八年级同步第7讲：因式分解法及配方法求解一元二次方程-教师版

1、班假暑级年八因式分解法及配方法解一元二次方程利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第 二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解 一元二次方程中的灵活应用.通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式 法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础.知识结构一元二次方程的解法模块一：因式分解法解一元二次方程1因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法.2、因式分解法理论依据 如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于

2、零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当A B 0时，必有A 0或B 0 ;当A 0或B 0时，必有A B 0）. 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元.次方程的问题转化为解一元一次方程的问题.3、因式分解法解一元二次方程一般步骤 将方程右边化为零； 将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积; 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.例题解析【例1】 已知x、y是实数，若xy 0，则下列说法正确的是().A、x 一定是 0B、y 一定是 0C、x 0 或 y

3、0D、x 0 且 y 0【难度】【答案】C【解析】xy=0只需要xy其中一个为零整个乘式就为零，故选C.【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零.【例2】口答下列方程的根:(1)x(x8)0 ;(2)(x4)(x3)0 ;(3)(x7)( x6)0 ;(4)(5x1)(x2)0 ;(5)(xa)(xb)0.【难度】【答案】(1) x 0 或 x 8 ;( 2) x 3或 x 4 ;( 3) x 6 或 x 7 ;1(4) x 或 x 2 ; (5) x a 或 x b .5【解析】两数相乘为零其中一个为零即可，所以只要满足每一项分别为零，即可求解.【总结】本题考查当两个因式的

4、乘积为零时，则每一个因式均为零.【例3】解下列方程:2(1) 5x +6x 0;4x 0 .八年级暑假班【难度】【答案】（1） x15 ,X25 .>(2)X10 , X2463【解析】（1）由5x26x0 ,得 x(5x6)0 ,解得：X15,5X26所以原方程的解为:、X15 , X25 .>62(2)由 3x 4x0,得 x(3x 40 ,解得：X10 ,X243所以原方程的解为:、<10 ,X243【总结】本题主要考查利y用因式分解法求角牟一元.二次方程.【例4】解下列方程:(1) 5x(3x 2)(x 1)(3x 2)0;(2) 3x 2x 5【难度】【答案】（1

5、） xi - , X2 ；34(2) xi5，X22【解析】（1）由5x（3x2) (x 1)(3x 2)0，得 0x2 5x x 121即(3x 2 4x 10 ,所以原方程的解为：xi -，X2 ；34(2)由 3x 2x 54 5 2x 0 ,得 2x 5 3x 40，54所以原方程的解为：X1 5，X24 .23【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程.【例5】解下列方程:(1)X2 223x 1；(2)9(2x1)216(x 2)20 ；(3)4x24x 10 ;(4)12x2 X36 .【难度】【答案】（:1)31X1, X2(2) X111,X2.2422(3) X|X

6、21 .(4)人 X26 .22【解析】(1)由x 223x 1，得x 2 3x 1或者x2(3x 1),所以原方程的解为：X31X224(2) 由 9(2 x 1)216(x2)20，得 9(2 x 1)216(x22) , 3(2 x 1)11解得：X或X1所以原方程的解为：X111 1,X2222 22(3)由 4x 4x 10 ,得(2x 1)20，解得：1X -2所以原方程的解为：X11X22(4)由 12xx236 ,得X212x 360 ,即(x 6)2 0所以原方程的解为：X1X26 .4(x 2),【总结】本题主要考查利用因式分解法求解兀二次方程.【例6】解下列方程：2 2(

7、1) x 7x 120 ;(2) x 4x 21 .【难度】【答案】(1) xi 3, X2 4 ；(2) xi7 , X2 3 .【解析】(1)由x 7x 120,得(x 3)(x 4)0,解得：x 3或者x 4,所以原方程的解为：刘3 , X2 4 ；2 一2 一 一(2) 由 x 4x 21，得 x 4x 210 ,即(x 7)(x 3)0 ,解得：x 7 或者 x 3,所以原方程的解为：洛 7 , X23 .【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程.【例7】解下列方程：2 2(1) x 3x 180;(2) 0.1x1.20.4x .【难度】【答案】(1) x, 6 , X2

8、3 ；(2)捲 6, x 2 .【解析】(1 )由x2 3x 18 0，得X2 3x 18 0，即(X 6)(x 3) 0 ,解得：x 6或者x3，所以原方程的解为：Xi 6 , X23 ；(2 )由 0.1x2 1.20.4x，得 x2 4x 120，即(x 6)(x 2)0,解得：x 6 或者 x 2，所以原方程的解为：捲6，X22 .【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，注意符号的变化.【例8】解下列方程：2(1) 2x x 2 x5 ；(2)x 3x 15 .【难度】【答案】(1) X15 , X21 ；(2) X14 ,X22 .【解析】(1 )由2x x 2x25 ,

9、得2x24x x25，即2 X4x 50 ,解得：x 5或者X 1，所以原方程的解为：X15,x21;(2)由 x 3 x 15，得 x22x 80 ,即(x4)( x2)0,解得：x4或者x 2 ,所以原方程的解为：X14 , X22 .【总结】本题要先化成一般形式后再用十字相乘法进行求解，注意计算过程中的符号2【例9】解方程：x 52 x 5 8 .【难度】【答案】X11 , X27 .2 2【解析】由 x 52 x 5 8，得 x 52 x 5 80 , 即 卩(x 5 4)(x5 2) 0 ,解得：x 1或者x 7，所以原方程的解为： X11 , X27 .【总结】本题必须把 x+5看

10、成一个整体，利用整体思想进行因式分解.【例10】解方程：x2 (102)x 2 5 0 .【难度】班假暑级年八【答案】x1 、. 2 , x2 -.IO .【解析】由x2 (、.102)x 2 5 0,得(x 2)(x10) 0,解得：x 2或者x所以原方程的解为：Xi2 , X2 .10 .【总结】本题主要考查将一个无理数化成两个无理数的乘积的形式.【例11】解方程：(12)x2(32)x20 .【难度】【答案】X12 , X22 1 .【解析】由(12) x2(32)x20，得(1、2)x 1(x.2)0，解得x 罷或者x ，所以原方程的解为： x1 罷,x2 罷 1 . i 42【总结】

11、本题需要仔细观察之后利用十字相乘法进行因式分解.【例12】已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3,用刚学的因式分解法思想,接写出满足条件的一个一元二次方程【难度】【答案】x2 x 60 .【解析】由(x 2)(x 3)0 ,得x2 x 60 .【总结】本题考查一元二次方程根的运用.【例13】若(a2> 2b2)(32 2a b )30，求a2b2的值.【难度】【答案】a2 b2的值为8.【解析】设a2b2x，则z2.2(a b2)(3a2 b2)(x 2)(3x) 30 ,2整理得：x5x240 ,即(x8)( x3) 0 ,解得：x8或者x 3 ,2 2 2 2 因为a b 0,所

12、以a b的值为8.【总结】本题主要考查整体思想的运用，把x 5x看成一个整体，然后再用十字相乘法分八年级暑假班解求解，注意任何一个数的平方是一个非负数.1配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式， 然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法.2、配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2 .3、配方法解一元二次方程一般步骤 先把二次项系数化为 1:即方程左右两边同时除以二次项系数； 移项：把常数项移到方程右边； 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x m)2 n的形式; 当n 0时，用直接开平方的方法解变形

13、后的方程.【例14构造完全平方式，完成下列填空:(1) x2 6x ()2 (x班假暑级年八(2) x28x ()2(x)2 ;(3) x2 10x ()2 (x )2 ;2 1 2 2(4) x-x ()(x) 【难度】【答案】(1) 9、3;( 2) 16、4;( 3) 25、5;(4)丄、-164【解析】当二次项系数为 1时，配方时，方程两边同加一次项系数一半的平方.【总结】本题考查对配方法的理解及运用.【例15】用配方法解方程：2x 2x 10 .【难度】【答案】冷12 , X212 .【解析】由2 2x 2x 10，得 x2x 12，即(x 1)22 ,所以原方程的解为：捲 12 ,

14、 X21.2 .【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根.【例16】用配方法解方程：2 2x 2mx m 0.【难度】【答案】X1m .2m , x2m . 2m .【解析】由2 2x 2mx m 0 ,得 x2 2mx m2 2m2，即(x m)2 2m2 ,所以原方程的解为：捲 m . 2m, x m . 2m .【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根.【例17】用配方法解方程：x2 10x 9975 0 .【难度】班假暑级年八【答案】x195 , x2 105.【解析】由 x2 10x 9975 0，得 x2 10x 25 10000，即(x 5)2 10000, 所以

15、x 5100 ,所以x 95或者x 105 ,所以原方程的解为：捲 95 , X2 105 .【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根.【例18】用配方法解方程：y2 4 3y 2013 0 .【难度】【答案】2 3 45 , y22 .3 45 .【解析】由 y2 4 3y 2013 0，得 y2 4.3y 12 2025，即(y 2 3)2 2025 ,所以y 2 345, 所以原方程的解为：y1 2 3 45 , y? 2 3 45 .【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根.【例19】用配方法解方程：2x2 5x【难度】【答案】X15185X251854444【解析】由

16、22x 5x 200 ,得22x 5x配方，得25xx2510生，即21616所以原方程的解为：X1518544【总结】本题主要考查用配方法求解一元再配方.20 0 .200 ,即卩 x25x 1020,5 21855785(x-)解得：x. ,4164-165185X2.44程的根,注意先将二次项系数化为1,然后【例20】用配方法解方程:【难度】【答案】1X1X2【解析】由0.3x20.2x0,得 3x22x -0,即 x2-x -0,303391 21所以(x丄)2 0,所以原方程的解为：X! X2.331,然后【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为 再配

17、方.【例21】用配方法解方程：(x 1)2 2(x 1) 1 0 (要求用整体法的思想求解)【难度】【答案】捲 2 , X22 .【解析】由(x 1)22(x 1) 10，得(x 1)22(x 1) 12，即(x 11)22 ,所以原方程的解为：洛 2必 2 .【总结】本题考查整体思想的运用，把x 1看成一个整体进行配方.【例22】用配方法解关于x的方程：x2 2axa2 0 .【难度】【答案】x1 a 2b, x2 a 2b .【解析】由 x2 2ax 4b2 a2 0 ,得 x2 2ax a2 4b2，即(x a)2 4b2,解得：x a 2b，所以原方程的解为：为a 2b, x a 2b

18、 .【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根.【例23】若把代数式x2 2x 3化为(x m)2 k的形式，其中m、k为常数，贝 H m k .【难度】【答案】5.【解析】因为x2 2x 3 (x 1)24，所以m 1 , k 4，所以m k 5.【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m和k的值.班假暑级年八配方成下列的（)A、(x p)252B、(x p) 92 2C、(x p 2)9 D、(x p 2)5【难度】【答案】B【例24】已知方程x2 6x q 0可以配方成（x p）2【解析】因为x26x q 0可以配方成（x p）27的形式，所以x26x q2可写成7的形式，

19、则x2 6x q 2可以2 2(x p) 7 2的形式，即(x p) 9 故选B.【总结】本题主要考查对配方法的理解及运用.【例25】 已知 ABC的一边长为4,另外两边长是关于x的方程x2 3kx0的两根,当k为何值时， ABC是等腰三角形？【难度】【答案】k 2.【解析】由x2 3kx 2k20,得（x 2k）（x k） 0 ,所以x k或者x 2k .当k 2时，x 2和x 4，满足三角形三边关系，当k 4时，x 4和x 8，不满足三角形三边关系.所以k 2时， ABC是等腰三角形师生总结【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题.1、一元二次方程各项系数满足什么关系时， 配方法能求出

20、实数根？2、用配方法解一元二次方程时先要考虑什么因素？随堂检测【习题1】完成下列填空：(1) 方程X2, 2x的根为;(2) 方程(y 1)(y 2) 0的根为；(3) 方程x(x 2) 4(x 2)的根为 .【难度】【答案】(1)为、2 , X2 0 ；(2) yi 1 , y22 ；(3) xi 2, x 4 .【解析】(1)由x22x，得x(x . 2) 0,解得：x 2或者x 0 ,所以原方程的解为：刘 2 , X2 0 ；(2) 由(y 1)(y 2)0,得 y 1 或者 y 2 ,所以原方程的解为：y1 1, y22 ；(3) 由 x(x 2)4(x 2)，得(x 2)(x 4)0

21、,解得 x 2 或者 x 4 ,所以原方程的解为：捲2 , X2 4.【总结】本题考查特殊的一元二次方程的解法.【习题2】完成下列填空：(1) x2 4x () (x)2 ;2 25 2(2) y ( )y - (y ).4【难度】【答案】(1) 4、2;(2)5、5【解析】利用完全平方公式的概念完成填空.【总结】本题考查配方法的基本概念.【习题3】用因式分解法解下列方程，并写出是因式分解法中哪类方法:八年级暑假班(1)5x24x 0 ;2(2) 4x (3x2)20 ；(3)2 x6x 9 10;(4) x2)x 60 【难度】r【答案】（1)x：10, X245 ；(2)为22， x25(

22、3) x1X23 ；(4：)X12, X23【解析】(1)由 5x2 4x0 ,得 x(5x4)0 ,解得:为0,X245 ；(2)由4x2(3x2)20，得（5x2)(x 2)0 ,解得：X12 ,X22 5 ；(3)由2x 6x 90，得(x 3)20，解得：冷x23;(4)由2x x 60 ,得(x 3)(x2)0 ,解得论2 ,X23 【总结】本题考查利用因式分解求解特殊的一元二次方程的根.【习题4】已知一个兀二次方程的两个根分别为3和6，那么这个方程可以是（)A、x23x 180B、x23x180C、x23x 180D、x23x180【难度】【答案】B【解析】直接将两个根分别为3和6

23、代入原方程，即可验证，结果为B 【总结】考查一元二次方程的根的概念，直接代入即可.2(1) 4x x21 ;(2)(x2)( x2)2(x2)；2(3) x 2x3 0 ;(4)2 X3x180 ；2(5) 2x 5x7 0 ；(6)4(x3)225(x 2)20【难度】【答案】（1）人7 , X23 ；(2) X10,x2:2 ；(3)X1 ,X2/(4)人 6 , X23 ；(5)X11,X27 ；(6)X6X24237用适当的方法解下列方程:【习题5】【解析】（1）由21，得（x7, X23;4x x27)( x 3) 0 ,解得：Xi八年级暑假班(2)由(x2)(x2)2(x 2),得

24、x(x2)0 ,解彳得:x10,x22 ；(3)由2 x2x30 ,得(x 3)(x 1)0,解得：X11, X23(4)由2 x3x180 ,得(x6)(x 3)0,解得：6 ,X23 ；(5)由2x25x70,得(2x7)( x 1)0，解得:X11 ,X272 ；(6)由4(x3)225i(x2)2 0，得 2(x3)5(x2)或2(x 3)5(x 2),64即 3x 16 或 7x 4,解得：Xi, X237【总结】本题主要考查用适当的方法求解一元二次方程的解，注意方法的选择.【习题6】 解方程：2x24.5x 4.5. 5x28.【难度】【答案】xi2, x218 8 5 .【解析】

25、由 2x2 4 .5x 4 5 5x2 8，得(.5 2)x2 4.5x 8 4 5 0 ,分解因式，得：(5 2)x 4 2 5(x 2) 0 ,解得：Xi2 , X218 8 5 .【总结】本题主要考查利用因式分解求一元二次方程的根，注意准确计算.【习题7】用配方法说明：不论 x为何值，代数式2x2 6x 5的值总大于0.【难度】【答案】略.【解析】因为 2x2 6x 5= 2(x2 3x 9)- = 2(x 3)2-,42222 所以无论x取何值时，2x 6x 5的值总是大于0的.【总结】本题主要考查利用配方法判定代数式的取值范围.【习题8】若实数x、y满足(x2y2)2(x2y2)60

26、,求x2y2的值.【难度】【答案】x2 y22 .【解析】设x2 y2 m ,则原式可变形为m2 m 6 0，即(m 3)(m 2) 0 , 解得：m2或m 3 .2 2 2 2因为x y 0，所以x y 2 .【总结】本题一方面考查换元法的运用，另一方面考查非负数的概念.课后作业【作业1】已知方程(a2b23)(2a2b2) 0,则 a2b2的值为().D、以上都不对A、2【难度】 【答案】C【解析】将a2 b2看作一个整体，解得 a2 b2的值为2或3，因为a2是一个非负数,2 2所以a b的值为2，故选A .【总结】本题一方面考查整体代入思想的运用，另一方面考查非负数的概念.【作业2】用

27、因式分解法及配方法解下列方程：(1)(x4)25(x 4);(2)2 x5x240;(3)2 x10x 42000;(4)2 x2x40;(5)3x24x 10 ;(6)2 x6x50.【难度】r【答案】(i)为 1 , x24 ；(2)人 8,X23 ；(3)x70, X260 ；(4)Xi4 , X22 ;(5)为 1, x13 ；(6)x1,X25 .【解析】(1)由(x 4)25(x 4)，得(x 4)(x45)0 ,解得:为 1 , X24 ；(2)由x 5x 240 ,得(x 8)(x 3)0 ,解得:x1 8,X23 ；(3)由x 10x 42000 ,得(x 70)( x60)0,解得：X170 , X260 ；(4)由x22x 40，得:(x4)( x2)0，解得：X14，X22 ；(5)由3x24x 10，得:(x1)(3x1)0，解得：x11,1x23 ；(6)由x26x 50，得:(x1)(x5)0，解得：x1,X25 .【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程的解.【作业3】用适当的勺方法解下列方程：(1)3x(x1)3x 3;(2)27x23:x 200 ;(3