第七章 应力和应变分析 强度理论

1、材材 料料 力力 学学7-27-2 平面应力状态分析平面应力状态分析7-37-3 空间应力状态分析空间应力状态分析7-47-4 应力与应变间的关系应力与应变间的关系 7-57-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度 7-67-6 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力 7-17-1 应力状态概述应力状态概述第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论 7-77-7 各种强度理论的应用各种强度理论的应用 简单变形的强度条件是怎么建立的？简单变形的强度条件是怎么建立的？7-17-1 应力状态概述应力状态概述是用是用模拟的方法模拟的方法建立的建立的只有比较简单的受

2、力情况才能做模拟实验。只有比较简单的受力情况才能做模拟实验。比如：比如：单向应力状态（单向应力状态（轴向拉伸或压缩轴向拉伸或压缩）：）：纯剪应力状态（扭转）：纯剪应力状态（扭转）： 弯曲：弯曲：hdzy max min minCABFC截面危险：截面危险：ztmaxcmax上、下边缘虽有上、下边缘虽有max，但，但 =0，属，属单向应力状态单向应力状态中性轴上虽有中性轴上虽有 max，但，但 =0，属，属纯剪应力状态纯剪应力状态 max max强度校核：强度校核：不能说明梁就是安全的，为什么？不能说明梁就是安全的，为什么？上面校核的点不一定是最危险的点。上面校核的点不一定是最危险的点。为什么？

3、为什么？弯曲：弯曲：hdzy max min minCABFC截面危险：截面危险：ztmaxcmax 此点的此点的比比 max减小的不多减小的不多，但又增加了一个不小，但又增加了一个不小的的 ，也许这一点才是最危险的点。，也许这一点才是最危险的点。看腹板和翼缘交界处的点：看腹板和翼缘交界处的点：取出这点：取出这点：要建立其强度条件：要建立其强度条件：FS 横截面横截面（很难做模拟实验）（很难做模拟实验） 对比较复杂的受力情况很难用模拟的方法来建立对比较复杂的受力情况很难用模拟的方法来建立其强度条件。其强度条件。 这样，我们就这样，我们就不做模拟实验不做模拟实验，而是要找出，而是要找出材料破材料

4、破坏的正真原因坏的正真原因。 在分析材料破坏的正真原因之前，必须知道构件在分析材料破坏的正真原因之前，必须知道构件上任意一点的任意方向的受力情况。上任意一点的任意方向的受力情况。为什么？为什么？低碳钢拉伸试验低碳钢拉伸试验 同是拉伸，为什么铸铁的失效发生在横截面同是拉伸，为什么铸铁的失效发生在横截面上，而低碳钢的失效是沿上，而低碳钢的失效是沿4545的滑移线？的滑移线？铸铁拉伸试验铸铁拉伸试验低碳钢扭转试验低碳钢扭转试验铸铁扭转试验铸铁扭转试验 同样是扭转，为什么低碳钢的失效发生在横截同样是扭转，为什么低碳钢的失效发生在横截面上，而铸铁的失效发生在面上，而铸铁的失效发生在4545的螺旋面上？的

5、螺旋面上？（1 1）对于一构件而言，不同截面上的应力分布一般不同）对于一构件而言，不同截面上的应力分布一般不同; ; （2 2）同一截面上各点应力的大小和方向一般不同）同一截面上各点应力的大小和方向一般不同; ; （3 3）同一点处沿不同方向应力的大小和方向一般也不同。）同一点处沿不同方向应力的大小和方向一般也不同。 受力构件内一点处各个不同方位截面上的应受力构件内一点处各个不同方位截面上的应力的集合，称为该点处的应力状态。力的集合，称为该点处的应力状态。 应力状态：应力状态： 研究受力构件上任意一点处各个不同方位截面上研究受力构件上任意一点处各个不同方位截面上的应力，方法：的应力，方法： 从

6、受力构件内任意一点处取一个微正六面体从受力构件内任意一点处取一个微正六面体单元体单元体AdzdydxA研究研究A点的应力情况：点的应力情况：AdzdydxA单元体的特点单元体的特点相互平行的面实际上是一个面。相互平行的面实际上是一个面。尺寸无穷小，各个面上的应力视为均匀分布；尺寸无穷小，各个面上的应力视为均匀分布；（这两个面上的应力是相等的，包括大小和符号。）（这两个面上的应力是相等的，包括大小和符号。）正应力正应力有一个有一个脚脚标以区分该应力作用面的标以区分该应力作用面的法线方向；法线方向；切应力切应力通常有两个脚标通常有两个脚标 ：第一个表示切应力作用面：第一个表示切应力作用面 的法线方

7、向，第二个表示切应力本身的方向。的法线方向，第二个表示切应力本身的方向。 脚标约定脚标约定:x z y zx xz yz zy xy yx xzy从受力构件内一点处取出的单元体，若其侧面上的从受力构件内一点处取出的单元体，若其侧面上的应力均已知，则这样的单元体称为应力均已知，则这样的单元体称为原始单元体原始单元体。从原始单元体出发，可利用从原始单元体出发，可利用截面法截面法研究该点其它截研究该点其它截面上的应力。面上的应力。从受力构件内某一点处取出的单元体，一般来说，从受力构件内某一点处取出的单元体，一般来说，其侧面上既有正应力，又有切应力，但是可以证明，其侧面上既有正应力，又有切应力，但是可

8、以证明，在该点以不同方位截取的诸单元体中，必有一个特殊在该点以不同方位截取的诸单元体中，必有一个特殊的单元体，此特殊单元体上只有正应力而无切应力，的单元体，此特殊单元体上只有正应力而无切应力，这样的单元体称为该点处的这样的单元体称为该点处的主单元体主单元体。AdzdydxAAA一点以不同方位可以截取无数个单元体。一点以不同方位可以截取无数个单元体。主应力主应力: : 主单元体上的正应力称为主应力。主单元体上的正应力称为主应力。主平面主平面: 主单元体的各侧面称为主平面。主单元体的各侧面称为主平面。主方向主方向: 主平面的法线方向称为主方向。主平面的法线方向称为主方向。 一般情况下，主单元体上的

9、侧面上有三对主应力，一般情况下，主单元体上的侧面上有三对主应力， 分别用分别用1 1、2 2和和3 3 表示表示, ,并根据代数值的大小排列。并根据代数值的大小排列。 它们之间的关系是：它们之间的关系是： 1 12 2 3 3主单元体主单元体：只有正应力而无切应力作用的单元体。只有正应力而无切应力作用的单元体。单向应力状态单向应力状态: 如果三对主应力中只有一对不等于零，这样的如果三对主应力中只有一对不等于零，这样的应力状态称为单向应力状态。应力状态称为单向应力状态。比如：轴向拉伸或压缩比如：轴向拉伸或压缩1=2=03=01=02=03=- -平面应力状态（或二向应力状态）平面应力状态（或二向

10、应力状态）: 如果三对主应力中有两对不等于零，这样的应力如果三对主应力中有两对不等于零，这样的应力状态称为平面应力状态（或二向状态称为平面应力状态（或二向应力状态）。应力状态）。221 1= =22 2= =3 3=0=01 1= =2 2=0=03 3= =- -221 1=0=02 2= - - 3 3= =- -2空间应力状态（或三向应力状态）空间应力状态（或三向应力状态）: 如果三对主应力都不等于零，这样的应力状态称如果三对主应力都不等于零，这样的应力状态称为为空间应力状态（或空间应力状态（或三向应力状态）。三向应力状态）。1=32 2= 23 3= =1=22 2=-=-3 3=-=

11、-3平面应力状态和空间应力状态统称为平面应力状态和空间应力状态统称为复杂复杂应力状态应力状态。2323组合变形如何取单元体组合变形如何取单元体用叠加法用叠加法。mFFmAFFmmmT AFN tWT 横截面横截面横截面横截面7-27-2 平面应力状态分析平面应力状态分析已知一原始单元体如图。已知一原始单元体如图。1.1.求任意斜截面上的应力？求任意斜截面上的应力？2.2.求该点的主应力、主平面的位置（即主方向）？求该点的主应力、主平面的位置（即主方向）？x y x y x y x y 一、求任意斜截面上的应力一、求任意斜截面上的应力斜截面定位：斜截面定位： 用水平方向与斜截面法线的夹角用水平方

12、向与斜截面法线的夹角 来定位。来定位。 正负规定正负规定：由：由水平方向转到斜截水平方向转到斜截 面的法线，面的法线，逆时针转为正，顺时针转为负。逆时针转为正，顺时针转为负。利用截面法来求利用截面法来求 斜斜截面上的应力。截面上的应力。x y x y （三个面上的应力乘以各自的面积所得内力应满足平衡方程）（三个面上的应力乘以各自的面积所得内力应满足平衡方程） dA cosdA sindA 0)()( )()( sinsindAcossindAcoscosdAsincosdAdAyyxx0)()( )()( cossindAsinsindAsincosdAcoscosdAdAyyxxx y x

13、y NT x y x y dA cosdA sindA x y x y x y x y NT 2222sincosxyxyx 222cossinxyx 的的正正负负，及及、注注意意： xyx。基基准准面面上上的的 x二、应力圆二、应力圆 2222sincosxyxyx 222cossinxyx 2222sincosxyxyx 222cossinxyx 222222 sincosxyxyx 22222 cossinxyx222222 sincosxyxyx 22222 cossinxyx222222xyxyx 2222222 xyxyx 相相似似，是是一一个个圆圆的的方方程程与与222Rybx

14、xybR2222222 xyxyx 2yx 222xyx 应力圆应力圆( (莫尔圆）莫尔圆）所有所有 斜截面上的应力组成了应力圆。斜截面上的应力组成了应力圆。 oC 斜截面上的应力斜截面上的应力 和和 应落在应力圆上，不同的应落在应力圆上，不同的 斜截面，所落点的位置不同。斜截面，所落点的位置不同。 x y x y o作应力圆的步骤：作应力圆的步骤：选取坐标系及比例尺，选取坐标系及比例尺，把把( (x, , x) )和和( (y, , y) )放在坐标系中得两点放在坐标系中得两点D1 1、D2 2，连接，连接这两点，连线与这两点，连线与 轴有一交点，以交点为圆心，连线的一轴有一交点，以交点为圆

15、心，连线的一半为半径作圆半为半径作圆应力圆应力圆。 D1( (x, , x) ) D2( (y, , y) )2yx 222xyx x y x y xx yyC应力圆的应用：应力圆的应用：求求 斜斜截面上的应力截面上的应力 , , ? ?在应力圆上找到基准方向，在应力圆上找到基准方向， =0 =0 基准。基准。 =0 =0 由基准向同方向转由基准向同方向转2 得一点，这点所对应的应得一点，这点所对应的应力就是力就是 斜斜截面上的截面上的 , , 。 2 ( ( , , ) )x y x y o D2( (y, , y) )C xx yy D1( (x, , x) ) =0 =0 夹角两倍夹角两

16、倍应力圆上两半径线之间的夹角是单应力圆上两半径线之间的夹角是单元体上两对应平面夹角的两倍。元体上两对应平面夹角的两倍。转向一致转向一致应力圆半径的旋转方向与单元体平应力圆半径的旋转方向与单元体平面法线旋转方向一致。面法线旋转方向一致。点面对应点面对应应力圆上的一个点对应单元体某应力圆上的一个点对应单元体某个面上的正应力和切应力。个面上的正应力和切应力。应力圆和单元体的对应关系应力圆和单元体的对应关系应力圆的应用：应力圆的应用：求求单元体的主单元体的主应力应力1 、 2 、3? ?主主应力应力: : =0=0的面上的正应力的面上的正应力 。应力圆与应力圆与 轴相交轴相交的的A、B两两点上点上 =

17、0=0，x y x y 所以所以A、B两两点所对应的正应力即为该点处的主应力。点所对应的正应力即为该点处的主应力。 D1( (x, , x) ) o D2( (y, , y) ) xx yy =0 =0 CAB应力圆的应用：应力圆的应用：求求单元体的主单元体的主应力应力1 、 2 、3? ?x y x y D1( (x, , x) ) o D2( (y, , y) ) xx yy =0 =0 CAB按代数值排队：按代数值排队：OA 1 OB 2 03 测量其长度乘以相应的比例尺即可。测量其长度乘以相应的比例尺即可。应力圆的应用：应力圆的应用： D1( (x, , x) ) o D2( (y,

18、, y) ) xx yy =0 =0 CAB求求单元体的主平面位置（主方向）单元体的主平面位置（主方向）? ?所以所以A、B两两点在单元体上所对应的两个面就是主平面。点在单元体上所对应的两个面就是主平面。A、B两两点所对应的正应力为该点处的主应力。点所对应的正应力为该点处的主应力。02 测量出测量出2 0 0的大小可得主方向的大小可得主方向 0 0= = 。由基准转到由基准转到A点得一个主平面点得一个主平面x y x y 应力圆的应用：应力圆的应用：画画主单元体主单元体x y x y 主方向主方向 0 0已测量出，在单元体上同方向转已测量出，在单元体上同方向转 0 0即可。即可。 =0 =0

19、0 1 2 D1( (x, , x) ) o D2( (y, , y) ) xx yy =0 =0 CAB02 从应力圆分析主应力和主方向的计算公式：从应力圆分析主应力和主方向的计算公式：A、B两两点所对应的正应力为该点处的主应力，也是该点处所点所对应的正应力为该点处的主应力，也是该点处所有有 斜截面上正应力的最大值及最小值。斜截面上正应力的最大值及最小值。x y x y ( ( , , ) ) 2222xyx D1( (x, , x) ) o D2( (y, , y) ) xx yy =0 =0 C2yx BAx y x y 2222xyxyxmax 2222xyxyxmin yxxtan

20、220 ( ( , , ) ) 2222xyx D1( (x, , x) ) o D2( (y, , y) ) xx yy =0 =0 C2yx BA02 x y x y 1.1.求任意斜截面上的应力？求任意斜截面上的应力？2.2.求主应力、主平面（主方向）？求主应力、主平面（主方向）？小结：小结： 解析法解析法求求 斜截面上的应力斜截面上的应力 2222sincosxyxyx 222cossinxyx 3.3.画主单元体画主单元体x y x y 2222xyxyxmax 2222xyxyxmin 1.1.求任意斜截面上的应力？求任意斜截面上的应力？2.2.求主应力、主平面（主方向）？求主应力

21、、主平面（主方向）？ 解析法解析法求主应力求主应力最大和最小值求出后按代数值排队即可得主应力。最大和最小值求出后按代数值排队即可得主应力。3.3.画主单元体画主单元体x y x y yxxtan 2201.1.求任意斜截面上的应力？求任意斜截面上的应力？2.2.求主应力、主平面（主方向）？求主应力、主平面（主方向）？ 解析法解析法求主平面（主方向）求主平面（主方向）3.3.画主单元体画主单元体画主单元体画主单元体主方向主方向 0 0求出后，求出后，在单元体上转在单元体上转 0 0即可得即可得主单元体主单元体。x y x y 1.1.求任意斜截面上的应力？求任意斜截面上的应力？2.2.求主应力、

22、主平面（主方向）？求主应力、主平面（主方向）？ 图解法图解法3.3.画主单元体画主单元体按作应力圆的步骤画出应力圆按作应力圆的步骤画出应力圆 2x y x y o D1( (x, , x) ) D2( (y, , y) ) xx yyC求求 斜截面上的应力斜截面上的应力 , , =0 =0 ( ( , , ) )在应力圆上直接量取在应力圆上直接量取 = = ， = =求主应力求主应力AB OA1 OB2 03 x y x y 2 o D1( (x, , x) ) D2( (y, , y) ) xx yyC =0 =0 ( ( , , ) )AB求主方向求主方向02 在应力圆上测量出在应力圆上测

23、量出2 0 0的大小可得主方向的大小可得主方向 0 0 。 0 0 =-=-画主单元体画主单元体主方向主方向 0 0求出，求出，在单元体上同方向转在单元体上同方向转 0 0即可得即可得主单元体主单元体。 =0 =0 1 2 0 例例1. 1. 单元体如图所示，（单元体如图所示，（1 1）求指定斜截面上的应力；）求指定斜截面上的应力； （2 2）求主应力及主方向；（）求主应力及主方向；（3 3）画主单元体。）画主单元体。45MPa60 MPa40MPa80 ，已已知知：xyx)(MPa80406045 解析法解析法45MPa60 MPa40MPa80 ，已已知知：xyx)MPa(80406045

24、 解析法解析法求求 斜截面上的应力斜截面上的应力 , , 222245 sincosxyxyx 22245cossinxyx 80452604522408024080MPasin)(cos MPacos)(sin604526045224080 45MPa60 MPa40MPa80 ，已已知知：xyx)MPa(80406045 解析法解析法2222xyxyxmax 求主应力求主应力1 、 2 、32222xyxyxmin .MPa,MPa65 0 105 321 105602408024080 22MPa)( MPa)(6560240802408022 45MPa60 MPa40MPa80 ，已

25、已知知：xyx)MPa(80406045 解析法解析法yxxtan 220求主方向求主方向 0 0画主单元体画主单元体522 452 00. 804060 =0 =0 5220. 3 1 切应力的挤出方向作用有切应力的挤出方向作用有max.MPa,MPa65 0 105 321 14080602 )(45MPa60 MPa40MPa80 ，已已知知：xyx)MPa(80406045 图解法图解法作应力圆作应力圆 D1( (8080, ,-60-60) ) D2( (- -4040,60),60) o D1( (8080, ,-60-60) ) D2( (- -4040,60),60)C90)M

26、Pa(80406045作应力圆作应力圆 D1( (8080, ,-60-60) ) D2( (- -4040,60),60) o D1( (8080, ,-60-60) ) D2( (- -4040,60),60)C求求4545o o 斜截面上的应力斜截面上的应力 =0 =0 =0 =0 45( ( , , ) ).MPa,MPa60 804545 求主应力求主应力MPaOA1051 MPaOB643 02 AB求主方向求主方向02 522 452 00. 量量得得)MPa(80406045 =0 =0 4590 D1( (8080, ,-60-60) ) D2( (- -4040,60),6

27、0) o D1( (8080, ,-60-60) ) D2( (- -4040,60),60)C =0 =0 ( ( , , ) )AB02 5220. 画主单元体画主单元体804060 =0 =0 5220. 3 1 例例2. 2. 单元体如图所示，求主应力及主方向单元体如图所示，求主应力及主方向, ,画主单元体。画主单元体。 。，已已知知： xyx0 222222 22xyxyxmax 222222 22 xyxyxmin02 22122 max22322 min 解析法解析法 。，已已知知： xyx0 解析法解析法 2220 yxxtan2 2 00 o D1( (, , ) ) 图解法

28、图解法 D2( (0,-,- ) ) - D1( (, , ) ) D2( (0,-,- ) )CAB OA1 OB3 02 =0 =0 02 0 0 = = =0 =0 0 3 1 例例3. 3. 单元体如图所示，求主应力及主方向单元体如图所示，求主应力及主方向, ,画主单元体。画主单元体。 。，已已知知： xyx00 2222xyxyxmax 2222xyxyxmin,02 ,max 1 min3 解析法解析法 yxxtan 22045 902 00 =0 =0 450 3 1。，已已知知： xyx00 图解法图解法 D1( (0, , ) ) D2( (0,-,- ) ) o D1( (

29、0, , ) ) D2( (0,-,- ) )CAB OA1 OB302 =0 =0 02 45 902 00 =0 =0 450 3 1 分析圆轴扭转时斜截面上的应力：分析圆轴扭转时斜截面上的应力： mmmT tWT 横截面横截面 =0 =0 450 3 1结论：圆轴扭转时结论：圆轴扭转时4545斜截面上有最大的拉应力。斜截面上有最大的拉应力。 铸铁圆轴扭转铸铁圆轴扭转：沿：沿4545螺旋螺旋面破坏，是被拉断的，面破坏，是被拉断的， 因为此斜截面上有最大的拉应力。因为此斜截面上有最大的拉应力。 铸铁圆轴扭转破坏：铸铁圆轴扭转破坏： mm 横截面横截面 =0 =0 450 3 1问：问：沿哪个

30、沿哪个螺旋螺旋面破坏？面破坏？mm 横截面横截面 =0 =0 450 问：问：沿哪个沿哪个螺旋螺旋面破坏？面破坏？ 1 3例例4. 4. 单元体如图所示，求主应力及主方向单元体如图所示，求主应力及主方向, ,画主单元体。画主单元体。.MPa10MPa10MPa10 xyx，已已知知：)(MPa101010 解析法解析法 MPaxyxyxmax20102101021010 222222 ,02 ,MPamax201 03 0102101021010 222222 xyxyxmin )(MPa101010 解析法解析法 yxxtan 22045 902 00 .xyxMPa10MPa10MPa10

31、 ，已已知知：,02 ,MPamax201 03 =0 =0 450 MPa201 )(MPa101010 图解法图解法.xyxMPa10MPa10MPa10 ，已已知知： D1(1(10 0, ,-10-10) ) D2( (1010, , 1010) ) D1(1(10 0, ,-10-10) ) D2( (1010, , 1010) ) o10101020CABMPaOA201 02 OB 03 =0 =0 02 45 902 00 =0 =0 450 MPa201 02 22122 22322 比较三个单元体的应力状态比较三个单元体的应力状态 )(MPa101010,02 ,MPa20

32、1 03 ,02 , 1 3单向应力状态单向应力状态二向应力状态二向应力状态 =0 =0 0 3 1 =0 =0 450 3 1450 MPa201 )(MPa101010,02 ,MPa201 03 单向应力状态单向应力状态 ,02 21 03 21 21 7-37-3 空间应力状态分析空间应力状态分析已知一点的主单元体：已知一点的主单元体：求斜截面上的应力求斜截面上的应力 , , ？1 2 3 由弹性力学分析得：由弹性力学分析得：323222121 coscoscos 2322322221221 coscoscos其中其中 1、 2 、 3分别是斜截面法线分别是斜截面法线与与1、 2 、

33、3的夹角。的夹角。分析一特殊斜截面分析一特殊斜截面( (与与3平行）上的应力平行）上的应力 , , ？1 2 3 在静力平衡时，前后两在静力平衡时，前后两面的合力相互抵消，所面的合力相互抵消，所以斜截面上的应力以斜截面上的应力 , , 与与 3无关，它上面的应无关，它上面的应力所确定的点应落在由力所确定的点应落在由1、 2所画的应力圆上。所画的应力圆上。1 2 3 3 此斜截面法线与此斜截面法线与3的夹角的夹角 3是是90。323222121 coscoscos 2322322221221 coscoscos1 2 3 1 2 3 3 已知已知1、 2 ，画应力圆。，画应力圆。 o123C(

34、(与与2平行的斜截面）平行的斜截面）( (其应力其应力与与 2无关）无关）C( (与与1平行的斜截面）平行的斜截面）( (其应力其应力与与 1无关）无关）C三向应力圆三向应力圆 o123CCC1 2 3 三向应力圆三向应力圆三向应力圆完整的描述了一点从三向应力圆完整的描述了一点从空间来说所有方向上的应力情况。空间来说所有方向上的应力情况。1 2 3 ( (与与1 、2、 3都不平行的斜截面都不平行的斜截面上的应力是落在由三个圆所形成上的应力是落在由三个圆所形成的阴影区域内。）的阴影区域内。） o123CCC( (与与1 、2、 3都不平行的斜截面都不平行的斜截面上的应力是落在由三个圆所形成上的

35、应力是落在由三个圆所形成的阴影区域内。）的阴影区域内。）1 2 3 o123CCC1 2 3 分析一点所有方向上分析一点所有方向上与与 的最大值的最大值1 maxmax 231 max作用平面与作用平面与2平行，平行，与与1的夹角是的夹角是4545。上两式同时适用于单向应力状态和二向应力状态。上两式同时适用于单向应力状态和二向应力状态。1 2 3 1 max o123CCCmax 231 max最大最大 作用面上作用面上 恒等于恒等于0 0。最大最大 作用面上作用面上不等于不等于0 0。但有可能为但有可能为0 0。 纯剪应力状态：纯剪应力状态： 3 1 1 302 o123三向应力圆三向应力圆

36、 max max最大最大 作用面上作用面上 就等于就等于0 0。 max例例5. 5. 单元体如图所示，求主应力及最大切应力。单元体如图所示，求主应力及最大切应力。6060202020204040)(MPaMPa.60MPa20 MPa40MPa20 zxyx ，已已知知： 解析法（叠加法）解析法（叠加法）20202020404060606060202020204040)(MPaMPa.60MPa20MPa40MPa20 zxyx ，已已知知：2020202040406060 MPa.xyxyxmax452202402024020 222222 ,MPa.4522 ,MPa601 .MPa.6

37、73 MPa.xyxyxmin67202402024020 222222 MPa.max22626760231 6060202020204040)(MPa 图解法（叠加法）图解法（叠加法）2020202040406060MPa.60MPa20MPa40MPa20 zxyx ，已已知知： o D1( (2020, ,-20-20) ) D2( (4040,20),20)6060ABCMPaOA 522 MPaOB83 MPa601 max MPamax26 7-47-4 应力与应变间的关系应力与应变间的关系 一、广义胡克定律一、广义胡克定律 E G 适用于单向拉压应力状态适用于单向拉压应力状态

38、适用于纯剪应力状态适用于纯剪应力状态 xzyx x xy单向应力状态下：单向应力状态下： 得得由由 E xxE Exx Exxy Exxz x xzxzy纯剪应力状态下：纯剪应力状态下： xy yx xyxyG Gxyxy xzyyz zy Gyzyz yzyzG xzyzx xz Gzxzx zxzxG 三向主应力状态下三向主应力状态下应力与应变间的关系应力与应变间的关系： 1321 2 3 求求沿沿1、2 、3方向方向的线应变的线应变1、2 、3？1321 1323 1322 11E 21E 31E （叠加法）（叠加法）132123132113231322 11E 21E 31E )(13

39、211111 E同理：同理： )(13122 E )(12133 E )(13211 E广义胡克定律广义胡克定律 （由主应力表示的）（由主应力表示的） 注意：注意：广义胡克定律的使用条件广义胡克定律的使用条件：b.b.各向同性材料各向同性材料, ,a.a.应力不超过比例极限，应力不超过比例极限，c.c.小变形。小变形。1、 2 、 3要代入正负号计算。要代入正负号计算。 1、 2 、 3分别与分别与1、 2 、 3方向一致，叫主应变。方向一致，叫主应变。1 2 3 如果三个主应力中有一个为如果三个主应力中有一个为0，应力为，应力为0的方向应变的方向应变不一定为不一定为0。比如：比如：10，2

40、0， 3=0=0。 0)(01213 E有无可能为有无可能为0？xzyzxxzyzzyxyyxxzy单元体应力状态如图：（不是主单元体）单元体应力状态如图：（不是主单元体） 问问x、y、z方向的线应变方向的线应变x、y 、z？由弹性力学分析得：由弹性力学分析得： )(1zxyyE )(1yxzzE )(1zyxxE 说明：线应变与切应力无关。说明：线应变与切应力无关。广广义义胡胡克克定定律律 Gxyxy Gyzyz Gzxzx 广义胡克定律广义胡克定律 二、体积变形二、体积变形 cba有一主单元体：有一主单元体：1 2 3 受力前：受力前：V=abc受力后各方向有了变形：受力后各方向有了变形：

41、)()()(ccbbaaV ccbbaa321 ，)()()(ccbbaaV )()()(321ccbbaaV )1()1()1(321 abcV)1(321313221321 abc高阶微量略去不计高阶微量略去不计)1(321 abc单位体积的体积改变量：单位体积的体积改变量： 体积应变体积应变受力前：受力前：V=abccba123受力后：受力后：)1(321 abcVabcabcabcVVV )1(321 321 13122)(E 12133)(E 13211)(E 体积应变体积应变: :cba123)(21321321 E换成应力表达式换成应力表达式: :改写成改写成: :3)()21(

42、3321 E令令: :kE )21(3 体积弹性模量，量纲与体积弹性模量，量纲与E一致。一致。m 3)(321三个主应力的平均值三个主应力的平均值km E 类类似似体积应变只与三个主应力之和有关，而与它们之体积应变只与三个主应力之和有关，而与它们之间的比例无关。间的比例无关。结论结论: :3)()21(3321 E三个主应力之和为三个主应力之和为0 0，则体积应变，则体积应变 =0=0，无体积，无体积改变。纯剪应力状态体积不改变。改变。纯剪应力状态体积不改变。 , 1 3, 02 3 10321 0 纯剪应力状态体积不改变，纯剪应力状态体积不改变， 0但有形状的改变。但有形状的改变。两单元体如

43、图所示：两单元体如图所示：结论结论: :3)()21(3321 E3)(321 m三向等值应力状态就是形状不变的。三向等值应力状态就是形状不变的。两个单元体的体积应变相等，两个单元体的体积应变相等， a= = b b 。1 2 3 )(am m m )(b在（在（b）单元体上：）单元体上：mE 21321 因此，变形前三条棱边的某种比例，变形后各棱边仍保持因此，变形前三条棱边的某种比例，变形后各棱边仍保持此比例，单元体的形状与变形前相似，称这种情况是此比例，单元体的形状与变形前相似，称这种情况是形状形状不变的。不变的。三向等值应力状态形状不变三向等值应力状态形状不变, ,但有体积的改变。但有体

44、积的改变。1 2 3 m m m 一般的应力状态，既有体积的改变，一般的应力状态，既有体积的改变，又有形状的改变。又有形状的改变。纯剪应力状态体积不改变，纯剪应力状态体积不改变，但有形状的改变。但有形状的改变。 7-57-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度 弹性变形能弹性变形能：变形固体处于弹性阶段，可视为弹性体，它变形固体处于弹性阶段，可视为弹性体，它在外力作用下产生变形时，其内部就储存有能量，外力拆除时，在外力作用下产生变形时，其内部就储存有能量，外力拆除时，变形消失，能量也同时释放出来。变形消失，能量也同时释放出来。伴随弹性变形而储存的能量称为伴随弹性变形而储存的能

45、量称为弹性变形能弹性变形能。一、简单应力状态下的弹性变形能一、简单应力状态下的弹性变形能AlFllFlF拉力：拉力：0F变形：变形：0lAlFllFlF拉力：拉力：0F变形：变形：0l外力外力F在变形在变形l上所做的功上所做的功在数值上等于斜直线下的面积。在数值上等于斜直线下的面积。FlFW21 杆端下降，载荷所损失的位能在数值上等于它所做的功，据杆端下降，载荷所损失的位能在数值上等于它所做的功，据能量守恒定理，杆件所获得的变形能等于载荷所损失的位能，这能量守恒定理，杆件所获得的变形能等于载荷所损失的位能，这样，样，拉杆所获得的弹性变形能在数值上等于载荷所做的功拉杆所获得的弹性变形能在数值上等

46、于载荷所做的功。lFWU21 拉杆的弹性变形能拉杆的弹性变形能变力功变力功AlFl拉伸过程中，各点的应力状态是拉伸过程中，各点的应力状态是一样的，都属于单向应力状态。一样的，都属于单向应力状态。FlFWU 21 拉杆的弹性变形能拉杆的弹性变形能 长度长度力力量纲：量纲：U 。焦耳焦耳焦耳。焦耳。常用单位：常用单位：m1N1 任何一点的单位体积所储存的弹性变形能应是一样的。任何一点的单位体积所储存的弹性变形能应是一样的。单位体积所储存的弹性变形能：单位体积所储存的弹性变形能：EAllFVUu221212 应变能密度（比能）应变能密度（比能）33m/mN 。米米焦耳焦耳的常用单位：的常用单位：/u

47、 21 u换成应力表达式：换成应力表达式：单向应力状态下的单向应力状态下的应变能密度：应变能密度：二、三向应力状态下的二、三向应力状态下的应变能密度应变能密度132332211212121 u )(13122 E )(12133 E )(13211 E ）（313221222221221 EuEEEu222222221 Eu2 2 或或变形能不能用叠加法变形能不能用叠加法三向等值应力状态形状不变三向等值应力状态形状不变, ,只有体积的改变。只有体积的改变。123mmm一般的应力状态，既有体积的改变，一般的应力状态，既有体积的改变，又有形状的改变。又有形状的改变。 回顾回顾: :纯剪应力状态体积

48、不改变，纯剪应力状态体积不改变，只有形状的改变。只有形状的改变。123单元体的变形一方面表现在体积的增减，单元体的变形一方面表现在体积的增减，另一方面表现在形状的改变。另一方面表现在形状的改变。应变能密度（比能）就是由两部分所组成应变能密度（比能）就是由两部分所组成duuuV 总总的的应应变变能能密密度度u体体积积改改变变能能密密度度Vu形形状状改改变变能能密密度度du 已已知知）（ 313221222221221 Eu？下下面面计计算算 d uuV1 3 2 =3)(321 mm m m ）（am1m3m2）（b(a)(a)单元体：三向等值应力状态，形状不变单元体：三向等值应力状态，形状不变

49、, ,只有体积的改变。只有体积的改变。此时，应变能只用来改变此时，应变能只用来改变体积。体积。mmmmmm212121 Vuu2321621）（ EuV )(1mmmm E此时，应变能只用来改变此时，应变能只用来改变形状。形状。(b)(b)单元体：单元体： 无无体积改变，只有体积改变，只有形状的改变。形状的改变。 0， 体体积积改改变变能能密密度度132=3)(321 mm m m ）（am1 m3 m2 ）（b2321621）（ EuV 2221313221222221)(621221 EEuV）（Vuuu d ）（313221222221221 Eu 213232221d61）（）（）（

50、Eu形形状状改改变变能能密密度度7-67-6 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力 一、强度理论的概念一、强度理论的概念 强度条件的建立强度条件的建立:是用是用模拟的方法模拟的方法建立的建立的 在单向应力状态下：在单向应力状态下：( (处理相同的构件，根据实验结果来建立强度条件。）处理相同的构件，根据实验结果来建立强度条件。）没有考虑材料破坏的原因。没有考虑材料破坏的原因。123 在复杂应力状态下：在复杂应力状态下：（很难做模拟实验）（很难做模拟实验） 这样，我们就这样，我们就不做模拟实验不做模拟实验，而是要找出而是要找出材料破坏的正真原因材料破坏的正真原因。123关于材料破坏原因的假设关

51、于材料破坏原因的假设强度理论强度理论这样，就有了一些：这样，就有了一些：提出强度理论的提出强度理论的目的目的： 根据单向应力状态下的实验所获得的材料的极根据单向应力状态下的实验所获得的材料的极限应力，再联系复杂应力状态下构件破坏的现象来限应力，再联系复杂应力状态下构件破坏的现象来推测处于复杂应力状态下材料的破坏准则，从而建推测处于复杂应力状态下材料的破坏准则，从而建立强度条件。立强度条件。（1 1）塑性屈服破坏：由切应力引起。）塑性屈服破坏：由切应力引起。 最大拉应力最大拉应力 tmax是引起材料断裂破坏的主要因是引起材料断裂破坏的主要因素。也就是认为，不论是在简单应力状态或者是复素。也就是认

52、为，不论是在简单应力状态或者是复杂应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力杂应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力1达到了在轴向拉伸时材料的极限应力达到了在轴向拉伸时材料的极限应力o，材料就要，材料就要发生断裂破坏。发生断裂破坏。（2 2）脆性断裂破坏：由拉应力引起。）脆性断裂破坏：由拉应力引起。二、常用的四个强度理论二、常用的四个强度理论 1.1.最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 在静载荷和室温条件下，材料有两种破坏形式在静载荷和室温条件下，材料有两种破坏形式: : 破坏条件：破坏条件：01 b0 破坏条件：破坏条件：1max t强度条件：强度条件： 1 bbn

53、 铸铁压缩破坏铸铁压缩破坏：01 第一强度理论无法解释第一强度理论无法解释 123b 破坏条件破坏条件b1 适用范围适用范围：脆性材料单向、二向、三向拉伸应力状态；塑性：脆性材料单向、二向、三向拉伸应力状态；塑性材料三向拉伸（值相近）应力状态。材料三向拉伸（值相近）应力状态。01 最大伸长线应变最大伸长线应变max （即（即1）是引起材料断裂破）是引起材料断裂破坏的主要因素。也就是认为，不论材料处于何种应坏的主要因素。也就是认为，不论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大伸长线应变力状态，只要危险点处的最大伸长线应变1达到了在达到了在单向应力状态下的材料的极限应变值单向应力状态下的材料的极限

54、应变值0 ，材料就要，材料就要发生断裂破坏。发生断裂破坏。2.2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变理论（第二强度理论） 破坏条件：破坏条件：01 123b 破坏条件破坏条件Eb0 破坏条件：破坏条件： )(13211 E )( b321 强度条件：强度条件： bbn )(321 123b 破坏条件破坏条件适用范围适用范围：极少数脆性材料特殊应力状态适用，故很少应用。：极少数脆性材料特殊应力状态适用，故很少应用。01 最大切应力最大切应力max是引起材料屈服破坏的主要因素。是引起材料屈服破坏的主要因素。也就是认为，不论材料处于何种应力状态，只要危也就是认为，不论材料处于何种应力状

55、态，只要危险点处的最大切应力险点处的最大切应力max达到了在单向应力状态下的达到了在单向应力状态下的材料的极限切应力值材料的极限切应力值s ，材料就要发生屈服破坏。，材料就要发生屈服破坏。3.3.最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论） 屈服条件：屈服条件：smax 123s 屈服条件屈服条件2smaxs 屈服条件：屈服条件： 231max s31 强度条件：强度条件： ssn 31 smax 123s 屈服条件屈服条件适用范围适用范围：塑性材料大多数应力状态。（没有考虑：塑性材料大多数应力状态。（没有考虑2的影响，的影响，偏于安全）偏于安全）031 形状改变能密度形状改变

56、能密度ud d是引起材料屈服破坏的主要因是引起材料屈服破坏的主要因素。即不论材料处于何种应力状态，只要危险点处素。即不论材料处于何种应力状态，只要危险点处的形状改变能密度的形状改变能密度ud达到了单向应力状态下的形状改达到了单向应力状态下的形状改变能密度极限值，材料就要发生屈服破坏。变能密度极限值，材料就要发生屈服破坏。4.4.形状改变能密度理论（第四强度理论）形状改变能密度理论（第四强度理论） 屈服条件：屈服条件：0dduu 213232221d61）（）（）（ Eu单向应力状态单向应力状态二向应力状态二向应力状态123s 屈服条件屈服条件屈服条件：屈服条件：)2(612s0d Eu 213

57、232221d61）（）（）（ Eu0032s1 123s 屈服条件屈服条件0dduu 强度条件：强度条件： ssn s21323222121 ）（）（）（ 21323222121 ）（）（）（适用范围适用范围：塑性材料，比第三强度理论更符合试验结果。：塑性材料，比第三强度理论更符合试验结果。三、相当应力三、相当应力 把不等式左边按不同强度理论所得的主应力把不等式左边按不同强度理论所得的主应力综合值叫综合值叫相当应力相当应力。用。用r 表示。表示。 1r1 )(321r2 31r3 213232221r421 ）（）（）（ 强度条件写成统一形式：强度条件写成统一形式： r7-77-7 各种强度理论的应用各种强度理论的应用 一、四个强度理论的应用一、四个强度理论的应用 1.1.四个强度理论均仅用于常温、静荷载条件下的均四个强度理论均仅用于常温、静荷载条件下的均质、连续、各向同性的材料。质、连续、各向同性的材料。 2.2.对于脆性材料，常因脆性断裂而破坏，应采用第对于脆性材料，常因脆性断裂而破坏，应采用第一、第二强度理论。对于塑性材料，常因塑性屈一、第二强度理论。对于