2022版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第5节一元二次不等式及其解法学案含解析新人教B版

1、高考复习资料第5节一元二次不等式及其解法一、教材概念·结论·性质重现1一元二次不等式一般地，形如ax2bxc>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“”“”等2三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或xx1rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx23(xa)(xb)>0或(xa)(xb)<0型不等

2、式的解集不等式解集a<baba>b(xa)·(xb)>0x|x<a或x>bx|xax|x<b或x>a(xa)·(xb)<0x|a<x<bx|b<x<a(1)解不等式ax2bxc>0(<0)时不要忘记a0时的情形(2)不等式ax2bxc>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图像决定不等式ax2bxc>0对任意实数x恒成立或不等式ax2bxc<0对任意实数x恒成立或二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”

3、(1)不等式0的解集为1,2(×)(2)若不等式ax2bxc<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(3)若方程ax2bxc0(a<0)没有实数根，则不等式ax2bxc>0的解集为r.(×)(4)不等式ax2bxc0在r上恒成立的条件是a<0且b24ac0.(×)2已知集合ax|x22x30，bx|2x2，则ab()a2，1b1,2) c1,1d1,2)a题目解析：ax|x1或x3，故ab2，1故选a.3函数f(x)的定义域为()a0,3b(0,3)c(，03，)d(，0)(3，)a题目解析：要使函数f(x)有意义，则3xx20

4、，即x23x0，解得0x3.4若函数y的定义域为r，则实数m的取值范围是_题目解析：由题意可知mx2(1m)xm0对xr恒成立，即解得m.5若不等式ax2bx2>0的解集为，则ab_.14题目解析：由题意知x1，x2是方程ax2bx20的两个根，则解得(经检验知满足题意)所以ab14.考点1一元二次不等式的解法综合性考向1不含参数的一元二次不等式的解法(1)函数y的定义域是_1,7题目解析：要使函数有意义，需76xx20，即x26x70，解得1x7.故所求函数的定义域为1,7(2)解不等式：0<x2x24.解：原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3解

5、一元二次不等式的一般方法和步骤考向2含参数的一元二次不等式的解法解不等式x2(a1)xa<0.解：原不等式可化为(xa)(x1)<0.当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a<1时，原不等式的解集为(a,1)将本例中不等式改为ax2(a1)x1<0(a>0)，求不等式的解集解：原不等式可化为(ax1)(x1)<0.因为a>0，所以a(x1)<0.所以，当a>1时，解得<x<1；当a1时，解集为；当0<a<1时，解得1<x<.综上，当0<a<1时，不等式的解

6、集为；当a1时，不等式的解集为；当a>1时，不等式的解集为.解含参数一元二次不等式的分类讨论依据提示：含参数讨论问题最后要综上所述1(2019·天津卷)设xr，使不等式3x2x2<0成立的x的取值范围为_题目解析：3x2x2<0变形为(x1)·(3x2)<0，解得1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为.2(2021·江淮十校联考)已知函数f(x)则不等式x2·f(x)x20的解集是_x|1x1题目解析：原不等式等价于或即或所以1x<或x1，即解集为x|1x13已知常数ar，解关于x的不等式12x2ax>a

7、2.解：因为12x2ax>a2，所以12x2axa2>0，即(4xa)(3xa)>0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a>0时，<，不等式的解集为；当a0时，x2>0，不等式的解集为x|x0；当a<0时，>，不等式的解集为.综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|x0；当a<0时，不等式的解集为.考点2一元二次方程与一元二次不等式基础性1(2021·济南模拟)已知不等式ax25xb>0的解集为，则不等式bx25xa>0的解集为()abcx|3<x<2dx|x<

8、;3或x>2c题目解析：由题意知a>0，且，是方程ax25xb0的两根，所以解得所以不等式bx25xa5x25x30>0，即x2x6<0，解得3<x<2.故选c.2已知不等式ax2bx1>0的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()ax|2<x<3 bx|x2或x3c db题目解析：因为不等式ax2bx1>0的解集是，所以ax2bx10的解是x1和x2，且a<0，所以解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.所以不等式x2bxa0的解集是x|x2或x33若关于x的不等式axb<0的解集是(1，)，则关于x的

9、不等式(axb)(x3)>0的解集是()a(，1)(3，) b(1, 3)c(1,3) d(， 1)(3，)c题目解析：由关于x的不等式axb<0的解集是(1，)，可知ab<0，所以不等式(axb)(x3)>0可化为(x1)(x3)<0，解得1<x<3.所以不等式的解集是(1, 3)1. 一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值2给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数考点3一元二次不等式的恒成立问题应用性考向1在实数集r上的恒成立问题若不等式(a2)

10、x22(a2)x4<0对一切xr恒成立，则实数a的取值范围是()a(，2 b2,2c(2,2 d(，2)c题目解析：当a20，即a2时，不等式为4<0，对一切xr恒成立当a2时，则即解得2<a<2.综上，实数a的取值范围是(2,2一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的充要条件是考向2在给定区间上的恒成立问题若对任意的x1,2，都有x22xa0(a为常数)，则a的取值范围是()a(，3b(，0c1，)d(，1a题目解析：(方法一)令f(x)x22xa.则由题意，得解得a3.故选a.(方法二)当x1,2时，不等式x22xa0恒成立等价于ax22x恒成立令f(x)x22x(x1,2)而f(x)x22x(x1)21，当x1时，f(x)min3，所以a3.故选a.给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图像转化为等价不等式(组)求范围(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na.函数f(x)x2ax3.(1)当xr时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x