctan,xxarcycot,x反余切函数反余切函数xyarcsin反正弦函数反正弦函数16xyarcsin反正弦函数 1 , 1x性质性质（1）在）在 -1, 1 上有界函数。上有界函数。（2）是奇函数。）是奇函数。（3）在）在 1, 1上是单调增函数。上是单调增函数。2arcsinxy2121x-11Oy=arcsinx2

8、1, 1 (21, 1(17 反三角函数值的确定反三角函数值的确定 求求arcsin x的方法是：的方法是： 例如，求 arcsin(21)。 因为 sin(6)21，所以 arcsin( 在2,2内确定一点，使 sin x，则 arcsin x。 内确定一点，使 sin x，则 arcsin x。 内确定一点，使 sin x，则 arcsin x。 21，所以 arcsin(21)6。 18反余弦函数反余弦函数xyarccos 1 , 1x性质性质（1）在）在 -1, 1 是有界函数。是有界函数。（2）是非奇非偶函数）是非奇非偶函数（3）在）在 1, 1上是单调减函数。上是单调减函数。 ar

9、ccos0y21x-11Oy=arccosx19 例如，求 arccos(21)。 求求arccos x的方法是：的方法是： 因为 cos3221，所以 arccos( 在在0, 内确定一点内确定一点 ，则则arccos x 。使使cos x，21，所以 arccos(21)32。 反三角函数值的确定反三角函数值的确定20反正切函数反正切函数xyarctan,xxy02y2y性质性质（1）在）在（2）是奇函数）是奇函数（3）在）在,上是单调增函数。上是单调增函数。2arctanx,内是有界函数内是有界函数21xarcycot,xxy0y2性质性质（1）在）在（2）是非奇非偶函数）是非奇非偶函数

10、（3）在）在,上是单调减函数。上是单调减函数。,内是有界函数内是有界函数.反余切函数反余切函数22 由基本初等函数经过有限次四则运算得出的函数由基本初等函数经过有限次四则运算得出的函数称为称为简单函数简单函数。如：如：2221,3,sin,2xxyxyxeyxyx都是简单函数。都是简单函数。xyxy2sin,都不是简单函数。都不是简单函数。二、二、 复合函数复合函数 1 1、简单函数、简单函数xy2sin是由基本初等函数是由基本初等函数uysin与简单函数与简单函数xu2所构成。所构成。23 函数函数 g 在在E上的值域上的值域 g(E) 必须含在必须含在 f 的定义域内，即的定义域内，即g

11、(E) D. 否则，不能构成复合函数否则，不能构成复合函数. 设函数设函数 y = f (u)的定义域为的定义域为D，函数，函数u=g (x)在在E上有定上有定义，且义，且 g(E) D，则由下式确定的函数，则由下式确定的函数 y = f g (x)，xE 函数函数g与函数与函数 f 能构成复合函数的条件是能构成复合函数的条件是:称为由函数称为由函数 y = f (u)和函数和函数u = g (x)构成的构成的复合函数复合函数，它，它的定义域为的定义域为E，变量，变量u称为称为中间变量中间变量. 两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫函数的复函数的复合运算

12、合运算.定义（复合函数）定义（复合函数）24 复合函数复合函数 y = arcsin(x2-1) 的定义域为的定义域为 例例4 函数函数 y = arcsin(x2 1)可以看成是函数可以看成是函数 y = f (u) = arcsinu 和和 u=g (x)= x2 1 y = f (u)的定义域的定义域D=u | |u|1, u = g (x) 的定义域的定义域E=x | x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyo11取整函数取整函数xy 当Znnxn,1,nxyo13421231作作 业业P19 4 (1)、(4)、(5)、(6)32（1）正弦函数）正弦函数xy0y在直角坐标系中取

13、单位圆在直角坐标系中取单位圆在圆周上任意一点在圆周上任意一点yxM,yxM,xysin从现在开始角度用弧度从现在开始角度用弧度x 表示表示圆的半径圆的半径1 OMR1sinyx xysin1、1sinx,x是有界函数是有界函数xxsinsin. 2图形图形性质：性质：是奇函数是奇函数4、周期、周期2l3、2,2x是单增函数。是单增函数。1111335、三角函数、三角函数在直角三角形中：在直角三角形中：acb正弦正弦casincbcos余弦余弦正切正切batanabcot余切余切正割正割bcseccos1余割余割accscsin1tan1aacossinaasincos34任意三角形：任意三角形

14、：角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的。角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的。当射线绕着它的端点旋转一周当射线绕着它的端点旋转一周以上，就形成大于以上，就形成大于3600 的角。的角。习惯上规定：习惯上规定：逆时针方向逆时针方向旋转而成的角是旋转而成的角是正角正角。顺时针方向顺时针方向旋转而成的角是旋转而成的角是负角负角。角的度量单位用弧度（实数）：角的度量单位用弧度（实数）：23600017453. 0180101 弧度弧度815718000 x0y弧度弧度35二、二、 复合函数复合函数 定义定义 设函数设函数 y = f (u)的定义域为的定义域为D，函数，函数u=g (x)在

15、在E上上有定义，且有定义，且 g(E) D，则由下式确定的函数，则由下式确定的函数 y = f g (x)，xE 称为由函数称为由函数 y = f (u)和函数和函数u = g (x)构成的构成的复合函数复合函数，它的定义域为它的定义域为E，变量，变量u称为称为中间变量中间变量.xy2sin是由基本初等函数是由基本初等函数uysin与函数与函数xu2复合而成。复合而成。例如例如 两个及多个函数构成复合函数的过程叫两个及多个函数构成复合函数的过程叫函数的复函数的复合运算合运算.36 函数函数 g 在在E上的值域上的值域 g(E) 必须含在必须含在 f 的定义域内，的定义域内，即即g (E) D. 否则，不能构成复合函数否则，不能构成复合函数. 函数函数g与函数与函数 f 能构成复合函数的条件是能构成复合函数的条件是: 复合函数复合函数 y = arcsin(x2-1) 的定义域为的定义域为 例例3 函数函数 y = arcsin(x2 1)可以看成是函数可以看成是函数 y = f (u) = arcsinu 和和 u=g (x)= x2 1 y = f (u)的定义域的定义域D=u | |u|1, u = g