平面向量的数量积(10)课件

1、5.3 5.3 平面向量的数量积平面向量的数量积要点梳理要点梳理1.1.平面向量的数量积平面向量的数量积 已知两个非零向量已知两个非零向量a a和和b b，它们的夹角为，它们的夹角为，则数量，则数量 叫做叫做a a与与b b的数量积（或内积），记的数量积（或内积），记作作 . . 规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为 . . 两个非零向量两个非零向量a a与与b b垂直的充要条件是垂直的充要条件是 ，两非，两非零向量零向量a a与与b b平行的充要条件是平行的充要条件是 . .| |a a|b b|cos |cos a ab b=|=|a a|b b|cos |co

2、s 0 0a ab b=0=0a ab b= =| |a a|b b| |基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义 数量积数量积a ab b等于等于a a的长度的长度| |a a| |与与b b在在a a方向上的投影方向上的投影 的乘积的乘积. .3.3.平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质 （1 1）e ea a= =a ae e= = ； （2 2）非零向量）非零向量a a，b b，a ab b ； （3 3）当）当a a与与b b同向时，同向时，a ab b= = ； 当当a a与与b b反向时，反向时，a ab b= = ,

3、 , a aa a= = ，| |a a|=|= ; ; （4 4）cos cos = = ； （5 5）| |a ab b| | | |a a|b b|. |. | |b b|cos|cos| |a a|cos |cos a ab b=0=0| |a a|b b| |-|-|a a|b b| |a a2 2aa|b|a|ba4.4.平面向量数量积满足的运算律平面向量数量积满足的运算律 （1 1）a ab b= = （交换律）；（交换律）； （2 2）（）（ a a）b b= = = = （ 为实数）；为实数）； （3 3）（）（a a+ +b b）c c= = . .b ba aa ab b

4、a a b ba ac c+ +b bc c5.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示平面向量数量积有关性质的坐标表示 设 向 量设 向 量 a a = = （ x x1 1， y y1 1） ，） ， b b = = （ x x2 2， y y2 2） ， 则） ， 则 a ab b= = ，由此得到，由此得到 （1 1）若）若a a= =（x x，y y）, ,则则| |a a| |2 2= = 或或| |a a| | . . （2 2）设）设A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2），则），则A A、B B两点间两点间的距离的距离| |ABAB|=|=|

5、ABAB|= |= . . （3 3）设）设a a= =（x x1 1，y y1 1），），b b= =（x x2 2，y y2 2），则），则a ab b . .x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2x x2 2+ +y y2 2221221)()(yyxxx x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2=0=022yx 基础自测基础自测1.1.已知已知a a=(2,3),=(2,3),b b=(-4,7),=(-4,7),则则a a在在b b上的投影为（上的投影为（ ） A. A. B. B. C. C. D.D. 解析解析 设设a a和和b b的夹角为的夹角为，|

6、|a a|cos |cos =|=|a a| | C1351356565|b|a|ba.56565137)4(73)4(2222.2.若若| |a a|=2cos 15|=2cos 15，| |b b|=4sin 15|=4sin 15，a a，b b的夹角为的夹角为3030，则，则a ab b等于等于（） A. A. B. B. C. C. D.D. 解析解析B233322130cos|baba360sin230cos30sin430cos15sin415cos23.3.已知已知a a=(1,-3),=(1,-3),b b=(4,6)=(4,6)，c c=(2,3)=(2,3)，则，则a a

7、（b bc c）等于等于（） A.A.（2626，-78-78）B.B.（-28-28，-42-42） C.-52C.-52D.-78D.-78 解析解析 a a(b bc c)=(1,-3)=(1,-3)(4(42+62+63)=(26,-78).3)=(26,-78).A4.4.向量向量m m=(=(x x-5,1),-5,1),n n=(4,=(4,x x),),m mn n，则，则x x等于（等于（） A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 解析解析 由由m mn n=0=0，得，得4(4(x x-5)+-5)+x x=0=0，得，得x x=4.=4.D5 .5 . （ 2

8、0 0 9 2 0 0 9 江 西 文 ，江 西 文 ， 1 31 3 ） 已 知 向 量已 知 向 量a a=(3,1),=(3,1),b b=(1,3),=(1,3),c c=(=(k k,2),2),若（若（a a- -c c）b b, ,则则k k= = . . 解析解析 a a- -c c=(3,1)-(=(3,1)-(k k,2)=(3-,2)=(3-k k,-1),-1), ( (a a- -c c)b b，b b=(1,3),=(1,3), (3- (3-k k) )1-3=0,1-3=0,k k=0.=0.0 0题型一题型一 平面向量的数量积平面向量的数量积【例例1 1】已知

9、向量】已知向量a a=(cos =(cos x x,sin ,sin x x),), b b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且，且x x . . (1) (1)求求a ab b及及| |a a+ +b b|;|; (2) (2)若若f f( (x x)=)=a ab b-|-|a a+ +b b| |，求，求f f( (x x) )的最大值和最小值的最大值和最小值. . 利用数量积的坐标运算及性质即可求解，利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求在求| |a a+ +b b| |时注意时注意x x的取值范围的取值范围. .23232x2x43，思维启迪思维启迪题型分类题型

10、分类 深度剖析深度剖析,2cos2sin23sin2cos23cos) 1 (xxxxxba解解 xxxxxxxxxxxxcos,4,3|,cos|22cos22)2sin23(sin2cos23cos2sin23sin2cos23cos22）（|ba|)-,(ba0 0|a a+ +b b|=2cos |=2cos x x. .(2)(2)由由(1)(1)可得可得f f( (x x)=cos 2)=cos 2x x-2cos -2cos x x=2cos=2cos2 2x x-2cos -2cos x x-1-1=2(cos =2(cos x x- )- )2 2- .- .x x ， co

11、s cos x x11，当当cos cos x x= = 时，时，f f( (x x) )取得最小值为取得最小值为- - ；当当cos cos x x=1=1时，时，f f( (x x) )取得最大值为取得最大值为-1. -1. 2123214,32123 探究提高探究提高 （1 1）与三角函数相结合考查向量的数）与三角函数相结合考查向量的数 量积的坐标运算及其应用是高考热点题型量积的坐标运算及其应用是高考热点题型. .解答此解答此 类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公 式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三式、向量模、夹角的坐标运算公

12、式外，还应掌握三 角恒等变换的相关知识角恒等变换的相关知识. . （2 2）求平面向量数量积的步骤：首先求）求平面向量数量积的步骤：首先求a a与与b b的夹角的夹角 为为, ,0 0，180180，再分别求，再分别求| |a a| |，| |b b| |， 然后再求数量积即然后再求数量积即a ab b=|=|a a|b b|cos|cos，若知道向量，若知道向量 的坐标的坐标a a=(=(x x1 1, ,y y1 1),),b b=(=(x x2 2, ,y y2 2),),则则a ab b= =x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2. .知能迁移知能迁移1 1 （1 1）

13、已知）已知O O是是ABCABC内部一点，内部一点， = =0 0， 且且BACBAC=30=30，则，则AOBAOB的面积为的面积为（） A.2A.2B.1B.1C. C. D. D. 解析解析 由由 = =0 0得得O O为为ABCABC的重心的重心. . S SAOBAOB= = S SABCABC. . 又又 cos 30cos 30=2 =2 ， 得得 =4.=4. S SABCABC= sin 30= sin 30=1.=1.S SAOBAOB= .= .DOCOBOA, 32 ACAB2131OCOBOA31| |ACABACAB| |ACAB| |ACAB21313（2 2）（

14、20092009重庆理，重庆理，4 4）已知已知| |a a|=1,|=1,|b b|=6,|=6,a a(b b- -a a)=2)=2，则向量，则向量a a与与b b的夹角是的夹角是（） A. A. B. B. C.C. D.D. 解析解析 a a(b b- -a a)=)=a ab b- -a a2 2=2,=2,a ab b=2+=2+a a2 2=3=3 cos cosa a，b b= = a a与与b b的夹角的夹角为为 . .C6432,21613|b|a|ba3题型二题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题利用平面向量的数量积解决垂直问题【例例2 2】已知向量】已知向量a a=

15、(cos(-=(cos(-),sin(-),sin(-),),b b= = （1 1）求证：）求证：a ab b； （2 2）若存在不等于）若存在不等于0 0的实数的实数k k和和t t，使，使x x= =a a+(+(t t2 2+3)+3)b b, , y y=-=-k ka a+ +t tb b，满足，满足x xy y，试求此时，试求此时 的最小值的最小值. . （1 1）可通过求可通过求a ab b=0=0证明证明a ab b. . （2 2）由由x xy y得得x xy y=0=0，即求出关于，即求出关于k k, ,t t的一个方程，从的一个方程，从而求出而求出 的代数表达式，消去一

16、个量的代数表达式，消去一个量k k，得出关于，得出关于 t t的函数，从而求出最小值的函数，从而求出最小值. .),2(cos(),2sin(t2tk 思维启迪思维启迪t2tk (1)(1)证明证明 a ab b=cos(-=cos(-)cos( -)cos( -)+sin(-)+sin(-) )sin( -sin( -)=sin )=sin cos cos -sin -sin coscos=0.=0.a ab b. .（2 2）解解 由由x xy y得得x xy y=0,=0,即即a a+ +（t t2 2+3+3）b b（- -k ka a+ +t tb b）=0=0，-k ka a2 2

17、+ +（t t3 3+3+3t t）b b2 2+ +t t- -k k（t t 2 2+3+3）a ab b=0=0，-k k| |a a| |2 2+ +（t t3 3+3+3t t）| |b b| |2 2=0.=0.又又| |a a| |2 2=1=1，| |b b| |2 2=1=1，-k k+ +t t3 3+3+3t t=0=0，k k= =t t3 3+3+3t t. .故当故当t t= = 时，时， 有最小值有最小值 . .22.411)21(3322232tttttttttk21ttk2411 探究提高探究提高 （1 1）两个非零向量互相垂直的充要条）两个非零向量互相垂直的

18、充要条件是它们的数量积为零件是它们的数量积为零. .因此，可以将证两向量的因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零. . （2 2）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题坐标研究有关长度、角度和垂直问题. .知能迁移知能迁移2 2 已知平面向量已知平面向量a a= =（- , - ,

19、）, ,b b=(- , -1).=(- , -1). (1) (1)证明：证明：a ab b; ; (2) (2)若存在不同时为零的实数若存在不同时为零的实数k k、t t, ,使使x x= =a a+(+(t t2 2- 2)- 2)b b, , y y=-=-k ka a+ +t t2 2b b, ,且且x xy y，试把，试把k k表示为表示为t t的函数的函数. . (1) (1)证明证明 a ab b= ( ,-1)= ( ,-1) a ab b. .2123)23,21(3, 0) 1(23)3()21(3(2)(2)解解 x xy y,x xy y=0,=0,即即a a+(+(

20、t t2 2-2)-2)b b（- -k ka a+ +t t2 2b b）=0.=0.展开得展开得- -k ka a2 2+ +t t2 2- -k k( (t t2 2-2)-2)a ab b+ +t t2 2( (t t2 2-2)-2)b b2 2=0,=0,a ab b=0,=0,a a2 2=|=|a a| |2 2=1,=1,b b2 2=|=|b b| |2 2=4,=4,-k k+4+4t t2 2（t t2 2-2-2）=0,=0,k k= =f f( (t t)=4)=4t t2 2 ( (t t2 2-2).-2).题型三题型三 向量的夹角及向量模的问题向量的夹角及向量

21、模的问题【例例3 3】 （1212分）已知分）已知| |a a|=1|=1，a ab b= = ，（，（a a- - b b）（a a+ +b b）= = ， 求：（求：（1 1）a a与与b b的夹角；的夹角； （2 2）a a- -b b与与a a+ +b b的夹角的余弦值的夹角的余弦值. . 解解 （1 1）（a a- -b b）（a a+ +b b）= = ， |a a| |2 2-|-|b b| |2 2= = ， 又又|a a|=1|=1，|b b|= |= 3 3分分 设设a a与与b b的夹角为的夹角为， 则则cos cos = = 0 0 180 180,=45=45. 6.

22、 6分分21212121.2221|2a,2222121|baba5 5分分（2 2）（a a- -b b）2 2= =a a2 2-2-2a ab b+ +b b2 2 | |a a- -b b|=|=8 8分分（a a+ +b b）2 2= =a a2 2+2+2a ab b+ +b b2 2=1+2=1+2|a a+ +b b|= ,|= ,设设a a- -b b与与a a+ +b b的夹角为的夹角为 ，1010分分则则cos =cos =1212分分,21212121.22,252121210.552102221(|ba|b-a|b)ab)-(a 探究提高探究提高 （1 1）求向量的夹

23、角利用公式）求向量的夹角利用公式coscosa a，b b= .= .需分别求向量的数量积和向量的模需分别求向量的数量积和向量的模. .（2 2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法. . | |a a| |2 2= =a a2 2= =a aa a; ;| |a ab b| |2 2= =a a2 22 2a ab b+ +b b2 2; ; 若若a a=(=(x x, ,y y) )，则，则| |a a|= .|= .|baba22yx 知能迁移知能迁移3 3 已知已知| |a a|=4,|=4,|b b|=8,|=8,a a与与b b的夹角是的夹角是

24、120120. . (1) (1)计算：计算：| |a a+ +b b|;|;|4|4a a-2-2b b|;|; (2) (2)当当k k为何值时，为何值时，( (a a+2+2b b)()(k ka a- -b b) )？ 解解 由已知，由已知，a ab b=4=48 8(- )=-16.(- )=-16. （1 1）|a a+ +b b| |2 2= =a a2 2+2+2a ab b+ +b b2 2 =16+2 =16+2(-16)+64=48,(-16)+64=48, | |a a+ +b b|=4 .|=4 .213|4|4a a-2-2b b| |2 2=16=16a a2 2

25、-16-16a ab b+4+4b b2 2=16=1616-1616-16(-16)+4(-16)+464=364=316162 2, ,|4|4a a-2-2b b|=16 .|=16 .（2 2）若）若( (a a+2+2b b)()(k ka a- -b b),),则则( (a a+2+2b b)()(k ka a- -b b)=0,)=0,k ka a2 2+ +（2 2k k-1-1）a ab b-2-2b b2 2=0.=0.1616k k-16-16（2 2k k-1-1）-2-264=064=0，k k=-7.=-7.3方法与技巧方法与技巧1.1.数量积数量积a ab b中间

26、的符号中间的符号“”不能省略，也不能用不能省略，也不能用“”来替代来替代. .2.2.要熟练类似（要熟练类似（ a a+ +b b)()(s sa a+ +t tb b)= )= s sa a2 2+( +( t t+ +s s) )a ab b+ +t tb b2 2的运算律（的运算律（ 、s s、t tR R）. .3.3.求向量模的常用方法：利用公式求向量模的常用方法：利用公式| |a a| |2 2= =a a2 2, ,将模的运将模的运算转化为向量的数量积的运算算转化为向量的数量积的运算. .4.4.一般地，（一般地，（a ab b）c c(b bc c) )a a即乘法的结合律不成

27、即乘法的结合律不成立立. .因因a ab b是一个数量，所以是一个数量，所以( (a ab b) )c c表示一个与表示一个与c c共线的向量，同理右边（共线的向量，同理右边（b bc c）a a表示一个与表示一个与a a共线共线的向量的向量, ,而而a a与与c c不一定共线不一定共线, ,故一般情况下故一般情况下( (a ab b) )c c ( (b bc c) )a a. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1.1.零向量零向量:(1):(1)0 0与实数与实数0 0的区别，不可写错：的区别，不可写错：0 0a a= =0 00,0,a a+(-+(-a a)=)=

28、0 00,0,a a0 0=0=00 0;(2);(2)0 0的方向是任的方向是任意的，并非没有方向，意的，并非没有方向，0 0与任何向量平行，我们只与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系定义了非零向量的垂直关系. .2.2.a ab b=0=0不能推出不能推出a a= =0 0或或b b= =0 0, ,因为因为a ab b=0=0a ab b. .3.3.a ab b= =a ac c( (a a0 0) )不能推出不能推出b b= =c c. .即消去律不成立即消去律不成立. .4.4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABCABC中，中， 应为

29、应为120120, ,而不是而不是6060. .BCAB,一、选择题一、选择题1.1.（20092009宁夏文，宁夏文，7 7）已知已知a a=(-3,2),=(-3,2),b b=(-1,0)=(-1,0)，向，向量量 a a+ +b b与与a a-2-2b b垂直，则实数垂直，则实数 的值为（的值为（） A. A. B.B. C. C. D.D. 解析解析 a a=(-3,2),=(-3,2),b b=(-1,0),=(-1,0), a a+ +b b=(-3 -1,2 ),=(-3 -1,2 ), a a-2-2b b= =（-3-3，2 2）-2-2（-1-1，0 0）= =（-1-1

30、，2 2）. . 由（由（ a a+ +b b）(a a-2-2b b),),知知4 4 +3 +1=0.+3 +1=0. =-=-A7171616171定时检测定时检测2.2.已知向量已知向量a a, ,b b的夹角为的夹角为120120，| |a a|=1|=1，| |b b|=5|=5，则，则 |3|3a a- -b b| |等于等于（）A.7A.7B.6B.6C.5C.5D.4D.4解析解析 2)3(|3|baba. 749)21(562596|922babaA3.3.设向量设向量a a与与b b的夹角为的夹角为，定义，定义a a与与b b的的“向量积向量积”：a ab b是一个向量，

31、它的模是一个向量，它的模| |a ab b|=|=|a a|b b|sin |sin , ,若若a a=(- , -1),=(- , -1),b b=(1, )=(1, )，则，则| |a ab b| |等于等于（） A.A.B.2B.2C.2C.2D.4D.4 解析解析 |a a|=|=|b b|=2|=2，a ab b=-2 =-2 ， cos cos = = 又又0 0，sin sin = = | |a ab b|=2|=22 2 =2. =2.2322322121B333334.4.已知非零向量已知非零向量a a, ,b b，若，若| |a a|=|=|b b|=1,|=1,且且a a

32、b b，又知，又知 （2 2a a+3+3b b）(k ka a-4-4b b) )，则实数，则实数k k的值为的值为 （） A.-6A.-6B.-3B.-3C.3C.3D.6D.6 解析解析 由（由（2 2a a+3+3b b）（k ka a-4-4b b）=0=0，得，得2 2k k-12=0,-12=0, k k=6.=6.D5.5.（20092009全国全国文，文，8 8）设非零向量设非零向量a a、b b、c c满足满足| |a a|=|=|b b|=|=|c c|,|,a a+ +b b= =c c, ,则则a a, ,b b= =（） A.150A.150B.120B.120C.

33、60C.60D.30D.30 解析解析 a a+ +b b= =c c,|,|c c| |2 2=|=|a a+ +b b| |2 2= =a a2 2+2+2a ab b+ +b b2 2. . 又又| |a a|=|=|b b|=|=|c c|,2|,2a ab b=-=-b b2 2, , 即即2|2|a a|b b|cos|cosa a, ,b b=-|=-|b b| |2 2. . cos cosa a, ,b b=- ,=- ,a a, ,b b=120=120. .21B6.6.在在ABCABC中，已知中，已知a a、b b、c c成等比数列，且成等比数列，且a a+ +c c=

34、3=3，cos cos B B= = ，则，则 等于等于（） A. B. C.3 D.-3A. B. C.3 D.-3 解析解析 由已知由已知b b2 2= =acac，a a+ +c c=3=3，cos cos B B= = ， 得得 ，得，得acac=2.=2. 则则 = =acaccoscos =2=243BCAB232343acaccaacbca23)(2432222BCABBCAB,.23)43(B二、填空题二、填空题7.7.（20092009江苏，江苏，2 2）已知向量已知向量a a和向量和向量b b的夹角为的夹角为3030，| |a a|=2|=2，| |b b|= |= ，则向

35、量，则向量a a和向量和向量b b的数量积的数量积a ab b= = . . 解析解析 由题意知由题意知a ab b=|=|a a|b b|cos 30|cos 30=2=2 =3. =3.3 323338.8.设向量设向量a a, ,b b满足满足| |a a- -b b|=2|=2，| |a a|=2|=2，且，且a a- -b b与与a a的夹角的夹角为为 ，则，则| |b b|= |= . . 解析解析 由已知得由已知得 即即 a ab b=2.=2. 又又| |a a- -b b| |2 2=4=|=4=|a a| |2 2+|+|b b| |2 2-2-2a ab b， |b b|

36、 |2 2=4,|=4,|b b|=2.|=2.32 2,|)(21abaaba.4|212baa9.9.已知向量已知向量a a=(=(x x,1),1),b b=(2,3=(2,3x x) )，则，则 的取值的取值范围是范围是 . . 解析解析 本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求最值；原式最值；原式= = ，当，当x x=0=0时，原式时，原式=0=0， 当当x x00时，原式时，原式= = 22|baba221xx;211212xxxx 当当x x0 0时，时，0 0 当当x x0 0时，时，0 0 综上所述，取值范围为综上所述，取值范围为 答案答

37、案 42,42;211212xxxx;422121 xx;)21(1212xxxx;422121xx.42,42三、解答题三、解答题10.10.已知点已知点A A（1,01,0）, ,B B（0,10,1）, ,C C（2sin2sin，coscos）. . （1 1）若）若| |=| | |=| |，求，求tantan的值；的值； （2 2）若（）若（ ） =1 =1，其中，其中O O为坐标原点，求为坐标原点，求sin 2sin 2的值的值. . 解解 (1)(1)A A(1,0),(1,0),B B（0,10,1）, ,C C（2sin2sin,cos,cos），）， =(2sin =(2sin-1,cos-1,cos), =(2sin), =(2sin,cos,cos-1).-1). | |=| | | |=| |， ACBCOBOA2OCACBCACBC化简得化简得2sin2sin=cos=cos. .coscos00（若（若coscos=0,=0,则则sinsin= =1,1,上式不成立）上式不成立）. .tan tan = .= .（2 2） = =（1 1，0 0），）， = =（0 0，1 1），）， = =（2sin2sin，coscos），）， = =（1 1，2