复变函数练习题习题41_第1页
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文档简介

1、习题4.16判断下列复数列的收敛性，且当收敛时求出其极限，其中.（2）解：因为当时，所以由4.1节定理1知，复数列收敛，且注：数列没有绝对收敛！级数才有绝对收敛！（3）解：因为当时，所以复数列发散.7.判别下列级数的绝对收敛和收敛性.（1）解：因为当时，此级数通项的模不趋向于零，所以由4.1节定理4的推论知此级数发散.（2）解：因为通项取模后的级数所以该级数绝对收敛，从而也收敛.注：通项的模趋向于零不能得到绝对收敛！该级数的虚部级数为，而不是，虚部级数不包括虚数单位i.（3） 解：因为其实部级数和虚部级数均为发散调和级数，所以该级数发散，当然也不绝对收敛.注：通项趋向于零不能得到级数收敛！例如

2、：但调和级数发散.8.求下列幂级数的收敛圆的中心和收敛半径.（2）解：显然该幂级数的收敛圆的中心z0=i.令，则由求幂级数收敛半径的检比法（4.1节定理7）知所以该幂级数的收敛半径（3）解：显然该幂级数的收敛圆的中心z0=-i.令得由求幂级数收敛半径的检比法（4.1节定理7）可求出上式右端幂级数的收敛半径因为于是幂级数的收敛域为即圆域所以原幂级数的收敛半径注：此题，而是，所以不能直接用求幂级数收敛半径的检比法和检根法，否则会得出收敛半径的错误结论!（5）解：显然该幂级数的收敛圆的中心z0=2i.令，则由求幂级数收敛半径的检根法（4.1节定理8）知所以该幂级数的收敛半径10.证明幂级数与的收敛半径相等或后者更大.证明：当幂级数在点绝对收敛时，级数收敛，即收敛.由于则由级数的比较判别法知收敛，即绝对收敛，从而幂级数在点也绝对收敛.这表明幂级数的绝对收敛域包含幂级数的绝对收敛域，所以幂级数与的收敛半径相等或后者更大.另证：因为，所以幂级数的绝对收敛

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