常微分方程期末试题答案

1、精品资料欢迎下载一、填空题（每空2 分，共16 分）。1、方程 dyx 2y 2 满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy 平面dx2. 方程组 dYF (x,Y ), xR, YRn 的任何一个解的图象是n+1维dx空间中的一条积分曲线 .3 fy(x,y) 连续是保证方程dyf( ,) 初值唯一的充分条件dxx ydxydt4方程组的奇点 (0, 0) 的类型是中心dyxdt5方程 yxy1( y ) 2 的通解是 y Cx1 C 2226变量可分离方程Mx Ny dxp x q y dy10 的积分因子是N y P x7二阶线性齐次微分方程的两个解y1 ( x) , y2 ( x) 成为

2、其基本解组的充要条件是 线性无关8方程 y4 y4 y0 的基本解组是 e 2 x , xe 2x二、选择题（每小题3 分，共 15 分）。9一阶线性微分方程dyq( x) 的积分因子是（A）p(x) ydx（ A ）p (x )dxeq( x)dx（ C）ep (x) dx（ D ）eq ( x) dxe（ B ）10微分方程 y ln ydx(xln y)dy0是（ B）（ A ）可分离变量方程（ B）线性方程（ C）全微分方程（ D）贝努利方程11方程 x(y21)dx+y (x21)dy=0 的所有常数解是（C）(A) x1(B) y1( C) y1,x1(D) y 1 ,x 112

3、n 阶线性非齐次微分方程的所有解（D ）精品资料欢迎下载（ A ）构成一个线性空间（ B）构成一个 n1 维线性空间（ C）构成一个 n1维线性空间（ D ）不能构成一个线性空间13方程 yy2x 22 （ D）奇解（ A ）有一个（ B ）有无数个（C）只有两个（ D）无三、计算题（每小题8 分，共48 分）。14求方程dy 2xyy 2的通解dxx 2解：令 yu ，则dyu x dy ，于是， duu u 2, uCxxdxdxdxx1u所以原方程的通解为yCx 2, yx15求方程 y dx1 Cx( y3ln x)dy0 的通解xy解：取N x yy3xM x, yx,ln1则 M

4、yx, yN xx, y，于是原方程为全微分方程x所以原方程的通解为xyy3dyCdxy1 y 41x1即 y ln xC4116求方程 y ( y )2xy2的通解2x解 : 令 yp ，得到 yp 2xpx 2（ * ），两端同时关于求导，2整理得2 p xdp10 ，则dx取 2 px0 ,得px,代入（ * ） 得解yx 224取 dp10 ,得 pxC ,代入（ * ）得原方程得通解为dxx2CxCx2y2精品资料欢迎下载17求方程 y3y e5 x 的通解解 对应的齐次方程的特征方程为230 ，特征根为10，2 3故齐次方程的通解为yC1C 2e3 x因为5 不是特征根。所以，设非

5、齐次方程的特解为y1 ( x)Ae5x代入原方程，得25 Ae5 x15 Ae5 xe5 x即 A1，101 e5 x故原方程的通解为yC1C2e3x1018求方程 yy2 y ex (cos x7sin x) 的通解解：先求解对应的其次方程：yy2 y0 ，则有，22 0,11 , 22 ; y C1exC 2e 2x因为数i1i 不是特征根，故原方程具有形如y1exA cos xB sin x的特解。将上式代入原方程，由于y1exAxBxc o ss i ny1exA B cos xBA sin xy1ex2B cos x2A sin x故 yy 2 yex2B cos x2 Asin x

6、exA B cos x B A sin x2ex A cos x B sin xexcos x 7 sin x或 3B A c o sxB 3A s i nx c o sx 7 s i nx精品资料欢迎下载比较上述等式两端的cos x, sin x 的系数，可得A3B1 ,3AB7因此， A2 , B1 .故 y1ex2cos x1sin x所求通解为 yex2 cos x1sin xC1exC 2ex19求方程组 dY35Y 的实基本解组53dx3535i ，那么解：方程组的特征多项式为5，其特征根是1,23属于1 的特征向量i，11属于2 的特征向量21。i则方程的基本解组为1xie 35

7、ixe 3 5ix，e 3ie 35ix5ix其实基本解组为1x11 0。i111i1而1 011i1i2因此所求实基本解组为x1x1101ie 35 ixe 35ixi1e3t cos5xe3tsin 5x2e 35ixie 3 5i x1ie3tsin 5xe3 tcos5x四、应用题（每小题11 分，共11 分）。20（ 1）求函数 f (t)eat的拉普拉斯变换（ 2）求初值问题x3x2x2e3t的解x(0)0, x (0)0精品资料欢迎下载解：（ 1）eatesteatdtes a tdt1es a t1, s as0s0aa, s a（ 2）设x tXs， x t是已知初值问题的解

8、。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换，可分别得到x 3x 2xx3 x 2 x X s s23s 2 X s s23s 2X ss1 s2 ;2e3t2 e3t2s3故有X s2s 1s2s3使用部分分式法，可得X s121s 1s2s 3由（ 1）可知，et1;e2 t1;e3t13s1s 2s故所求的初值解为x tet2e2te3 t。得分评卷教师五、证明题（每小题10 分，共10 分）。21证明：对任意x0 及满足条件 0y0 1 的 y0 ，方程dyy( y1)的满足条件y( x0 )y0 的解 yy(x) 在dx1 x2y2(,) 上存在。证： 由于y( y1)f ( x, y)2y 21 xf y ( x, y)(2 y 1)(1x 2y 2 ) y( y 1) 2y(1x 2y 2 )2在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件又显然