格林公式及其应用(25)课件

1、第三节第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章 LD区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区区域域 )多多连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )域域 D 边界边界L 的的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有则有, ),(yxP),(yxQ LDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶

2、偏导数, LDyxyQxPyxQPdddd或或一、一、 格林公式格林公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明: 1) 若若D 既是既是 X - 型区域型区域 , 又是又是 Y - 型区域型区域 , 且且 bxaxyxD)()(:21 dycyxyD)()(:21 则则yxxQDdd dcyyyQd),(2 )()(21dyyxxQ CBEyyxQd),( CAEyyxQd),( CBEyyxQd),( EACyyxQd),( dcyyyQd),(1 dcyddcyxoECBAbaD定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 即即yxxQDd

3、d LyyxQd),(同理可证同理可证yxyPDdd LxyxPd),(、两式相加得两式相加得: LDyQxPyxyPxQdddd定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxoL2) 若若D不满足以上条件不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割1DnD2D nkDyxyPxQk1dd yxyPxQDdd nkDkyQxP1dd LyQxPdd为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域 , 如图如图)(的的正正向向边边界界表表示示kkDD 证毕证毕定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 推论推论: 正向闭曲线正向闭曲

4、线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积 LxyyxAdd21格林公式格林公式 LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆椭圆 20,sincos: byaxL所围面积所围面积 LxyyxAdd21 2022d)sincos(21ababab 定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. . 设设 L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线, 证明证明0dd22 yxxyxL证证: 令令,22xQyxP 则则yPxQ 利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxyxLdd22 022 xx Dyxdd00机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

5、结束结束 例例2. 计算计算,dd2 Dyyxe其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 解解: 令令, 则则2, 0yexQP yPxQ利用格林公式利用格林公式 , 有有 Dyyxedd2 Dyyexd2yexOAyd2 yeyyd102 )1(211 exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 计算计算,dd22 Lyxxyyx其中其中L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线.解解: 令令,

6、022时时则则当当 yx22222)(yxxyxQ 设设 L 所围区域为所围区域为D,)0 , 0(时时当当D 由格林公式知由格林公式知0dd22 Lyxxyyx,22yxyP 22yxxQ yP yxoL机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dsincos2022222 rrr 2 ,)0 , 0(时时当当D 在在D 内作圆周内作圆周,:222ryxl 取逆时取逆时针方向针方向,1D, 对区域对区域1D应用格应用格 Lyxxyyx22dd lyxxyyx22dd lLyxxyyx22dd0dd01 yxD lLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx记记

7、L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式林公式 , 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,dd22 Lyxxyyx二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0dd LyQxP(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4) 在在 D 内每一点都有内每一点都

8、有.xQyP LyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设设21, LL 21ddddLLyQxPyQxP 1ddLyQxP 2ddLyQxP 21ddLLyQxP0AB1L2L 2ddLyQxP 1ddLyQxP为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线, 则则(根

9、据条件根据条件(1) BAyQxPdd AByQxPdd定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明 (2) (3)在在D内取定点内取定点),(00yxA因曲线积分因曲线积分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 则则),(yxP xuxuxx 0lim),(lim0yxxPx ),(),(ddyxxyxyQxP ),(),(dyxxyxxPxyxxP ),( 同理可证同理可证yu ),(yxQ 因此有因此有yQxPuddd 和任一点和任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yx

10、A有函数有函数 定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd 则则),(),(yxQyuyxPxu P, Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,xyuyxu 22所以所以从而在从而在D内每一点都有内每一点都有xQyP xyuxQyxuyP 22,定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD (如图如图) ,上上因此在因此在D xQyP 利用利用格林公式格林公式 ,

11、 得得yxxQxQyQxPLDdd)(dd DDL0 所围区域为所围区域为证毕证毕定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yx说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内,xQyP 则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:Dyx ),(00及动点及动点,),(Dyx yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或 yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x

12、则原函数为则原函数为 yyyyxQ0d),( xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yAxoL例例4. 计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL 其中其中L 为上半为上半24xxy 从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段,AOD它与它与L 所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22 Dyxdd4

13、OAyxyxyxd)(d)3(22 402dxx圆周圆周区域为区域为D , 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3648例例5. 验证验证yyxxyxdd22 是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 证证: 设设,22yxQyxP 则则xQyxyP 2由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使yyxxyxuddd22 ),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x xxx0d0yyxyd02 yyxyd02 2221yx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下

14、页 返回返回 结束结束 例例6. 验证验证22ddyxxyyx 在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 证证: 令令2222,yxxQyxyP 则则)0()(22222 xyQyxxyxP由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数 ),()0 , 1(22dd),(yxyxxyyxyxu xx1d0)0(arctan xxyoxy yyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx ),()0 , 1(22dd),(yxyxxyyxyxu

15、 yyy021dyxyyarctan1arctanarctan yxarctan2 xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctan xxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7. 设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线作用下沿曲线 L :xycos2 由由)2, 0(A移动到移动到, )0,2( B求力场所作的功求力场所作的功W解解:)dd(2 Lyxxyrk令令,22rxkQrykP 则有则有)0()(22422 yxryxkyPxQ可见可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr 其其中中LBAyo

16、x),(2xyrkF sFWLd 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 :AB)dd(2yxxyrkWAB d)cos(sin2022 k)02:(sin2,cos2 yxk2 思考思考: 积分路径是否可以取积分路径是否可以取?OBAO取圆弧取圆弧LBAyox为什么？为什么？注意注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关无关 !机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1. 格林公式格林公式 LyQxPdd2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.yPxQ 在在 D 内有内

17、有yQxPuddd yxyPxQDdd LyQxPdd对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有0dd LyQxP在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1. 设设,4:,1:222412 yxlyxL且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ? Lyxxyyx22d4d)1( lyxxyyx22d4d lxyyxd4d41Do2y1x2Ll D d5415 Lyxxyyx22dd)2( lyxxyyx22dd lxyyxdd41 D d

18、241 2 提示提示:时022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 设设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC第四节 目录 上页 下页 返回 结束 CCCDyxoaaC 备用题备用题 1. 设设 C 为沿为沿 yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222 222ayx 从点从点), 0(a依逆时针依逆时针), 0(a的半圆的半圆, 计算计算解解: 添加辅助线如图添加辅助线如图 ,利用格林公式利用格林公式 .原式原式 =321a aayayd)ln2(D222xaya 222xayyxdd C到点到点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D2. 质点质点M 沿着以沿着以AB为直径的半圆为直径的半圆,