初中数学实数(二次根式)重难点题型梳理归纳

1、实数章末重难点题型汇编【考点1无理数的概念】【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有三类：（1）开方开不尽的数，如返等；（2）有特泄意义的数，如圆周率7T,或化简后含有"的数，如冬+ 1等：3（3）有特定结构的数，如0.1010010001等；22 °【例1】（2019春博兴县期中）在3.14、屁、一貞、V27x 0.2020020002这六个数中，无理数 7有（）A1个B. 2个C3个D. 4丿卜22 【答案】解：3.14、一、V27. 0.2020020002是有理数，伍、一貞、2tt是无理数，无理数的个数是3,

2、7故选：C.【变式1-1】（2018春新罗区校级期中）下列说法中无限小数都是无理数无理数都是无限小数-2是4的平方根 带根号的数都是无理数.其中正确的说法有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】无限不循环小数都是无理数，故错误；无理数都是无限不循环小数，故正确：-2是4的平方根，故正确：带根号的数不一泄都是无理数，故错误：故选：B.【变式 1-2 （2018 秋东台市期中）下列实数中，V12x 75、一二-3.14、航、p27. 0、0.3232232223 7 2（相邻两个3之间依次增加一个2）,无理数的个数是（）A. 2个B. 3个C4个D. 5个【答案】解：V12=2V3,

3、727 =-3-则无理数有：V12. 辱 航、03232232223，共5个.故选：D.2【变式1-3】（2019秋安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（）-丁（_5）2、V36.扌、0、5、V11. 3.1415、J|、2.010101-（相邻两个 1 之间有 1 个 0）.A1个B. 2个C3个D. 4个故选：C.【考点2无理数的估算】【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算.【例2】（2018春巫山县期中）估计一的值在（D. 4到5之间A1至IJ2之间 B. 2到3之间C. 3到4之间【答案】解：3<启<4,.4S + 1V5, =的值在2到3之

4、间.故选：B.【点睛】此题主要考査了估算无理数的大小，正确得岀届的取值范是解题关键.【变式21】（2019春北流市期中）设"为正整数，且n<V83<n+b则的值为（）A6B. 7D9【答案】解：7;81</83<100» A9<V83<10> 又T” 为正整数，"=9.故选：D.【变式2-2】 （2019春嘉陵区）已知a, b分别是6-xAH的整数部分和小数部分，则2a-b的值是（）A V13-2 B 2-V13C V13D 9-/13【答案】解：TvVHV,.6佰的整数部分是2,即a=2,6-V13的小数部分是 6-71

5、3-2=4-713,即 b=4-VH, ：.2a - b=4 - 4+V13 = V13：故选：C.【变式2-3】 （2019春鄰城县期中）若a是质1的整数部分，b是5+站的小数部分，则«（V5-6）的 值为（）A. 6B. 4C 9D 3佔【答案】解:V2<V1O-1<3, Aa=2,又T7V5+曲<8,.5+曲的整数部分为7Ad=5+V5-7= n/5-2；'a （/S b =2X （y/S y/S +2） =4故选：B【考点3实数的大小比较】【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.【例3】（2019秋河北期中

6、）已知a=V7-曲，5= V5-n/3, c=3-护,则a、b、c三个数的大小关系是（ ）A b>c>aB b>a>cC a>b>c【答案】解：-站，5=V5-V3, c=3-y/7, ：.-=a v7vS2b = 7 =7 =6= 丁 .V7>V3,V33>75, :V、：>>,:b>a>c故选:B. a c cab【变式3-1】 （2019春洪山区期中）比较实数：2、yJS.習的大小，正确的是（）A. V7<2<V5 B. 2<V7<V5 C. V5<V7<2 D. 2<VK&

7、lt;W【答案】解：2=V?vV,.2曲，VV7<'8=2, ./7<2, V7 <2 <V5.故选：丄【变式32】（2019春淮北期中）比较齿-1与空的大小，结果是（）2A.前者大 B.后者大C. 一样大D.无法确定【答案】解：Vx/3-l- = -l<-l = l - 1=0,71一1 一字 <0,.71一1<学.比较逅1与乎的大小，结果是后者大.故选：B.【变式3-3】 （2019秋乐山校级期中）已知（1=近一, b =晶一 2, c = 22 - V6,那么a、b、c的大小 关系是（）A a<b<cB c<b<a

8、 C.b<a<cD.c<a<b【答案】解：: a- c=- （2V2-V6）=晶一 （1+V2）心2.449 2414>0,:.a>c； 9：a- b= V2-1 -（W-2）=近+ 1-齿2.414-2.449V0,.a<b9 .c<a<b.故选：D【考点4二次根式相关概念】【方法点拨】（1）二次根式的泄义：一般地，形如而（a2O）的式子叫做二次根式。（2）最简二次根式满足的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。要

9、判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里而的数，把非最简二 次根式化成最简二次根式，然后判断。【例4】（2018春禹州市期中）下列各式：V1O,屁，厲2_1,厶2 +护,戶，74,+ i中,定是二次根式的个数是（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 7个【答案】解：VIo,y/b2 1. y/x2 + y2, f-3, V5, dm? + 1 中,一定是二次根式的是：V10, * +y2,岳 屁2 + 1共4个.故选：B.【变式4-1】 （2019春莱芜期中）二次根式：/9-x2； /（a+b）（a-b）；Va2_2a + 1：J|：V57K中最简二次根式是（）A.B.C.D.只有【答案

10、】解：血2一2“1= J（a1）2=匕_1|,被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式:卜（总=学，被开方数含有分母，不是最简二次根式：®V075 = J| = ,被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式： 因此只有符合最简二次根式的条件.故选：丄【变式4-21（2019春泰兴市期中）如果皿与最简二次根式V7二是同类二次根式，那么a的值是（）A. -2 B. -1C 1D 2【答案】解：V12=2y/3.由题意，得l-2a=3,解得a=2,故选：D.【变式43】（2019春泄州市期中）与颂不是同类二次根式的是（）【答案】解：>/a3b = |a|/aFC、后： = w与a

11、y/ab被开方数相同，是同类二次根式：A.孵=学与|a|问被开方数不同，不是同类二次根式:是同类二次根式；D、招=滲与仪|问被开方数相同，是同类二次根式.故选：丄【考点5二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义条件需满足被开方数大于等于0.<2_x【例5】（2018秋东营区校级期中）二次根式一在实数范用内有意义，则x的取值范围是x+3【答案】解：二次根式一在实数范围内有意义，2-心0,且x+3H0,解得：xW2且xH-3. x+3故答案为：xW2且xH -3.【变式5-1】 （2019春杭锦后旗期中）已知3=V=+3,则x-y=.【答案】解：+.二;當解W： x=l：.y=3：.x

12、-y= -2 故答案为：-2【变式5-2】 （2019春黄石期中）已知实数a满足|2006 - a|+Ja - 2007 =a,则a - 20062=.【答案】解：根据题意得，a- 20070,解得a$2007,原式可化为：a - 2006+血一 2007 =a, 即血 一 2007 =2006,两边平方得， 2007=20062, ."- 20062=2007.故答案为：2007.【变式5-3】 （2018春荔湾区校级期中）已知a = 垃若上兰+ 3b,则a+b的立方根是.【答案】解：由题意，得於=4且"2工0所以b=2.所以。=6所以。+6=8所以口 =一2故答案是：-

13、2.【考点6二次根式的性质与化简】 【方法点拨】掌握二次根式的性质是关键:（血尸=u （aO）：后=u （aO）：y7 = a （a取全体实数）。【例6】（2019春昌江区校级期中）把根号外的因式移到根号内：（a- 1）=的结果是=x9= V y-x【答案】解：原式（Is）出=一廉匸手任 = J（la）2出= 故答案是：V1 a【变式61】（2018春宜兴市期中）已知小0,则化简代数式【答案】解：力0,且J弓有意义，.，0,vo,.故答案为：Jy.【变式62】（2018春肥城市期中）若/4x【答案】解：由题得，c>Q>b>a, 后 + |a + b| + J(c a)2 |b

14、 c|=aa - b+c - a+b - c= - 3a故答案为-3a【考点7实数的运算】 【例7】（2019春老河口市期中）计算:(1) (-V2)2 X Vp2)2 + VP4)3 X (-1)2 - V27 |V2-n/3| + |1-| + V3(V3-)【答案】解：(1)原式=2X2 + (-4)X#-3=4-l3=0：(2)原式=/3-V2 + V2-l + 3-l = V3+l.【变式 7-1】 （2019 春费县期中）（1）计算：（1） （-2）2x 卡+|口|+0X（1）2019-4x + 1=1-2x,则x的取值范用是【答案】解：已知等式变形得：/（2x-l）2=|2x-

15、1|=1 -2x, 21W0,解得：x *故答案为：x *【变式63】（2018秋杞县期中）实数心人c在数轴上的对应点的位置如图,化简:|a + b| + J(c a)2 |b c| =(2)解方程：3 (x-2) 2=27【答案】解：（1）原式=4x|+2+-V2=4-V2：(2) 3 (x-2) 27(x2) 2=9> 则 x-2=±3,解得：x= - 1 或 5【变式72】（2019春闻中市期中）计算(1)(2) V3( V3) I>/2 2|.【答案】解：原式=232+卜2=弓(2)原式=1-3 - (2-V2) = - 4+V2.【变式73】（2019春泰山区期

16、中）计算:(1) V32 - V20 + V50 - V80 (2)2(3)掙3-*718 (V2-V3)2(5 + 2v6).【答案】解：（1）原式=475-2岛+5逅一4/§ = 9一6洁：原式=掙不¥ =寧：(3) J；=2Vx + 3/x -= >/x V2x；(4) 原式=(2+3-2屆)(5+2虫)=25 - 24=1.【考点8平方根与立方根的性质应用】 【方法点拨】理解平方根、算术平方根、立方根的怎义是关键:（1）一般地，如果一个正数X的平方等于6即x2p,那么这个正数X叫做。的算术平方根。（2） 般地，如果一个数的平方等于Q,那么这个数叫做。的平方根或

17、二次方根。（3）般地，如果一个数的立方等于6那么这个数叫做。的立方根或三次方根。【例8】（2019春中山市期中）已知一个正数加的平方根是2a1与a+b+2立方根是2,求加+b的平方根.【答案】解：2a-l与是正数加的平方根（21） + （2r ） =0,?.67= - 1： 皿=（-1） 2=1；a+b+2 立方根是 2, 卄6+2 = 8.b=7： Aw+Z>= 1+7=8.所以加+b的平方根是±2返.【变式81】（2019春乐陵市期中）已知一个正数的平方根是2a-3和b的立方根是2,求加b 的平方根.【答案】 一个正数的平方根是2a-3和5a,(23) + (5-a) =0

18、,a+2=0,解得a=2： Tb的立方根是2,:b= ( - 2) 3= - 8,：.2a-b=2X ( -2) - (-8) =4, 2a - b 的平方根是：土曲=±2.【变式8-2】 (2018春孝南区期中)已知正数x的两个不同的平方根分别是21和5,且x-y-3的 立方根为3.(1) 填空：x=, y=, a=:(2) 求x-j*3a的平方根.【答案】解：(1)由正数x的两个不同的平方根分别是2a-1和a-5,得2a-l+a-5=0,解得a=2,由平方根的意义，得= (2a-l)2 = 9： x-y-3的立方根为3,得x-y-3=33,解得y= -21,故答案为：9, -21

19、, 2：(2) x-jH-3e7=9 - (-21)+3X2 = 36, x-y+3a 的平方根是土屈=±6.【变式8-3】 (2018春鄂城区期中)已知>1 = m'V+3是加+3的算术平方根B =巾“十術=1是“ -2的 立方根，试求：(1) m和n的值；(2) A-B 的值.【答案】解：(1)VJ= g际卫是"汁3的算术平方根，B= 2m-4n+V2是h - 2的立方根，.*.»? - 4=2, 2加-4“+3 = 3,解得：加=6, ”=3,(2) °.°加=6, = 3, *.A= V9 =3, B= Vl = 1， .

20、*.A - B=3 - 1=2.【考点9二次根式的化简求值】【例9】(2019春芜湖期中)已知x=£, 7 =分别求下列代数式的值；° ° y x(1) x2+v2：(2)- +-x y【答案】解：(1) Vx=j= V2-1, y = j= V2+1,-2, =2-1 = 1,v2+lv21/.x2t>?2= (xy) 2+2xi= ( - 2) 2+2X 1=6：(2) Vx2+y2=6t xv=l» 原式=% +=辛=6丄【点睛】本题考査二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想， 本题属于基础题型.【变式9-1

21、】 (2018秋通川区校级期中)已知存：;鶴.尸:T黒，32v23+2V2求：（1） O - 的值；（2）,卩+32的值.【答案】解：話益厉金2血尸鼎希G+2為2"",齐磊 T 也=3+2迈+32逅=6 (1) A - xy =xy> (x-y) , =1X (3 + 2)-(3-2匹),=42；(2) x2 -= (x+y) 2 - 3xy =62 - 3X1, =36 - 3, =33.【变式9-2】 (2018秋雁塔区校级期中)已知：厂兽书，尸着羔求下列代数式a-2 - 3W 的值. 【答案】解：Q 需(為爲=6+2警+5 =t，1675 _($675)2_ 6

22、2心605+5.入帰>一一 (代+(拓-11 2W0'原式=(x-y) 2-av= (11+2V30-11+2V30) 2 - (11+2V30) X (11 - 230)=(430) 2 - (121 - 120) =480 - 1=479.【变式9-3】 （2018春芜湖期中）已知M = 务翳磊，N = 爵爲.甲、乙两个同学在y =7%8 + <8-%+18的条件下分别计算了 M和N的值.甲说M的值比N大，乙说N的值比M大请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由.【答案】解：乙的结论正确.（1分）理由：由卩=VTf+ 石=忘+18,可得x=8, y=18（3分）因此Mx

23、+y 2v'%y （后-捋孑 、反一 /y 妖一疗好一 /y=五 _h=晶一 V18 = -V2.（6分）3；8-2/18 _v26+；10 _6吃-6血二倔+质（9分）KN、即N的值比M大.（10 分）【考点10二次根式分母有理化】 【例10】（2019春瑶海区期中）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：备黑=竽启=腐鷹）=影=血+1等运算都是分母有理化根据 上述材料，（1）化简:3-y/2（2）计算：命+治+缶+【分析】（1）原式分母有理化，计算即可得到结果：（2）原式各自分母有理化化简后，合并即可得到结果.【答案】解：(1)原式=齿+逅;(2)原式=V2-1+V3

24、 - V2 + - + VlO- = V10-1.【变式10-1 (2019秋唐河县期中)阅读下列材料，然后回答问题:/3X/333*+1(3 +1)1以上这种化简过程叫做分母有理化.2 2 2 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如荷、丽这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:裔= 2(73-1)2(73-1)丽 _12231(/3)2 1 (V+1)(V1)lV3+1丽还可以用以卜方法化简：=、行T2g请任用其中-种方法化简：7齐：质话【分析】根据平方差公式分母有理化即可求解：把分子5变为12-7,再根据平方差公式分解因式，再约分计算即可求解.r 22(g + 3)_ 皿+3汀杀舫:祈=_3 _ (后_3)(祈M+3) _： 5 = 丄2-7 = (2J 3+17)(2" 317)冃 _ 厅 2齿+疗_ 2齿+疗273+'【变式102】(2019春金平区校级期中)观察下列等式：2(/15 + 3)第一个等式：ai=二血=並_ 第二个等式：a2= -7=7= =73-72 第三个等式：a3= 3_2 =2-/3按上述规律，回答以下