2021版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义学案苏教版选修2-1

1、PF2.54e=5，二 PF = 2,d p.2.5圆锥曲线的统一定义学习目标1. 了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几 何问题和实际问题.二知退梳理自主学习知识点一圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点 F和到一条定直线l(F不在I上)的距离的比等于常数 e的点的轨迹. 0<e<1时，它表示椭圆；e>1时，它表示双曲线；e= 1时，它表示抛物线.知识点二准线方程2 2 2 2XVXV对于椭圆孑+1 (a>b>0)和双曲线 孑一b,= 1(a>0, b>0)中，与F( c, 0)对应的准线方程是I :22aax=-，与F&#

2、39; ( c, 0)对应的准线方程是I '： x=-;如果焦点在V轴上，那么两条准线方cc2a程为y=± .c思考1 .椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答案e2.动点M到一个定点F的距离与到一条定直线 I的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线 吗？答案 当F?l时，动点M轨迹是圆锥曲线.当 F I时，动点M轨迹是过F且与I垂直的直 线.車点突破题型一统一定义的简单应用2 2例1椭圆+ 7 = 1上有一点P,它到左准线的距离等于2.5，那么，P到右焦点的距离为259答案 8c 4解析 如下图，PF+ PR = 2a = 10, e = = ?a 5 PFa=

3、 10 PF= 10 2 = 8.反思与感悟 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用.一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题， 应自然联想到椭圆的定义； 如果遇到有动 点到一定点及一定直线距离的问题， 应自然联想到统一定义； 假设两者都涉及，那么要综合运用 两个定义才行.2 2跟踪训练1椭圆 缶+1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离.22伍解 方法一 由4b+ 右=1，得 a=2b, c = 3b, e=-.由椭圆第一定义,PF + PR= 2a = 4b, 得 PF= 4b PF= 4b b= 3b.由椭圆第二定义,¥= e,

4、 di为P到左准线的距离,PF di =2 3b,即P到左准线的距离为 2 3b.方法PRd7 = e,d2为P到右准线的距离.ce=-ab,d2=23b.题型二应用统一定义转化求最值2 2x V例2椭圆了+土= 1内有一点R1 , 1) , F是椭圆的右焦点，在8 6椭圆上求一点 M 使MPb 2MF之值为最小.解 设d为M到右准线的距离.c 1 MF 1-e= a= 2, d = 2,MF.=d,即卩d= 2MF如图)2故 MPb 2MF= MPb d> PM .显然，当P、M M三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M的坐标为(3 .'15, 1) 反思与感悟 本例中，利用

5、统一定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离,再利用图形，形象直观，使问题得到简捷的解决.2 2跟踪训练2双曲线 冷-i6= 1的右焦点为F,点A(9,2)，试在双曲3线上求一点 M使M件匚MF的值最小，并求这个最小值.5解 过M作MN垂直于双曲线的右准线 I于N,由第二定义可知MN= MF如图e又 a= 3, b= 4,5 c= 5, e=3,33 MN=：MF二M/V-MF= M/V MN显然当 M N A三点共线时 M* MN= AN为最小，即 M* 5523一a 9 365MF取得最小值，此时 AN= 9- = 9-5= 5,3，亠 363/5 MA 5MF的最小值为，此时点

6、 M-2 ， 2).题型三圆锥曲线统一定义的综合应用X2 y28例3A、B是椭圆2+= 1上的点，F2是右焦点，且 AFVBF= a, AB的中点N到a 9 2525a3AF + BF= 2a AF； + 2a BF； = 4a AF + BF； = 4ad1, d2, d3,由梯形中位线定理有d1+ d2= 2d3= 3,左准线的距离等于2,求此椭圆方程.解 设Fi为左焦点，那么根据椭圆定义有:8 12a = a.55再设A、B N三点到左准线距离分别为29 2而b = 25a ,2 16 2 C=肓离心率4e= 5，由统一定义 AF = ed1, BF= ed2,12 AF1V BF= e

7、d1 + d2=,512又 AF + BF1 =， a= 1,2椭圆方程为x2+弋=1.25反思与感悟 在圆锥曲线有关问题中,充分利用圆锥曲线的共同特征,将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法.2 2x y跟踪训练3设P(xo, yo)是椭圆孑+詁=1(a>b>0)上任意一点，F1为其左焦点.(1)求PF的最小值和最大值；2 2x yP,使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直.在椭圆二+ 2= 1上求一点255解(1)对应于Fi的准线方程为2ax=c，e,根据统一定义：aXo +c PF= a+ exo. 又- aw xow a,c当 xo = a 时，(PF) m

8、i n= a+( a) = a c ；ar,c当 xo = a 时，(PF) max=a22224(2) V a = 25, b = 5, c = 20, e =.5* P時 + PF= F1 ,( a + exo) + ( a exo) = 4c .将数据代入得 25 + 4xo = 40. xo=± J".代入椭圆方程得 P点的坐标为 53,中，53，¥5典 52 ， 252， 2自杳自纠当堂检测k的取值范围为1 .方程(1 + k)x + k>0,解析由题意得 1 k>0,- (1 k)y2= 1表示焦点在 x轴上的双曲线，那么答案 1<k

9、<1k> 1,解得即1<k<1.k<1,2.点F1, F2分别是椭圆 x2 + 2y2= 2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么| PF+匣|的最小值是答案 2解析 设 P(xo, yo)，那么 陥=(1 xo, yo), PF = (1 xo, yo) , PF + PF2= ( 2xo,2yo) ,PF + PF2|4x0 + 4y2 = 2 p2 2y0+ y0 = 2 寸y0 + 2.点P在椭圆上， 0< y2< 1,.当y0= 1时，|PF+ PF|取最小值为2.3Fi、F2是椭圆的两个焦点满足 MFMF= 0的点M总在椭圆内部，那么

10、椭圆离心率的 取值范围是答案(0, #)解析 I MF- IMF= 0, M点轨迹方程为x9+ y9= c9,其中F1F9为直径，由题意知椭圆上的点在圆 x9+ y9= c9外部，设点P为椭圆上任意一点，贝U Of>c恒成立，由椭圆性质知OP> b,其中b为椭圆短半轴长，.9.99999 b>c,. c <b = a c , a >2c ,又 0<e<1,4. 椭圆 0<e<#9y2= 1( m>0, n>0)，有相同的焦点(一c, 0)和999X yx9+ e = 1( a> b> 0)与双曲线9999(c, 0)，假设c是a、m的等比中项，n是2m与c的等差中项，那么椭圆的离心率是 1答案9解析由题意，得a9 b9= c9,m+ n9= c9,2c = am 9n9 = 9m+ c9,由可得 m+ n9= 9n9 9m,即 n9 = 3m,® 代入得4m= c9? c = 9m2 代入得4m= an? a= 4m所以椭圆的离心率 e=