高考数学全国卷复习24参数方程word含答案

1、学员姓名科目数学年级授课时间课时授课老师教学课题极坐标与参数方程教学目标极坐标、参数方程、直角坐标的互换；求最值，经典运用重点难点极坐标、参数方程、直角坐标的互换；求最值，经典运用教学内容教学内容选修选修 44坐标系与参数方程坐标系与参数方程1极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，叫做极点，从 O 点引一条射线 Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的极径，记为，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角叫做点 M 的极角，记为.

2、有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记作 M(，)(2)极坐标与直角坐标的互化点 M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式xcos ，ysin 2x2y2tan yx(x0)对于acos ,bsin ，的类型，两边乘变成2acos ,2bsin ，再把2x2y2代入变成圆2常见曲线的参数方程和普通方程（消参数，保留 x 和 y）点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)xx0tcos ，yy0tsin (t 为参数)圆x2y2r2xrcos ，yrsin (为参数)椭圆x2a2y2b21(ab0)xacos ，ybsin (为参数)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值

3、范围保持一致考点一参数方程与普通方程的互化【例 1】 把下列参数方程化成普通方程：(1)xcos4sin，y2cossin(为参数)；(2)xa（etet）2，yb（etet）2(t 为参数，a，b0)【思路分析】(1)用 x、y 表示 sin、cos，然后利用 sin2cos21 消去参数；(2)用 x、y 表示 et，et，利用 etet1 消去参数 t.【解析】(1)xcos4sin，y2cossinsiny2x9，cosx4y9(y2x9)2(x4y9)21，所以 5x24xy17y2810.(2)由题意可得2xaetet，2ybetet.22得4x2a24y2b24，所以x2a2y2

4、b21，其中 x0.【方法归纳】 参数方程化为普通方程的关键是消参数： 一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)，二要注意变量取值范围的一致性，这一点较易被忽略【举一反三】将下列参数方程化为普通方程(1)x1sin 2，ysin cos (为参数)；(2)x12etet，y12etet(t 为参数)（2016 广调 23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C：1,1 2xtyt （t为参数）与曲线2C：cos3sinxay，(为参数，0a )（）若曲线1C与曲线2C有一个公共点在 x 轴上，求a的值；（）当3a 时, 曲线1C与曲线2C交于A，B

5、两点，求A，B两点的距离考向二参数方程求最值典题导入例 1已知直线 l 的参数方程为x42tyt2(t 为参数)，P 是椭圆x24y21 上任意一点，求点 P到直线 l 的距离的最大值解将直线 l 的参数方程x42tyt2(t 为参数)转化为普通方程为 x2y0，因为 P 为椭圆x24y21 上任意一点，故可设 P(2cos ，sin )，其中R.因此点 P 到直线 l 的距离 d|2cos 2sin |12222 2|sin4|5.所以当k4，kZ 时，d 取得最大值2 105.由题悟法(1) 谁动谁参数（专门针对曲线上的动点到直线的距离）(2)利用三角函数的合一公式合一公式求最值（也叫辅助

6、角公式）以题试法(2014课标全国卷)已知曲线 C：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数)(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值考向三参数方程与极坐标方程的综合问题典题导入例1已知曲线C的极坐标方程为4cos ， 直线l的参数方程是：x 522t，y 522t(t为参数)(1)求曲线 C 的直角坐标方程，直线 l 的普通方程；(2)将曲线 C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移 1 个单位，得到曲线 C1，求曲线 C1上的点到直线 l 距离的最小值【解】

7、(1)将曲线 C：4cos 化为普通方程为 x2y24x，曲线 C 的方程为(x2)2y24.直线 l 的普通方程是 xy2 50.(2)将曲线 C：(x2)2y24 横坐标缩短为原来的12，得到曲线的方程为(2x2)2y24，即 4(x1)2y24，再向左平移 1 个单位，得到曲线 C1的方程为 4x2y24，即 x2y241.设曲线 C1上的任意一点为(cos ，2sin )，它到直线 l 的距离为d|cos 2sin 2 5|2|2 5 5sin|2，当 sin()1 时，d 取得最小值52102，曲线 C1上的点到直线 l 距离的最小值为102.由题悟法(1) 谁动谁参数（专门针对曲线

8、上的动点到直线的距离）(2)利用三角函数的合一公式合一公式求最值（也叫辅助角公式）以题试法（2016 广一 23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2，0,2.（）求曲线C的直角坐标方程；（）在曲线C上求一点D，使它到直线l：33,32xtyt （t为参数，tR）的距离最短，并求出点D的直角坐标.（2016 广二 23）（本小题满分 10 分）选修 44: 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos ,(sinxy为参数).以点O为极点，x轴正半轴为极轴

9、建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()42.()将曲线C和直线l化为直角坐标方程；()设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值.(2012新课标全国卷)已知曲线 C1的参数方程是x2cos ，y3sin (为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为2，3 .(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标；(2)设 P 为 C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围(2013新课标全国卷)已知动点 P、Q 都在曲线 C：

10、x2cos t，y2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为 t与 t2(02)，M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点(2014课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos ，0，2 .(1)求 C 的参数方程；(2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标【2015 高考新课标 2，23】选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中

11、，曲线1cos ,:sin,xtCyt（t为参数，0t ），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sinC，曲线3:2 3cosC（）.求2C与1C交点的直角坐标；（）.若2C与1C相交于点A，3C与1C相交于点B，求AB的最大值重难点直线与圆参数方程的应用典题导入例 1在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x322t，y 522t(t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为2 5sin .(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P

12、 的坐标为(3， 5)，求|PA|PB|.解(1)由2 5sin ，得22 5sin .x2y22 5y，即 x2(y 5)25.(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程得322t222t25，即 t23 2t40.由于(3 2)24420，故可设 t1，t2是上述方程的两实根，所以t1t23 2，t1t24.又直线 l 过点 P(3， 5)，故由上式及 t 的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23 2.由题悟法（专门针对直线与曲线相交时，弦上三点的问题专门针对直线与曲线相交时，弦上三点的问题）过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为xx0tcos ，y

13、y0tsin (t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即 t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为 t1、t2，则|PA|t1|， |PB| |t2|，|PA|PB|t1|t2|t1t2|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为的中点对应的参数为12(t1t2)【例 2】 已知圆 M：x1cos，ysin(为参数)的圆心 F 是抛物线 E：x2pt2，y2pt(t 为参数)的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，求|AF|FB|的取值范围【思路分析】首先把圆 M、抛物线 E 的参数方程化为普通方程，求点 F

14、 的坐标，设出过 F的直线的参数方程，用参数表示|AF|FB|再求解【解析】曲线 M：x1cos，ysin的普通方程是(x1)2y21，所以 F(1，0)抛物线 E：x2pt2，y2pt的普通方程是 y22px，所以p21，p2，抛物线的方程为 y24x.设过焦点 F 的直线的参数方程为x1tcos，ytsin(t 为参数)，代入 y24x，得 t2sin24tcos40.所以|AF|FB|4sin2.因为 0sin21，所以 AFFB 的取值范围是4，)【2015 高考湖南，16】已知直线352:132xtlyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方

15、程为2cos.（1） 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为(5, 3)，直线l与曲线 C 的交点为A，B，求| |MAMB的值.的两个实数根分别为1t，2t，则由参数t的几何意义即知，1821|t|t|MB|MA|.【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易题，在方程的转化时，只要利用cosx，siny进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程，实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极坐

16、标与参数方程中同样适用.规律方法 31.(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，进而化为参数方程，但注意极角的范围对 t 的限制，常错为 t0,2(2)理解参数 t 的意义，正确求得点 D 的直角坐标2将极坐标与参数方程交织在一起，考查逻辑思维能力及运算求解能力善于将各类方程相互转化是求解该类问题的前提以题试法【2015 高考新课标 1，23】选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1C:x=2，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求1C，2C的极坐标方程；（）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求2C MN的面积.（

17、2016 广适 23）.( (本小题满分本小题满分 10 分分) )选修44:坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy中，过点(1, 2)P的直线l的倾斜角为45以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2cos,直线l和曲线C的交点为,A B()求直线l的参数方程；()求PAPB参考答案考点一参数方程与普通方程的互化解(1)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得 y22x.又 x1sin 20,2，得所求的普通方程为 y22x，x0,2(2)由参数方程得 etxy，etxy，(xy)(xy)1，即 x2y21.（2016 广调 23）解：

18、解：（）曲线1C：11 2xtyt ，的直角坐标方程为32yx曲线1C与x轴交点为3,02曲线2C：cos ,3sinxay的直角坐标方程为22219xya曲线2C与x轴交点为(,0),( ,0)aa由0a ，曲线1C与曲线2C有一个公共点在 x 轴上，知32a （）当3a 时, 曲线2C：3cos ,3sinxy为圆229xy圆心到直线32yx的距离2233 5521d 所以,A B两点的距离2223 512 522 955ABrd考向二参数方程及应用(2014课标全国卷)【解】(1)曲线 C 的参数方程为x2cos ，y3sin (为参数)直线 l 的普通方程为 2xy60.(2)曲线 C

19、 上任意一点 P(2cos ， 3sin )到 l 的距离为 d55|4cos 3sin 6|， 则|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中为锐角，且 tan 43.当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55.当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.考向三参数方程与极坐标方程的综合问题（2016 广一广一 23）（）解：解：由sin2，0,2，可得22 sin1 分因为222xy，siny，2 分所以曲线C的普通方程为2220 xyy（或2211xy） 4 分（）解：解：因为直线l的参数方程为33,32xtyt （t为参数，tR），消去t得直

20、线l的普通方程为350 xy5 分因为曲线C2211xy是以G1 , 0为圆心，1 为半径的圆，因为点D在曲线C上，所以可设点Dcos ,1 sin0,27 分所以点D到直线l的距离为3cossin42d2sin38 分因为0,2，所以当6时，min1d9 分把6代入Dcos ,1 sin，所以点D的坐标为3 322，10 分（2016 广二 23）（本小题满分 10 分）（23）()解：由3cos ,sin ,xy得2213xy，曲线C的直角坐标方程为2213xy.2 分由sin()42，得sincoscos sin244，3 分化简得，sincos2，4 分2xy.直线l的直角坐标方程为2

21、xy.5 分()解法 1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为3cos ,sin， 6 分点Q到直线l的距离为3cossin22d7 分2cos262.8 分当cos16 时，max42 22d. 9 分 点Q到直线l的距离的最大值为2 2.10 分解法 2：设与直线l平行的直线l的方程为xym，由22,1,3xymxy消去y得2246330 xmxm，6 分令2264 4330mm ，7 分解得2m .8 分直线l的方程为2xy ，即20 xy.两条平行直线l与l之间的距离为222 22d.9 分点Q到直线l的距离的最大值为2 2.10 分(2012新课标全国卷)解(1)由已知可得 A2cos3，2sin3 ，B 2cos32 ，2sin32 ，C 2cos3，2sin3，D 2cos332 ，2sin332，即 A(1， 3)，B( 3，1)，C(1， 3)，D( 3，1)(2)设 P(2cos ，3sin )，令 S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则 S16cos236sin2163220sin2.因为 0sin21，所以 S 的取值范围是32,52(2013新课标全国卷)【解】(1)依题意有 P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此 M(cos cos 2，sin sin 2)M 的轨迹的参数方程为xcos cos 2，