导数及其应用知识点总结

1、导数及其应用知识点总结一、导数的概念和儿何意义1 .函数的平均变化率：函数/(X)在区间及工上的平均变化率为：。2 .导数的定义:设函数y = f(x)在区间伍力)上有定义，$W(a,b),若Ax 无限趋近于o时，比值无限趋近于一个常数限则称函 ZxVZXV数/在x = x0处可导，并称该常数月为函数/在x = x。处的导数，记作 /u)o函数/(X)在x=x。处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3 .求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量,，= / + *)-"/)； (2) 求平均变化率：'(% + '-)； (3)取极限，当心无限趋近及0时， At/1% +个

2、一(%)无限趋近及一个常数4 则八%)=儿4 .导数的几何意义：函数f(x)在X =.%处的导数就是曲线产/(x)在点(%/%)处的切线的斜 率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：(1)求出y = f(x)在照处的导数，即为曲线y = /(x)在点(%,/(%)处的切 线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y-y0 = f'(x0)(x-xQ)o当点P(Xo，No)不在y = /(x)上时，求经过点尸的y = f(x)的切线方程，可 设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将尸点的坐标代入确定切点。 特别地，如果曲线，= /(.¥)

3、在点(%)(不)处的切线平行及y轴，这时导数不 存在，根据切线定义，可得切线方程为X = X。5 .导数的物理意义:质点做直线运动的位移S是时间2的函数S"),则l/ = S()表示瞬时速度,4 = M(f)表示瞬时加速度。二、导数的运算(2) u =。(。为常数);1 .常见函数的导数:(1)(kx+b)' = k(k, b 为常数);(3) (x/ = 1 ；(5)(x3y=3x2；(7) g'=/(9 ) (a ' )9 = ax In a(“ > 0,4 h 1);(log, X)，=qlog“ e = 7( >0," 1)；(1

4、1) (exY = ex;(13 ) (sin x)r = cosx ;(4) (x2Y = 2x;(6)d)'T ； x A-(8) (xa)f = axa-1 ( a 为常数);(10)(12 ) (In x)'=-； X(14 ) (cosx)' = -sinx。2 .函数的和、差、积、商的导数：(1)/(x)±ga)'=r(x)±g'(x)；3 2) CfM' = Cf(x)(C 为常数);(3 ) /(x)(x)r = f(x)g(x) + f(x)gXx);(4)爵，J(/(；(x)g'(x)(g(x)=0

5、)。4 .简单复合函数的导数：若 y = /("), = or + b，则 y'x =yi -»* » 即乂 = y： a o三、导数的应用5 .求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数，=/(4)在区间(“内可导,(1)如果恒八x)>0,则函数y = x)在区间3。)上为增函数;(2)如果恒广。)<0,则函数y = f(x)在区间33上为减函数;(3)如果恒/出=0,则函数y = /(x)在区间(“向上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数y = "x)的定义域；求 导数八x);解不等式八、)>0,解

6、集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式 /(X)<0,解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数 的取值范围)：设函数y = /在区间(“,)内可导，(1)如果函数y = /(a)在区间(a,b)上为增函数，则/V)>0 (其中使 /(x) =0的J值不构成区间)；(2)如果函数y = /(a)在区间(“»上为减函数，则/V)<0 (其中使 /(x) = 0的x值不构成区间)；(3)如果函数y = /(x)在区间(“力)上为常数函数，则八x) = 0恒成立。6 .求函数的极值：设函数y = /(x)在/及其附

7、近有定义，如果对与附近的所有的点都有(或“幻</(%),则称/(%)是函数/(X)的极小值(或极大值)。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：(1)确定函数/(X)的定义域；(2)求导数/；(3)求方程>3=0的 全部实根，为<看 <<£,顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：X变化时,r(x)和/co值的变化情况:X(F，X)a，s) 4区,+8)/'(X)正负0正负0正负/(X)单调性单调性单调性(4)检查尸(X)的符号并由表格判断极值。7 .求函数的最大值及最小值：如果函数/(幻在定义域/内存在小,使得对任意的xe/,总有

8、/(.r)</(x0),则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极 值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数/(x)在区间句上的最大值和最小值的步骤：(1)求.f(x)在区间(“.)上的极值；(2)将第一步中求得的极值及比较，得到f(x)在区间口向上的 最大值及最小值。8 .解决不等式的有关问题：(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。f(x)(x e A)的值域是a, b时,不等式/。) < 0恒成立的充要条件是/ *)皿<0,即 V 0 ;不等式f(x) > 0恒成立的充要条件是>0,即a > 0。/1(x)(x A)的值域是(",)时，不等式/(x)<0恒成立的充要条件是不等式/*) > 0恒成立的充要条件是aN0。(2)证明不等式f(x)v0可转化为证明f(x)1rax <0,或利