空间向量的正交分解及其坐标表(2)课件

1、lAPa 复习回顾复习回顾二、共面向量二、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OAaa注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。AabBCPp 复习引入复习引入平面向量的坐标分解及坐标表示平面向量的坐标分解及坐标表示xyoaji在平面直角坐标系中，分别取在平面直角坐标系中，分别取x轴，轴，y轴方向相同的两轴方向相同的两个单位向量个单位向量 为基底，对于任意的一个向量为基底，对于任意的一个向量 ，由平，由平面向量的基本定

2、理：存在唯一的有序实数对面向量的基本定理：存在唯一的有序实数对 ，使，使得得 。我们把。我们把 叫做向量叫做向量 的直角坐标，的直角坐标，记作记作 ，其中，其中x叫叫 在在x轴上的坐标，也叫第一轴上的坐标，也叫第一分量，分量， y叫叫 在在y轴上的坐标，也叫轴上的坐标，也叫第二分量。第二分量。, i jr rar( , )ax y=rarar( , )x y=a xiyj+rrr( , )x yar(1,0),(01),0(0,0).ij， 我们知道，平面内的任意一个向我们知道，平面内的任意一个向量量 都可以用两个不共线的向量都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）来表示（平面向量

3、基本定理）. .对于空对于空间任意一个向量，有没有类似的结论间任意一个向量，有没有类似的结论呢？呢？, a b p xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk .pxiyj zk 由此可知，如果由此可知，如果 是空是空间两两垂直的向量，那么，对间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量空间任一向量 ，存在一个有，存在一个有序实数组序实数组 使得使得, ,i j k p ().xyz， ，,xi yj zk , ,i j k p 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量。上的分向量。由平面向量基本定理有：由平面向量基本定理有：一、空间向量的坐标分解一、空间

4、向量的坐标分解c a b CABpPOP/ /作交平面于PPOCOABP pOPP POBOAP P xaybzcABD二、空间向量基本定理：二、空间向量基本定理：都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c , , .a b c叫做空间的一个基底注注: 如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在有序实数组 使, , a b cP .pxayb zb ()x y z， ，（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：特别提示：（2 ） 由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线为与任意一个非零向量共线,与任意与任意两个非零向量共面两个

5、非零向量共面,所以三个向量不共面所以三个向量不共面,就隐含着它就隐含着它们都不是们都不是 .00（3）一个基底是指一个向量组）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底一个基向量是指基底中的某一个向量中的某一个向量,二者是相关连的不同概念二者是相关连的不同概念. c a b p 当不共面的向量当不共面的向量 两两垂直两两垂直时是怎样的情形呢？时是怎样的情形呢？a b c,r r r 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，个基底的三个基向量互相垂直，且长都为且长都为1，则这个基底叫做，则这个基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用 表示表示e e e,

6、123u r u r ur三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系 在空间选定一点在空间选定一点O和一个和一个单位正交单位正交基底基底 ,以点以点O为原点，分别为原点，分别 以以 的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、 y 轴、轴、 z轴轴,这样就建立了一个空这样就建立了一个空间直角坐标系间直角坐标系Ox y z .e ee,123u r ur ureee,123ur ur ur 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量 都叫做坐标向量都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。eee,123ur ur urpxeyeze123 xyzOP(x

7、,y,z)e1e2e3如图，在空间直角坐标系如图，在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一一中，对空间任一一个向量个向量 , 一定可以将其平移，使它的起点与坐标系一定可以将其平移，使它的起点与坐标系原点原点O重合，得到向量重合，得到向量 ，由空间向量基本定，由空间向量基本定理可知存在唯一的有序实数组理可知存在唯一的有序实数组 x, y, z,使使 OPp pu r我们把我们把将将 x, y, z 称作向量称作向量 在在单位正交基底单位正交基底 下的坐下的坐标，记作：标，记作： pu reee,123ur ur urPx y z( , , ) pu r四、空间向量的正交分解及其坐标表示四、空间向量的正交分解及其坐标表示例题讲解例题讲解BOACPNMQ例例1 1、已知空间四边形、已知空间四边形OABCOABC，其对角，其对角线为线为OBOB，ACAC，M M，N N分别是对边分别是对边OAOA，BCBC的中点，点的中点，点P P，Q Q是线段是线段MNMN三等分三等分点，用基向量点，用基向量 表示向量表示向量OC,OB,OAOQOP,四棱锥四棱锥POABC的底面为一矩