第三讲参数区间估计

1、第二讲第二讲 区间估计区间估计 P156P156 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. .它是它是用样本算得的一个值去估计未知参数用样本算得的一个值去估计未知参数. .但但是，点估计值仅仅是未知是，点估计值仅仅是未知参数的一个近参数的一个近似值似值，它没有反映出这个近似值的，它没有反映出这个近似值的误差误差范围范围，使用起来把握不大，使用起来把握不大. . 区间估计正区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷好弥补了点估计的这个缺陷 . . 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数据一个实际样本，得到鱼数N N 的估计为的估

2、计为10001000条条. . 实际上，实际上，N N 的真值可能大于的真值可能大于10001000条，也可能小于条，也可能小于10001000条条. . 我们希望确定一个区间，使我们能以比较高我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的的可靠程度可靠程度相信它包含真参数值相信它包含真参数值. .湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的，是用概率来度量的，称为置信度或置信水平称为置信度或置信水平 1-1-二二 置信区间定义置信区间定义 P156P156 12是两个统计量是两个统计量21,设设 是是 一个待估参数一个待估参数, ,满足满足, 0 使得对于

3、给定使得对于给定121P称称 是是 的的置信水平置信水平为为 的置信区间的置信区间 121,1 定义2 2 置信区间定义解释置信区间定义解释若我们做若我们做N N次抽样次抽样 就得到就得到N N个实数区间个实数区间N N个区间中有些含有个区间中有些含有的真值，有些不含的真值，有些不含的真值的真值例如：例如： N=1000, =0.05 N=1000, =0.05 则大约有则大约有950950个含个含的真值的真值 5050个不含个不含的真值的真值 但当置信度为但当置信度为1-1-时，这些区间中大约有时，这些区间中大约有N N（1-1-）个含有个含有的真值，的真值， 一元正态总体一元正态总体N(m

4、 m, s s2 2)关于关于 P158P158 期望期望m m与与 方差方差s s2 2的区间估计的区间估计1 1 期望期望m m的置信区间的置信区间( (方差方差s s2 2已知已知) ) ,22ssznXznX设nXXXX,.,321为正态总体正态总体总体),(2smNX的容量为n的样本,nxxxx,.,321为样本观测值期望期望m m的置信区间的置信区间( (方差方差s s2 2已知已知) )为为推理如下nXZ/sm(1) 构造统计量P212定理11.2P196定理10.1)1 ,0( N显然Z取值在0的附近是合理的2z2z(2) 对于置信度1查P250表得2Zsm1/22znXzPs

5、ms122znXznXP所以所以 期望期望m m的置信区间的置信区间( (方差方差s s2 2已知已知) ) ,22ssznXznX例例1 某灯泡厂某天生产的灯泡寿命某灯泡厂某天生产的灯泡寿命x N(m m, 8 8 ) ，从从中抽取了中抽取了10个进行寿命试验，得数据如下个进行寿命试验，得数据如下 1050110010801120120012501040113013001200求该天灯泡平均寿命的置信区间求该天灯泡平均寿命的置信区间（ 0.05 0.05）解解1147Xn=10, s s2 2 8 8由由 0.05 0.05查表可得查表可得z/2 /2 m m的置信区间为的置信区间为),(2

6、2ssznXznX1.961.96倒倒 查查0.975期望期望m m的置信区间的置信区间(方差方差s s2 2已知已知)为为（1145.25, 1148.75)提示提示1147X)96. 11081147,96. 11081147(例例2 从正态总体从正态总体x N( m m, 4 42 2) )中抽出容量为中抽出容量为4的样本的样本样本均值为样本均值为13.2 , 求求m m的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间 m m的置信区间为的置信区间为解解2 .13Xn=4, s s2 2 4 42 2由由 0.05 0.05查表可得查表可得z/2 /2 ),(22ssznXznX1.96

7、1.96倒查倒查 0.975期望期望m m的置信区间的置信区间(方差方差s s2 2已知已知)为为（9.28 17.12)96.1442 .13,96.1442 .13(例例3 测两点间距离测两点间距离5次，数据如下次，数据如下 108.5109.0110.0110.5112.0(2)求距离求距离的置信区间的置信区间（ s s2 2 2.5 , 0.05 2.5 , 0.05 ）解解EXm(1)如果测量值服从如果测量值服从),(2smN求求与与s s2 2的估计值的估计值X50 .1125 .1100 .1100 .1095 .108110DX2s2S2)1105 .108(2)110109(

8、2)110110(2)1105 .110(2)110112(4875.1提示提示110X875. 12S例例3 测两点间距离测两点间距离5次，数据如下次，数据如下 108.5109.0110.0110.5112.0(2)求距离求距离的置信区间的置信区间（ s s2 2 2.5 , 0.05 2.5 , 0.05 ）解解(1)如果测量值服从如果测量值服从),(2smN求求与与s s2 2的估计值的估计值X110n 5, s5, s2 2 2.5 2.5由由 0.05 0.05查表可得查表可得z/2 /2 的置信区间为的置信区间为),(22ssznXznX1.961.96倒倒 查查0.975m m

9、的置信区间的置信区间(方差方差s s2 2已知已知)为为(108.6, 111.4)96. 155 . 2110,96. 155 . 2110( 一元正态总体一元正态总体N(m m, s s2 2)关于关于 期望期望m m与与 方差方差s s2 2的区间估计的区间估计2 2 期望期望m m的置信区间的置信区间( (方差方差s s2 2未知未知) ) )1(),1(22ntnSXntnSX设nXXXX,.,321为正态总体正态总体总体),(2smNX的容量为n的样本,nxxxx,.,321为样本观测值期望期望m m的置信区间的置信区间( (方差方差s s2 2未知未知) )为为推理如下nSXT/

10、m(1) 构造统计量P214定理11.3)1(nt显然T取值在0的附近是合理的) 1(2nt) 1(2nt(2) 对于置信度1查P251表得m1)1(/)1(22ntnSXntPm1)1() 1(22ntnSXntnSXP)1(2nt所以所以 期望期望m m的置信区间的置信区间( (方差方差s s2 2未知未知) ) )1(),1(22ntnSXntnSX解解例例4 用某种仪器测量温度用某种仪器测量温度, ,重复重复5 5次次, ,得得125012500 0 , , 126012600 0 ,1265 ,12650 0 ,1245 ,1245 0 0 ,1275,12750 0,若测得的数据服

11、从若测得的数据服从正态分布正态分布,求求 温度温度的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间方差未知方差未知的情况下的情况下,均值均值的置信区间为的置信区间为)1(),1(22ntnSXntnSX由由 0.05 0.05查表可得查表可得) 1(2nt)4(2t776. 2nXXXXn.2112591)(.)()(222212nXXXXXXSn2)937.11(的置信区间为的置信区间为(1244.2 1273.8)提示提示1259X22)937.11(S)776. 25937.111259,776. 25937.111259(例例5 测测16枚钉子的长度为枚钉子的长度为2.14, 2.10

12、, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11 (1)求求的置信区间的置信区间（ s s2 20.10.12 2 , 0.1 , 0.1 ）解解125.2Xn=16, s s 0.1 0.1由由 0.1 0.1查表可得查表可得z/2 /2 的置信区间为的置信区间为),(22ssznXznX1.641.64倒倒 查查0.95期望期望m m的置信区间的置信区间(方差方差s s2 2已知已知)为为如果长度服从如果长度服从),(2smN(2)求求的置信区间的置信区间（ s s2 2

13、 未知未知 , 0.1 , 0.1 ）(2.084, 2.166)提示提示125.2X22017. 0S)64. 1161 . 0125. 2,64. 1161 . 0125. 2(例例5 测测16枚钉子的长度为枚钉子的长度为2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11 (1)求求的置信区间的置信区间（ s s2 20.10.12 2 , 0.1 , 0.1 ）解解125.2X的置信区间为的置信区间为)1(),1(22ntnSXntnSX期望期望m m

14、的置信区间的置信区间(方差方差s s2 2未知未知)为为如果长度服从如果长度服从),(2smN(2)求求的置信区间的置信区间（ s s2 2 未知未知 , 0.1 , 0.1 ）(2.1175, 2.13)22017.0S)1(2nt)15(21 .0t=1.753)753. 116017. 0125. 2,753. 116017. 0125. 2(3 方差方差s s2 2的置信区间的置信区间 P162)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn)1()(,)1()(221122212nxxnxxniinii或者解解例例6 用某种仪器测量温度用某种仪器测量温度, ,重复重复5 5次次,

15、 ,得得125012500 0 , , 126012600 0 ,1265 ,12650 0 ,1245 ,1245 0 0 ,1275,12750 0, ,若测得的数据服从若测得的数据服从正态分布，正态分布，求求方差方差的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间总体方差置信区间为总体方差置信区间为由由 0.05 0.05查表可得查表可得) 1(22n143.11nXXXXn.2112591)(.)()(222212nXXXXXXSn5.142方差置信区间为方差置信区间为(7.2 34.2)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn)4(2025. 0) 1(221n48

16、4. 0)4(2975. 0提示提示1259X5 .1422S484. 05 .142) 15(143.115 .142) 15(解解例例7 测量测量1010根钢丝的抗断强度为根钢丝的抗断强度为:568, 570, :568, 570, 570 ,570,572, 572, 578,572,584,596 570 ,570,572, 572, 578,572,584,596 若测得若测得的数据服从正态分布，的数据服从正态分布，求求方差方差的置信度为的置信度为0.950.95的的置信区间置信区间差置信区间为差置信区间为由由 0.05 0.05查表可得查表可得) 1(22n023.19nXXXXn

17、.211)(.)()(222212nXXXXXXSn方差置信区间为方差置信区间为(35.8 252.4)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn)9(2025. 0) 1(221n7 . 2)9(2975. 0=575.2=75.73提示提示2.575X73.752S7 . 273.75) 110(23.1973.75) 110(总结 1 期望期望m m的置信区间的置信区间(方差方差s s2 2已知已知) P158 2 期望期望m m的置信区间的置信区间(方差方差s s2 2未知未知) P159 3 方差方差s s2 2的置信区间的置信区间 P162)1()1(,)1()1(2212222nSnnS