高考数学立体几何试题目选讲

1、一、考察线面之间的位置关系及其相关公理和判定定理一、考察线面之间的位置关系及其相关公理和判定定理1（2010 浙江理数）浙江理数） （6）设 ，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的lm是（a）若，则 （b）若，则lmmlllm/ /m（c）若，则 （d）若，则l/ /mlm/ /l/ /m/ /lm/ /解析：选 b，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题（20102010 山东文理数）山东文理数）(3)在空间，下列命题正确的是（a）平行直线的平行投影重合（b）平行于同一直线的两个平面平行

2、（c）垂直于同一平面的两个平面平行（d）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】d【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。3（2010 湖北文数）湖北文数）4.用、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：abcy若，则；若，则；abbcacabbcac若，则；若，则.aybyabaybyaba. b. c. d.4.(20094.(2009 年广东卷文年广东卷文) )给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平

3、面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 a和 b和 c和 d和 【答案】d【解析】错, 正确, 错, 正确.故选 d5.5.（20092009 浙江卷文）浙江卷文）设, 是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）a若,l ，则l b若/ / ,/ /l ，则l c若,/ /l ，则l d若/ / ,l ，则l 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系【解析】对于 a、b、d 均可

4、能出现/l，而对于 c 是正确的. 6.6. (2009(2009 山东卷理山东卷理) )已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“”是“m”的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的一条直线,m,则,反过来则不一定.所以“”是“m”的必要不充分条件. 答案:b.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.7 7（20102010 陕西文数）陕西文数）18.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形pa平面abcd，a

5、p=ab，bp=bc=2，e，f分别是pb,pc的中点.()证明：ef平面pad；()求三棱锥eabc的体积 v.解()在pbc中，e，f分别是pb，pc的中点，efbc.又bcad,efad,又ad平面pad,ef平面pad,ef平面pad.()连接ae,ac,ec,过e作egpa交ab于点g,则bg平面abcd,且eg=pa.12在pab中，ad=ab,pab,bp=2,ap=ab=,eg=.222sabc=abbc=2=,121222ve-abc=sabceg=.1313222138 8（20102010 辽宁文数）辽宁文数） （19） （本小题满分 12 分） 如图，棱柱的侧面是菱形，

6、111abcabc11bcc b11bcab（）证明：平面平面；1abc11abc（）设是上的点，且平面，求d11ac1/ab1bcd的值.11:ad dc 解：（）因为侧面 bcc1b1是菱形，所以11bccb又已知bbcbabacb1111,且所又平面 a1bc1，又平面 ab1c ，cb1cb1所以平面平面 a1bc1 .cab1 （）设 bc1交 b1c 于点 e，连结 de，则 de 是平面 a1bc1与平面 b1cd 的交线，因为 a1b/平面 b1cd，所以 a1b/de.又 e 是 bc1的中点，所以 d 为 a1c1的中点.即 a1d：dc1=1.二、考察多面体的棱长、面积、

7、体积的有关计算二、考察多面体的棱长、面积、体积的有关计算1 1（20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （9）已知正四棱锥sabcd中，2 3sa ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（a）1 （b）3 （c）2 （d）3【答案】c【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.【解析】设底面边长为 a，则高所以体积，设，则，当 y 取最值时，解得 a=0 或a=4 时，体积最大，此时，故选 c.2（2010 上海文数）上海文数）6.已知四棱椎的底面是边长为 6 的正方形，侧棱底pabcdpa 面，且，则该四棱椎的体积是 96 。abcd8pa 解析：考查棱锥体积公式9

8、683631v3（2010 辽宁理数）辽宁理数）(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是 (a)（0,） (b)（1,）622 2 (c) (,） (d) （0,）62622 2【答案】a【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为 2，a，a，如图，此时a 可以取最大值，可知 ad=，sd=，则有2+，即

9、321a 21a 3，即有 a0;综上分析可知 a（0,62）三、考察多面体中有关距离和角（异面直线所成角、线面三、考察多面体中有关距离和角（异面直线所成角、线面角、二面角）的计算角、二面角）的计算1（2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （8）已知三棱锥中，底面为边长等于 2 的等边三sabcabc角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为saabcsaabsbcabcda1b1c1d1o（a） (b) 3454(c) (d) 7434【解析解析】d】d：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成

10、角。过过 a a 作作 aeae 垂直于垂直于 bcbc 交交 bcbc 于于 e e，连结，连结 sese，过，过 a a 作作 afaf 垂直于垂直于 sese 交交sese 于于 f f，连，连 bfbf，正三角形正三角形 abcabc， e e 为为 bcbc 中点，中点， bcaebcae，sabcsabc， bcbc面面 saesae， bcafbcaf，afseafse， afaf面面 sbcsbc，abfabf 为直线为直线 abab 与面与面 sbcsbc 所成角，由正三角形边长所成角，由正三角形边长3 3， ，as=3as=3， se=se=，af=af=， 3ae 2 3

11、323sin4abf2 2（20102010 江西理数）江西理数）10.过正方体的顶点 a 作直1111abcdabc d线 l，使 l 与棱,所成的角都相等，这样的直线 l 可以ab ad1aa作a.1 条 b.2 条 c.3 条 d.4 条【答案】d【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点 a 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 ac1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。3 3（20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数） （9）正方体-中，与平面所成角的余abcd1111abc d1

12、bb1acd弦值为（a） （b） （c） （d）23332363【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 d 到平面 ac的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的1d具体体现.【解析 1】因为 bb1/dd1,所以b与平面 ac所成角和dd1与1b1d平面 ac所成角相等,设 do平面ac，由等体积法得1d1d,即.设 dd1=a,11d acddacdvv111133acdacdsdosdd则,12211133sin60( 2 )2222acdsac adaaaabcsefab.21122acdsad cdaa所以,记 dd1与

13、平面 ac所成角为,则1312333acdacdsddadoasaa1d,所以.13sin3dodd6cos3【解析 2】设上下底面的中心分别为；与平面ac所成角就是b与平面ac1,oo1o o1d1b所成角，1d111136cos1/32oooodod4 4（20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数）(6)直三棱柱中，若，111abca bc90bac，则异面直线1abacaa与所成的角等于1ba1ac(a)30 (b)45(c)60 (d)90【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面111abca bc直线所成的角的求法. 【解析】延长 ca 到 d，使得

14、，则为平行四边形，就是异面直adac11adac1dab线与所成的角，又三角形为等边三角形，1ba1ac1adb0160dab5（2010 四川理数）四川理数）（15）如图，二面角的大小是 60，线段.，l abbl与 所成的角为 30.则与平面所成的角的正弦值是 .ablab解析：过点 a 作平面 的垂线，垂足为 c，在 内过 c 作 l 的垂线.垂足为 d连结 ad，有三垂线定理可知 adl，故adc 为二面角的平面角，为 60l 又由已知，abd30连结 cb，则abc 为与平面所成的角w_w_w.k*s 5*u.c o*mab设 ad2，则 ac，cd13ab40sin30adabcd

15、sinabc34acab答案：346.（2009 浙江卷理）浙江卷理）在三棱柱111abcabc中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点d是侧面11bbc c的中心，则ad与平面11bbc c所成角的大小是 ( )a30 b45 c60 d90 . 答案：c 【解析】取 bc 的中点 e，则ae 面11bbc c，aede，因此ad与平面11bbc c所成角即为ade，设aba，则32aea，2ade ，即有0tan3,60adeade7.（2009 全国卷全国卷理）理）已知三棱柱111abcabc的侧棱与底面边长都相等，1a在底面abc上的射影为bc的中点，则异面直线ab与1cc所成的角的余弦值为

16、（ d ）（a）34 （b）54 （c）74 (d) 34 解：设bc的中点为 d，连结1ad，ad，易知1a ab 即为异面直线ab与1cc所成的角,由三角余弦定理，易知113cocs4oscosad ada addaba a ab.故选 d bcbca111ad8（2010 天津文数）天津文数） （19） （本小题满分 12 分）如图，在五面体 abcdef 中，四边形 adef 是正方形，fa平面abcd，bcad，cd=1，ad=2 2，badcda45.（）求异面直线 ce 与 af 所成角的余弦值； （）证明 cd平面 abf；（）求二面角 b-ef-a 的正切值。【解析】本小题主

17、要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分 12 分.(i)解：因为四边形 adef 是正方形，所以 fa/ed.故为异面直线 ce 与 af 所成ced的角.因为 fa平面 abcd，所以 facd.故 edcd.在 rtcde 中，cd=1，ed=，ce=3,故 cos=.2 222cdedcededce2 23所以异面直线 ce 和 af 所成角的余弦值为.2 23()证明：过点 b 作 bg/cd,交 ad 于点 g，则.由45bgacda ,可得 bgab,从而 cdab,又 cdfa,faab=a,所以 cd平面 abf

18、.45bad()解：由（）及已知，可得 ag=，即 g 为 ad 的中点.取 ef 的中点 n，连接2gn，则 gnef,因为 bc/ad,所以 bc/ef.过点 n 作 nmef，交 bc 于 m，则为二gnm面角 b-ef-a 的平面角。连接 gm，可得 ad平面 gnm,故 adgm.从而 bcgm.由已知，可得 gm=.由22ng/fa,fagm,得 nggm.在 rtngm 中，tan,gm1ng4gnm所以二面角 b-ef-a 的正切值为.14四、考察有关三视图的计算四、考察有关三视图的计算1（2010 陕西文数）陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是b

19、（a）2（b）1（c）（d）2313解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为1221212（2010 安徽文数）安徽文数） （9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（a）372 （b）360 （c）292 （d）2809.b【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。.2(10 8 10 28 2)2(6 88 2)360s 【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方

20、体的 4 个侧面积之和。3（2010 浙江文数）浙江文数） （8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（a）cm3 3523（b）cm33203（c）cm3 2243（d）cm31603解析：选 b，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题2214（2010 广东理数）广东理数）6.如图 1， abc 为三角形，/ / , 平面 abcaabbcccc 且 3= =ab,则多面体abc -的正视图（也称主视图）是aa32bbcca b c 6d5（2010 辽宁理数）辽宁理数） （15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_.【答案】2 3【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为 2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为2222222 3五、考察多面体的外接球与内切球的有关