高考数学试题分类汇编—函数

1、欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网2012 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编函数函数若实数x、y、m满足xmym，则称x比y接近m.（1）若21x 比 3 接近 0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：22a bab比33ab接近2ab ab；（3）已知函数( )f x的定义域,d x xkkz xr.任取xd，( )f x等于1 sin x和1 sin x中接近 0 的那个值.写出函数( )f x的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调

2、性（结论不要求证明）.解析：(1) x(2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有222a babab ab，332abab ab，因为22332|2|2|()()0a babab ababab abab ab ，所以2233|2| |2|a babab ababab ab，即 a2bab2比 a3b3接近2ab ab；(3) 1sin ,(2,2)( )1 |sin|,1sin ,(2,2)xxkkf xx xkxxkk ,kz，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期 t，函数 f(x)的最小值为 0，函数 f(x)在区间,)2kk单调递增，在区间(,2kk单调递减，kz

3、（2010 湖南文数）湖南文数）21 （本小题满分 13 分）已知函数( )(1)ln15 ,af xxaxax其中 a0,且 a-1.（）讨论函数( )f x的单调性；（）设函数332( 23646 ),1( ),1( )xxaxaxaa exe fx xg x（e 是自然数的底数） 。是否存在 a，使( )g x在a,-a上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信

4、息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网（2010 浙江理数）浙江理数） (22)(本题满分 14 分)已知a是给定的实常数，设函数22( )() ()f xxaxb e，br，xa是( )f x的一个极大值点 ()求b的取值范围；()设123,x x x是( )f x的 3 个极值点，问是否存在实数b，可找到4xr，使得1234,x x x x的某种排列1234,iiiixxxx(其中1234, , ,i i i i=1,2,3,4)依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的4x；若不存在，说明理由解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数

5、应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。（）解：f(x)=ex(x-a) 2(3)2,xab xbaba令222( )(3)2,=(3-a+b)4(2)(1)80,g xxab xbabababaab则于是，假设1212,( )0.x xg xxx是的两个实根，且（1）当 x1=a 或 x2=a 时，则 x=a 不是 f(x)的极值点，此时不合题意。（2）当 x1a 且 x2a 时，由于 x=a 是 f(x)的极大值点，故 x1a0),由已知得 x=alnx，12 x=ax， 解德 a=2e,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为 k

6、=f(e2)= 12e,切线的方程为 y-e=12e(x- e2). （2）由条件知 当 a.0 时，令h (x)=0,解得 x=24a,所以当 0 x 24a时 h (x)24a时，h (x)0，h(x)在（0，24a）上递增。所以x24a是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以 （a）=h(24a)= 2a-aln24a=2当 a 0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (ao)（3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a) 则 1（a

7、）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2当 0a0，所以 （a ） 在(0,1/2) 上递增当 a1/2 时， 1（a ）0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。max1(1)2ffa。（2010 安徽文数）安徽文数）20.（本小题满分 12 分）设函数 sincos1f xxxx，02x，求函数 f x的单调区间与极值。【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】 （1）对函数 sincos1f xxxx求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于 0 得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负

8、，判断区间的单调性，求极值.欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网,( )12().423( )0()422( )xxxxxxxx 解：由f (x)=si nx-cosx+x+1, 0 x2 , 知fsi n令f，从面si n，得，或，当变化时，f，f (x)变化情况如下表：3223332222因此，由上表知f (x)的单调递增区间是（0，）与（，），单调递增区间是（，），极小值为f ()=，极大值为f ()=【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数

9、为 0 得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.（2010 重庆文数）(19) (本小题满分 12 分), ()小问 5 分，()小问 7 分.)已知函数32( )f xaxxbx(其中常数 a,br),( )( )( )g xf xfx是奇函数.()求( )f x的表达式;()讨论( )g x的单调性，并求( )g x在区间1,2上的最大值和最小值.欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网（2010 浙江文数）浙江文数） （21） （本题满分 15

10、分）已知函数2( )()f xxa（a-b）( ,a br a0. （）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程；（）若在区间1 1,2 2上，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围.【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分.欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网（）解：当 a=1 时，f（x）=323xx12，f（2）=3；f(x)=233xx, f(2)=6.所

11、以曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y-3=6（x-2） ，即 y=6x-9.（）解：f(x)=2333 (1)axxx ax.令 f(x)=0，解得 x=0 或 x=1a.以下分两种情况讨论：（1）若110a2a2，则，当 x 变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：x102，0120，f(x)+0-f(x)极大值 当1 1xfx2 2 ，时，（）0等价于5a10,()0,8215a( )0,0.28ff即 解不等式组得-5a2，则110a2.当 x 变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：x102，01a0，1a1 1a 2，f(x)+0-0+f(x)极大值极

12、小值当1 1x2 2 ，时，f（x）0 等价于1f(-)21f()0,a0,即25811-0.2aa0,解不等式组得252a或22a .因此 2a5. 综合（1）和（2） ，可知 a 的取值范围为 0a1 时，2x-20,从而2x-2e10,0,fxe 又所以(x)0,从而函数 f（x）在1,+)是增函数。又 f(1)=-1-1ee0 ，所以x1时，有f(x)f(1)=0,即 f(x)g(x).)证明：（1）若121212(1)(1)0,),1.xxxxxx12由（）及f (xf (x则与矛盾。（2）若121212(1)(1)0,),.xxxxxx12由（）及f (xf (x得与矛盾。欢迎光临

13、欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网根据（1） （2）得1212(1)(1)0,1,1.xxxx不妨设由（）可知，)2f (x)2g(x,则)2g(x=)2f (2-x，所以)2f (x)2f (2-x,从而)1f (x)2f (2-x.因为21x ，所以221x，又由（）可知函数 f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以1x22x,即12xx2.（20102010 福建文数）福建文数）22 （本小题满分 14 分） 已知函数 f（x）=3213xxaxb的图像在点 p（0,f(0)）处的切线

14、方程为 y=3x-2()求实数 a,b 的值；()设 g（x）=f(x)+1mx是2,上的增函数。 （i）求实数 m 的最大值； (ii)当 m 取最大值时，是否存在点 q，使得过点 q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 q 的坐标；若不存在，说明理由。欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网（20102010 福建文数）福建文数）21(本小题满分 12 分)某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮

15、船位于港口o北偏西 30且与该港口相距 20 海里的a处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？()为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；()是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网相遇？若存在，试确定的取值范围；

16、若不存在，请说明理由。欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网（20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数）(20)(本小题满分 12 分) 已知函数( )(1)ln1f xxxx.（）若2( )1xfxxax，求a的取值范围；（）证明：(1) ( )0 xf x .（2010 四川文数）四川文数） （22） （本小题满分 14 分）欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网设1

17、1xxaf( x)a（0a 且1a ） ，g(x)是 f(x)的反函数.（）求( )g x；（）当2,6x时，恒有2( )log(1)(7)atg xxx成立，求 t 的取值范围；（）当 0a 时，试比较 f(1)+f(2)+f(n)与4n的大小，并说明理由.12欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网（2010 湖北文数）湖北文数）21.（本小题满分 14 分）设函数321axxbxc32f（x）=，其中 a0，曲线xyf （）在点 p（0，0f （）处的切线方程为 y=1（）确定 b、

18、c 的值（）设曲线xyf （）在点（11xxf，（）及（22xxf，（）处的切线都过点（0,2）证明：当12xx时，12()()fxfx（）若过点（0,2）可作曲线xyf （）的三条不同切线，求 a 的取值范围。（2010 湖北文数）湖北文数）19.（本小题满分 12 分）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a（单位：m2） ，其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同事也拆除面积为 b（单位：欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网m2）

19、的旧住房。（）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少？（计算时取 1.15=1.6）（20102010 山东理数）山东理数）(22)(本小题满分 14 分)已知函数1( )ln1af xxaxx()ar.()当12a 时，讨论( )f x的单调性；（）设2( )24.g xxbx当14a 时，若对任意1(0,2)x ，存在21,2x ，使12()()f xg x，求实数b取值范围.欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx

20、.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网（）当14a 时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ，有11f(x )f(1)=-2，又已知存在21,2x ，使12()()f xg x，所以21()2g x，21,2x ，即存在1,2x，使21( )242g xxbx ，即2922bxx，即922bxx11 17,24，所以1122b ，解得114b ，即实数b取值范围是11,)4。【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想

21、欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出( )f x的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出( )g x在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。（2010 湖南理数）湖南理数）20.（本小题满分 13 分）已知函数2( )( ,),f xxbxc b cr对任意的xr，恒有( )fx( )f x。（）证明：当0 x 时，2( )()f xxc；（

22、）若对满足题设条件的任意 b，c，不等式22( )( )()f cf bm cb恒成立，求 m 的最小值。解析：解析：（2010 湖北理数）17 （本小题满分 12 分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 c（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：c（x）=(010),35kxx若不建隔热层，

23、每年能源消耗费用为 8 万元。设 f（x）为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和。（）求 k 的值及 f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。（20102010 福建理数）福建理数）20 （本小题满分 14 分）（）已知函数3(x)=x -xf，其图象记为曲线c。（i）求函数(x)f的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数1x，曲线 c 与其在点111p (x ,f(x )处的切线交于另一点222p (x ,f(x )，曲线 c 与其在点222p (x ,f(x )处的切线交于另一点333p (x ,f(x )，线段11223122pp ,p p

24、,s ,scs与曲线所围成封闭图形的面积分别记为s则为定值；（）对于一般的三次函数32g(x)=ax +bx +cx+d(a0),请给出类似于（） （ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 www.zxsx.com 版权所有中中学学数数学学信息网信息网【解析】 （） （i）由3(x)=x -xf得2(x)=3x -1f=333(x-)(x+)33，当3x(- ,-)3 和33（，）时，(x)0f；当3x(-,33)3时，(x)0，使得) 1)()( 2axxxhxf，则称函数)(xf具有性质)(ap。(1)设函数)(xf2ln(1)1bxxx，其中b为实数。(i)求证：函数)(xf具有性质)(bp； (ii)求函数)(xf的单调