蚌埠市高考一轮复习几何体的体积和表面积

1、2016年蚌埠市高考一轮复习几何体的体积和表面积【高考再现】热点一几何体的体积1 .（2012年高考湖北卷理科10）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径d的一个近似公式d之；序.人们还用过一些类似的近似 公式。根据x=3.14159-.判断，下列近似公式中最精确的一个是 （）A. d %：i些VB . d 或2V C . d fc3|30°VD . d 之：；_2915711【答案】D【解析】由，=±制乜忆 得d= J”、设选项中常数为2则k色；月中代入得,&qu

2、ot;="F 3 2b a16冲代入得吧=心C中代入得产也二二3目，次代入得产史°=3 142摩 230021由于D中值最接近界的真实值，故选椅.2 .（2012年高考新课标全国卷理科7）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A） 6（B） 9（C）二【答案】3【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3,此几何体的体积为ja = 1x1x6x3x3=9. 3 23 .（2012年高考新课标全国卷理科 11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球 O的求面 上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球。的直径，且SC = 2；则此

3、棱锥的体积为（ ）632(C)2KJ面ABDj且面4BD为等腰三角形，因/&SC4C",故二走，22 /T答案，A解析；在直角三角形/C中，.40 = 1, /SAC二90，%二2一SA=4万二同理SB二点,过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB,因SAB形故BD±SC.故4.（2012年高考江西卷理科10）如右图，已知正四棱锥 S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记1三7（定性法）当0 <元<1时，随着X的噌大，现察图形可知，内R单调递L减，且 2避减的速度越来越快；当!工工<1

4、时，随着工的增大，观察图形可知，内工单调避减，且 2递减的速度越来越慢M再观察各选项中的图象，发现只有乜图家符合故选上5. （2012年高考新课标全国卷文科 8）平面a截3O的球面所得圆的半径为 1,球心O到平面a的距离为啦，则此球的体积为SE =x（0 <x <1）,截面下面部分的体积为V（x）,则函数y=V（x）的图像大致为（）则如。的面积为5尺1><-则三棱锥的体积为1xx2 = . 3 46（A）水式(B) 4/3 汽(C) 4 6汽(D) 6 如t答案】3【解析】球半径干二1+（及"二后,所以球的体积为刀乂（次尸=40笈，选B6. （2012年高考江

5、苏卷7）如图，在长方体ABCD_A,BiGDi中，AB = AD=3cm,AA, =2cm ,则四棱锥 A-BB1D1D的体积为cm3.【答案】6cms【解析】如图所示，生结乂D交3仃千点。，因为平面刃及7白_L 3且曾1。，又因为 ACLBD.所以，47_L平面5用劣。，所以四棱锥-屈5。山的高为工。，根据题 意 AB - AD = 3cm 3 所以 A0 - 3 又因为 BD - 3, AA 2cm 故制形BBXDXD的面积为672cm2 ,从而四棱维A-的钵积1 7 /o厂二一X 6 点 x= 6cmL327 .（2012年高考天津卷理科10）一个几何体的三视图如图所示 （单位：m）,则

6、该几何体的 体积为 m3.63【答案】18+9加【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的蛆合体，所以其体积 为：，=3x6x1+2x（jtx（；| 产=18+9笈泞.8 . （2012年高考山东卷理科 14）如图，正方体 ABCD-ABCQ的棱长为1, E,F分别为线段 AA,BiC上的点，则三棱锥 D-EDF的体积为 。1【答案】111, 1=111=.3268）若一个圆锥的侧面展开图是面积为21的半圆面，则该6【解析】VD1 -EDF = Vf -D1DE9.（2012年高考上海卷理科圆锥的体积为 .【答案】亘3【解析】根据该扇锥的底面IS的半径为尸，母线长为人根据条

7、件得到而口 = 2开，解得母 2线长,2才=殂=2兀尸=1所以该圆锥的体积光；公=ls = -x722 -13tt=-7T.bitie 333【方法总结】1 .计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充 分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解.2 .注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规 则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握.3 .等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离”.热点二几何体的表面积10.（2012年高考辽宁卷理科

8、13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为。【答案】3S【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的国柱，其中长方体的 长、宽、高分别为4、3、1,扇柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面 积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2（3*4+4x1+ 3x1）+ 2开2开=38 【方法总结】1 .在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积 应注意重合部分的处理.2 .以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分 析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.3 .圆柱、圆锥、圆台的侧面是

9、曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和热点三与体积相关的最值问题11.（2012年高考上海卷理科14）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱， BC = 2,若AD =2c,且AB + BD = AC+CD =2a,其中a、c为常数，则四面体 ABCD的体积的最大值是.【答案】2c a2 -c2 -13【解析】据题AB + BD = AC + CD = 2a ,也就是说，线段AB + BD与线段AC +CD的长度是定值，因为棱 AD与棱BC互相垂直，当2BC，平面ABD时，此时有最大值，此时最大值为：c、：a2 -c2 -1 .312.（2

10、012年高考湖北卷理科19）（本小题满分12分）如图1, /ACB=45 , BC=3过动点A作ADL BQ垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将4AB所起，使/ BDC=90 （如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥 A-BCD的体积最大；（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点 E, M分别为棱BC, AC的中点，试在棱CD上确定一点N,使得ENL BM并求EN与平面BM廊成角的大小八?/X/ w/ I-TF-，<ru aj*1 > -e【解析】（I ）解法1：在如图:所示的血中，设班=1（0工3）,则C© = 3-x.由ZXCB = 45知，)。

11、为等腰直角三角形，所以>1D = CD=3t.由折起前加知，折起后(如图2), ADLDC,加1BD,且BDCIDC=D,所以血！.平面BCD.又NBDC=90,所以工 =-BD CD = x(3-x).于是 22v. =:愈 s& =1(3-r) ir(3-r) = l-2r(3-rX3-r)/ 1 r2r + (3-r) + (3-r)T 2"1233当且仅当2x = 3-r,即x = l时，等号成立，故当工=1,即班=1时，三棱锥力-BCD的体积最大.解法2：同解法:，得，.1 =L(3-r) ix(3-r) = i(？-6r +9r). 3-326令/(0=/-

12、6/ + 以)，由(力=1(1-1)(1-3)=0, fi0<r<3,解得了 = 1. 62当 rw (0,1)时，f(x) > 0 ；当代(1,3)时，f(x) < 0 .所以当r = 1时，/（x）取得最大值.故当BD = 1时，三棱锥A- BCD的体积最大.（II）解法L以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系D-xyz.由3 ）知，当三棱锥八BCD的体积最大时，助=1, AD = CD=2.于是可得4。, 0,0），颐 1,0,0），C（0,2,0）,收0,0, 2）, "（0,1,1）, 5（1 1,0）,且瓦7=（-1,1,1）.设M（CM,。）

13、，则的=（-口-1,0）.因为国/IBM等价于丽丽=0,即 2（-1,-1,0）-（-1,1,1）=1+.?-1 = 0,故力=；,"（，；，0）, /C/所以当£）" = ?（即曾是CD的靠近点D的一个四等分点）时，ENLBM. 2设平面琢W的一个法向量为以=（耳匕z）,由卜,竺 及丽=（-1=,0）, （nl2得y=2兀可取-1）. z = -r.设母;与平面以曲所成角的大小为3,则由画; =n=（l, 2,-1）,可得sin 6= cos(90 - 6)=,即9=60 .故W与平面所成角的大小为60.图仃图第V题解答图解法去由C 1 ）知，当三棱锥幺的体积最

14、大时，班=1,皿= CD=2.如图匕取3的中点凡连结加尸，即，即，则叱功由（I ）知松1 _L平面EC。，所以加尸，平面BCD如图白延长咫至口点使得严=DF,连FR DPt则四边形DE抨为正方形 所以DPI B尸取DF的中点N,连结国八又后为RP的中点，则国"DR 所以即1昉因为MF1平面比D,又期匚面B8,所以露尸,即 又网RBF = F,所以耽_L面面介又琢/匚面球听，所以国/_LN 因为即，月时当且仅当即_L的盘 而点F是唯一的，所以点N是唯一的 口吟卯（即双是”的靠近点。的一tea等分点），en-lbm.2隹接jW,由诂算得研I = NM = EB二EM上,2所以破西与乙国四

15、是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取或W的中点G,连接g.NG,则琢f_L平面回GN.在平面以GN中，过点因作即_LGN于丹，则即1平面以W.故上及田是鸵与平面物的所成的角.在中，易得£G =（W=NE=在，所以EGH是正三角形，2故/即出三的，即可马平面所成角的大小为6013.（2012年高考湖南卷理科18）（本小题满分12分）如图 5,在四棱锥 P-ABCB, PA1 平面 ABCD AB=4, BC=3 AD=5 / DABWABC=90 , E是CD的中点.(I )证明：CD1平面PAR(II)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABC所成的角相等，求四棱锥

16、P-ABCD的体积.t解析】解法工（I如图（1）,连接式，由他=s BC=3,乙ISC = 90、得工C 二 5一又40=5, E是C D的中点，所以CQ_L越一* PA，平面月BCD, CD c平面BCD,所以PA ± CD.而F且工£是平面PAE内的两条相交直线，所以8_L平面也三（II）过点B作EG7/CR分别与在;身目交于凡G,连接PE由（I ） CCd_平面V三知，EG_L平面&E于是产为直线P B与平面辿三所成的角，且56_1工£由融_L平面达SCO知，/FBX为直线用 与平面480。所成的角期二4=2,3G_L工凡由题意,知/F44=/BF巴

17、DjdDE1因为 smZPBA = ,5m ABPF =,所以 PA = BF. PBPB由DAB = ZABC = 90"知，刃D/BC,又BG/C2所以四边形是平行四边形,电 3 = BC =3 于是 AG = 2在RtA4G中，蜀= 4,G= N3G_LW凡所以BG= AB2 + AG1 = 2y/5,BF = = £=随BG 245于是为= 5又梯形加CT?的面积为3 =工然（5十工乂4二16,所以四犊锥尸lSCD的体积为二y_【中。4_】m8028小/ = F A=、 x 16 x =3351514. （2012年高考新课标全国卷文科 19）如图，三棱柱 ABO

18、ABCi中，侧棱垂直底一1 二 ，面，Z ACB=90 , AC=BC=AA, D是才AA的中点（I ）证明：平面 BDC，平面BDC（II）平面BDC分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 .解析：U）由题设知 BC_LCC，BC-LAC，CC1CiAC=C，所以BC_L平面ACCM又。C u平面乂cq& 所以且G_L3C由题设知 /40G=40C = 45° ,所以 NC0G = 90°,即 DC，0C ,又DCcBC = C,所以DC；，平面BDC,又订孰U平面BDC故平面B3C?_L平面BZC （2）设棱雄B ZMCC；的体积为彳，dC = L由题意得匕=:x

19、虫xlxl=又三棱柱助c的体积，=1,所以（/-匕）；匕= 1:1故平面笈口g分此棱柱所得两部分体积的比为11【考点剖析】一.明确要求会计算球、柱、锥台的表面积和体积 （不要求记忆公式）二.命题方向1 .空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题.2 .主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能 力.题型多为选择、填空题.三.规律总结（1）解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图， 如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直

20、径；球外接 于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体 的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心或“切点”、“接点”作出截面图.（2）等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（或几何体） 的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角 形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值.【基础练习】1 .（人教A版教材习题改编）圆柱的一个底面积为这个圆柱的侧面积是（）.A. 4n SS,侧面展开图

21、是一个正方形，那么B. 2n S，【经典习题:设长方体的长、宽、高分别为2乐工内其顶点都在一个球面上,d¥s则该球的表面积为1B.C 12-H ： r）Riv间左倒闺3.A.C.10B. 6 2D. 8 2（经典习题）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是4.望典习题设右图是某几何体的三视图.则该几何体的卿黑图体积为（:A 12U 9兀+"5.（教材习题改编）在4人8/，AB= 2, BO 3, / ABC= 120° ,若使 AB嗾直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为 .【名校模拟】一.基础扎实1 .（湖北武汉2012毕业生五月供题训练（三）

22、文 ）已知S,A, B, C是球O表面上的点，SA，平面ABC AB± BC,SA=AB=l, BC=<2 ,则球O的表面积等于A. 4 .：B. 3 二C. 2 二D.二2.（寒阳五中高三年被第Td酶性考试文）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边 三角形，该四棱锥的体积等于a. /5 b. 2/5d. 6733.（2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）理 ）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是A. 112 B. 80 C. 72 D. 64正视图 侧视图俯视图4201缩阳示范高中联考高三理）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ,则该棱锥的全面积是

23、（单位：曲）.俯视图(A) 4+2指(B) 4+ 而 (C) 4 + 2立(D) 4+72.（2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试（三）理）在矩形从CD中，从=白，BC与万,且矩形从CD的顶点都在半径为 R的球。的球面上，若四棱锥 O-ABCD的体积为8,则球。的半径R=(A)3 (B)(C)(D)46北京爷西城区2G12展音三下学养二填过考建一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等蹲直龟三角形，该几何 体的体积是 1若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球 的表面积是.7.(湖北文科数学冲刺试卷(二)15+将边长为2的正“EC沿BU边上的高人口折成直二面4B

24、一月15 -匕；附三犊椎B- 月CD的外接续的覆面枳为也：东城区普通着中示范校高三综合练Ei二) (本小题满分14分)如图所示，在梗长为2的正方体CD -4用GR中.内，F分别为。乌，。3的中点.3 )求证；£尸.平面工友号不(II )求证,就1国C二(III)求三棱锥队一学用的体积.二.能力拔高9.(2012洛阳示范高中联考高三理)三棱锥S-ABC的顶点都在同一球面上，且SA = AC =SB = BC =2*，2,SC =4 ,则该球的体积为A. 256 二B. 32 二C. 16二D. 64二33本二2年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理：已知X、工C是球。的球面上三点，0三棱

25、锥 ”式 的高为 且式=4则球0的表面积为作 二77 B,:1-C, 1叼 D,11.(唐山市2011 2012学年度高三年级第一次模拟考试文)点A、B、C、D均在同一球面上,其中AABC是正三角形，AD平面ABC,AD=2AB=6则该球的体积为(A) 32 3二(B)48 二(C)64 3二(D)16 3 二12 . （2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测 （二）文）已知正三棱柱内接于一个半 径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为A .娓 B . C . J3D . 213 .（山西省2012年高考考前适应性训练理）一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为

26、 V3的球，则该棱柱体积的最大值为（）A . 23B . 33.C . 3<3D , 6<314 .（2012年长春市高中毕业I霞第二次调研涕试文如图所示，正方体的棱长为6 ,则以正方体8-4474的中心为顶点.，以平面月截正方体外接 球所得的圆为底面的圆锥的全面积为._5 （2012年长春市高中毕业旺第二改调研测试理如图，已知球°是校长为二的正方体A位8-4为乎1的内切球，则以封为顶点，以平面“二鼻被球°所截得的圆为底面的圆锥的全面积为16 .（中原六校联谊2012年高三第一次联考理）正三棱锥S-AB", M N分别是SC BC中点，且MNLAM若S

27、A=2v3.则正三棱锥S - ABC的外接球的体积为 。17 .（浙江省2012届重点中学协作体高三第二学四月联考试题理）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为 恻视图V滥2于巫士谛视图18 .下江省2。翌耳富二二孝之昨华蹙三堂二孝群4月m辱F吏逐i有六根细木棒，其中较长的两根 分别为招必 近&其余四根均为由用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在 的直线的夹角的余弦值为.19（河北唐山市2012届高三第三次模拟文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥 PABCM, PA，底面ABCD ABCDg直角梯形，AB± BG AB/CR AB=2BC=2CD=2（1）求证：平面 PBCL平面PAB，（2）若/PDC=120 ,求四棱锥 P-ABCD勺体积。C D20（ 2012年石家在市高中毕业班教学质量检测（二）文）（本小题满分12分）如图，在多面体 ABCDEF 中，ABCD 为菱形，/ABC二60 £。_1面 ARCD，FAJ面 ABCD，G 为BF的中点，若EG/庙AECD.求证：EG_L面研译（11）若AFAB=2,求多面体ABCDEF的体积.2L（2012年石家庄市高中毕业班第二次