二维形式的柯西不等式大全PowerPoint 演示文稿

1、.1.2设设 为任意实数为任意实数. ., , ,a b c d()()2222abcd联联 想想.3思考解答思考解答变形变形你能简明地写出这个定理的证明？你能简明地写出这个定理的证明？.4二维形式的柯西不等式 定理1:(二维形式的柯西不等式) .,)()(,等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当则则都是实数都是实数若若bcadbdacdcbadcba22222 证明思路1：(代数证法)22222222222222)()()( )( :2bdacbcadbdaccbdadbcadcba证证明明 证明思路2：(构造向量法).,),(),(两两边边平平方方后后得得证证利利用用则则设设 bdacdcb

2、adcba2222什么时候“=”成立？.5 可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！位，简洁明了！解答漂亮！.6 另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识会有联想.7容易得出等式根据二维形式的柯西不, 22222222dcbadcba |,|bdacbdac 2. |bdacdbca 2222|dcba 2222dcba:,以下不等式成立对于任何实数所以dcba, |bdacdcba 2222. |bdacdcba 2222?,.成立成立述不等式中的等号何时述不等式中的等号何时上上请同学考虑请同学考虑不等式不等式这也是两个非常有用的这

3、也是两个非常有用的.8三角不等式三角不等式.9111(,)P xy222(,)P xyO Oxy|-|12xx12|-|yy这个图中有什么这个图中有什么不等关系不等关系? ?O Oxy(,)111Pxy(,)222Pxy.10例例1分析分析 虽然可以作乘法展开上式的两虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小。但如边，然后在比较它们的大小。但如果注意到不等式的形式与柯西不等果注意到不等式的形式与柯西不等式的一致性，既可以避免繁杂了。式的一致性，既可以避免繁杂了。已知已知a,b为实数。为实数。试证试证(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3).11证证 明明根据柯西不等式，有根据柯西不等

4、式，有(a4+b4)(a2+b2)(a2a+b2b)2=(a3+b3)2.12反思反思 在证明不等式时，联系经典不等式，在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算既可以启发证明思路，又可以简化运算. .13 .,23322441babababa 证明证明为实数为实数已知已知例例.,杂的计算杂的计算就可以避免繁就可以避免繁式的一致性式的一致性形式与柯西不等形式与柯西不等不等式的不等式的注意到这个注意到这个但是如果但是如果它们它们然而再比较然而再比较开上式的两边开上式的两边法展法展可以作乘可以作乘虽然虽然分析分析 .,2332222244babbaababa 有根据柯西不等

5、式证明.,.,工具工具数学研究的有力数学研究的有力经典不等式是经典不等式是以以所所可以简化运算可以简化运算又又启发证明思路启发证明思路既可以既可以典不等式典不等式联系经联系经不等式时不等式时在证明在证明本例说明本例说明?,dcba中的中的式式别对应柯西不等别对应柯西不等个数分个数分中哪中哪例例41.141.354 6yxx求求函函数数的的最最大大值值. . 225 60.354 634565.yyxxxx 解解：函函数数定定义义域域为为， ，且且.15222.236,211.xyxy 已已知知求求证证 222236,1422311.23211.yxyxyxy证证明明：因因为为2x2x所所以以因

6、因此此.16求特定函数的极值问题求特定函数的极值问题.17.18.19.20.21补充例题补充例题:.1,yb, 1的最小值的最小值求求且且已知已知例例yxxaRbayx 2min22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx 时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当解解.22变式引申变式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值点点的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1)32()11)(94(:222222222最最小小值值点点为为的的最最小小值值为为得

7、得由由时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx .23课堂练习课堂练习.24.25用柯西不等式证明不等式用柯西不等式证明不等式.26.27.28.29 探究点探究点4含参变量的柯西不等式的应用含参变量的柯西不等式的应用 【思路思路】 分离变量，再考虑如何运用柯西不等式分离变量，再考虑如何运用柯西不等式.30.31求函数求函数 的最大值的最大值 51102yxx 例例1.22231,49,.xyxy若求的最小值 并求最小值点引：引：的最大值求满足设实数zyxSzyxzyx32, 332,222例例2.32.33.34 探究点探究点2用柯

8、西不等式证明不等式用柯西不等式证明不等式 【思路思路】利用常数利用常数“1”的代换，结合三元的均值不等的代换，结合三元的均值不等式或柯西不等式求解式或柯西不等式求解.35.36 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范围围是是则则且且若若补充练习补充练习2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值为为函函数数 xxy_2, 623,. 422值值是是的的最最大大则则满满足足设设实实数数yxPyxyx _)1()1(, 1. 522的的最最小小值值是是则则若若bbaaba AB311225.37例例4.4.ABC之三边长为之三边长为4，5，6，P为三角形为三角形內部一点內部一点P，P到三边的距离分別为到三边的距离分別为x，y，z，求求x2+y2+z2的最小值。的最小值。 4 5 6 x y z D F E A B C P.382152654s解： ABC面积面