2022版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第6节正弦定理与余弦定理学案含解析新人教B版

1、高考复习资料第6节正弦定理与余弦定理一、教材概念·结论·性质重现1正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即2r，其中r是三角形外接圆的半径正弦定理的变形公式：(1)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.(2)sin a，sin b，sin c.(3)abcsin asin bsin c.若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题2余弦定理三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与

2、它们夹角余弦的积的2倍即a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c.余弦定理的推论：cos a，cos b，cos c.3三角形的面积公式(1)sah(h表示边a上的高)(2)sbcsin aacsin babsin c.(3)sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)4常用结论在abc中，常用以下结论：(1)abc.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)sin(ab)sin c；cos(ab)cos c；tan(ab)tan c；sin cos ；cos sin .(5)tan atan b

3、tan ctan a·tan b·tan c.(6)a>ba>bsin a>sin bcos a<cos b.二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形( )(2)在abc中，.( )(3)在abc中，a2b2>c2是abc为锐角三角形的必要不充分条件( )(4)在abc中，若sin asin b<cos acos b，则此三角形是钝角三角形( )2abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos a

4、，则b()a bc2d3d题目解析：由余弦定理，得4b22×2bcos a5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)故选d.3在abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边若a2bcos c，则此三角形一定是()a等腰直角三角形b直角三角形c等腰三角形d等腰三角形或直角三角形c题目解析：在abc中，因为cos c，所以a2bcos c2b·，所以a2a2b2c2，所以bc，所以此三角形一定是等腰三角形4在abc中，a3，b5，sin a，则sin b()a. b. c.d.1b题目解析：根据正弦定理，有，得sin b.故选b.5已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，

5、c的对边，a2，a45°.若三角形有两解，则边b的取值范围是_(2,2)题目解析：如图，abc有两解的充要条件是bsin 45°<2<b，解得2<b<2.故b的取值范围是(2,2)考点1利用正弦定理、余弦定理解三角形基础性1(2020·全国卷)在abc中，cos c，ac4，bc3，则cos b()a.b.c. d.a题目解析：由余弦定理得ab2ac2bc22ac·bc·cos c42322×4×3×9，所以ab3.又由余弦定理可知cos b.2(2019·全国卷)abc的内角a，

6、b，c的对边分别为a，b，c，已知asin absin b4csin c，cos a，则()a6b5 c4d3a题目解析：因为asin absin b4c·sin c，所以由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos a，所以6.3abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知c60°，b，c3，则a_.75°题目解析：由正弦定理，得sin b.因为0°b180°，且bc，所以bc，故b45°，所以a180°60°45°75°.4(2019·全国卷)abc的内角

7、a，b，c的对边分别为a，b，c.已知bsin aacos b0，则b_.题目解析：因为bsin aacos b0，所以.由正弦定理，得cos bsin b，所以tan b1.又b(0，)，所以b.利用正、余弦定理解三角形的策略(1)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形，可用正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理时，需判断其解的个数；用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断结合图像求解较为直观易解考点2判断三角形的形状

8、应用性设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若bcos cccos basin a，则abc的形状为()a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d不确定b题目解析：因为bcos cccos basin a，由正弦定理得sin bcos csin c·cos bsin2a，所以sin(bc)sin2a，即sin asin2a.又sin a>0，所以sin a1，所以a，故abc为直角三角形若本例条件变为，判断abc的形状解：由，得，所以sin acos acos bsin b，所以sin 2asin 2b.因为a，b为abc的内角，所以2a2b或2a2b，所以ab或ab，

9、所以abc为等腰三角形或直角三角形1判断三角形形状的常用途径2判断三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时，一定要注意三角形的解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中，要注意角a，b，c的范围对三角函数值的影响在等式变形时，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解1在abc中，sin2(a，b，c分别为角a，b，c的对边)，则abc的形状为()a直角三角形b等边三角形c等腰三角形或直角三角形d等腰直角三角形a题目解析：由cos b12sin2得sin2，所以，即cos b.(方法一)由余弦定理得cos b，即a2c2b22a2，所以a2b2c2.所以abc为直角三角形又无法判

10、断两直角边是否相等故选a.(方法二)由正弦定理得cos b，又sin asin (bc)sin bcos ccos b·sin c，所以cos bsin csin bcos ccos b·sin c，即sin bcos c0.又sin b0，所以cos c0.又角c为三角形的内角，所以c，所以abc为直角三角形又因为无法判断两直角边是否相等故选a.2给出下列命题：若tan atan b>1，则abc一定是钝角三角形；若sin2asin2bsin2c，则abc一定是直角三角形；若cos(ab)cos(bc)cos(ca)1，则abc一定是等边三角形其中正确命题的序号为_

11、题目解析：因为tan atan b>1，且a，b为三角形内角，所以tan a>0，tan b>0，所以a，b均为锐角又因为tan ctan(ab)<0，所以tan c>0，所以c为锐角，所以abc不是钝角三角形，故错误由正弦定理及条件，得a2b2c2，所以abc一定为直角三角形，故正确由cos(ab)cos(bc)cos(ca)1及a，b，c为三角形内角，可得cos(ab)cos(bc)cos(ca)1，所以abc.故正确考点3三角形的面积综合性(2020·广东化州二模)在abc中，三个内角a，b，c所对的边为a，b，c.若sabc2，ab6，2cos

12、c，则c()a2b2c4d3b题目解析：因为1，所以2cos c1，所以c60°.若sabc2，则absin c2，所以ab8.因为ab6，所以c2a2b22ab·cos c(ab)22abab(ab)23ab623×812，所以c2.故选b.(2020·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知b150°.(1)若ac，b2，求abc的面积；(2)若sin asin c，求c.解：(1)由余弦定理得a2c22accos bb2，将ac，b2，b150°代入，可得(c)2c22×c×ccos 150

13、°(2)2，整理得7c228，解得c2.所以a2.所以sabcacsin b×2×2×.(2)因为abc，所以sin asin(bc)又因为sin asin c，所以sin(bc)sin c，所以sin bcos ccos bsin csin c.将b150°代入，整理得cos csin c，即sin(c30°).因为b150°，所以0°c30°，即0°c30°60°，所以c30°45°，解得c15°.求解三角形面积问题的方法技巧(1)若三角形中

14、已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键1(2019·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，b，则abc的面积为_6题目解析：由余弦定理得b2a2c22accos b.又因为b6，a2c，b，所以364c2c22×2c2×，所以c2，a4，所以sabcacsin b×4×2×6.2(2020·全国卷)如图，在三棱锥p

15、abc的平面展开图中，ac1，abad，abac，abad，cae30°，则cosfcb_.题目解析：abac，ab，ac1，由勾股定理得bc2.同理得bd，所以bfbd，在ace中，ac1，aead，cae30°，由余弦定理得ce2ac2ae22ac·aecos 30°132×1××1，所以cfce1，在bcf中，bc2，bf，cf1，由余弦定理得cosfcb.3(2020·菏泽高三联考)在b，a2，bcos aacos b1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题已知在锐角abc中，角a，b，c的

16、对边分别为a，b，c，abc的面积为s.若4sb2c2a2，b，且_，求abc的面积s的大小解：因为4sb2c2a2，cos a，sbcsin a.所以2bcsin a2bccos a.显然cos a0，所以tan a1.又a，所以a.若选，b，由，得a2.又sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b，所以sabsin c×2××.若选，a2，由，得sin b.因为b，所以cos b.又sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b，所以sabsin c×2××.若选

17、，bcos aacos b1，所以acos b1，即a·1，所以a262cc2.又a26c22c×6c22c，所以62cc26c22c，解得c1.所以sbcsin a××(1)×sin .已知abc的三边长分别为a，b，c，满足a2b22c28，则三角形abc面积的最大值为()a. b. c. d.四字程序读想算思abc面积的最大值1.面积的表达式；2以谁为变量？用适当的变量表示s转化与化归a2b22c281.sah；2sabsin c；3边作变量；4角作变量；5海伦公式s2a2b2·(1cos2c)；s1.均值不等式；2函数最值；3

18、三角函数的性质思路参考：余弦定理角化边二次函数的最值b题目解析：因为a2b22c28，即a2b282c2，所以s2a2b2sin2ca2b2(1cos2c)a2b2a2b22c22，故当a2b2，c2时，s2有最大值，所以abc面积的最大值为.思路参考：设高转化，利用均值不等式b题目解析：如图，过点c作cdab于点d.设adm，bdn，cdh.因为a2b22c28，所以m2n22h22c28.因为m2n2，当且仅当mn时取等号故m2n22h22c22h22c22h22ch4s，所以s，当且仅当mn，ch时取等号所以abc面积的最大值为.思路参考：利用海伦公式s均值不等式b题目解析：设p(abc)，则pa(bca)，pb(acb)，pc(abc)所以s.因为a2b22c28，所以s.因为a2b22c28，所以4a2b2(a2b2)2(82c2)2.所以s.当c2时，s2有最大值.所以abc面积的最大值为.思路参考：建系设点b题目解析：如图，以ab所在直线为x轴，以线段ab的中垂线为y轴建立平面直角坐标系不妨令x1>0，y2>0，设a(x1,0)，b(x1,0)，c(x2，y2)因为a2b22c28，所以(x1x2)2y(x1x2)2y8x8，所以5xxy4.因为sx