复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)第六章课后的习题答案-(1)

1、精品资料欢迎下载习题六1. 求映射 w 1 下，下列曲线的像 . z(1) x2y2ax(a0 ，为实数 )解： w112x22y2 i= u+i vzxi yxyxyuxy2x1 ,x2axa所以 w1将 x2y2ax 映成直线 u1.za(2) y kx. ( k 为实数 )解：w1xy2 izx2y2x2yuxvykx222222xyxyxyvku故 w1 将 ykx 映成直线 vku .z2. 下列区域在指定的映射下映成什么？（ 1） Im( z)0,w(1i) z ；解： w(1i)( xiy)(xy)i( x+y)u x y, v x y.u v2 y 0.所以 Im( w)Re(

2、w) .故 w(1i)z 将 Im( z)0, 映成 Im( w)Re(w) .(2) Re(z)>0. 0<Im(z)<1,wi.z解：设= +iy,x>0,0<y<1.zxiii( xi y)yxwz x iyx2y2x2y2x2y2 iRe( w)>0. Im(w)>0.若 w=u+i v, 则yu2 , xvu2vu2v2因为 0<y<1, 则 0u2uv21,(u1) 2v2122故wi将 Re(z)>0, 0<Im(z)<1. 映为zRe(w)>0,Im(w)>0,w11( 以（1,0 ）为圆

3、心、1 为半径的圆 )2222精品资料欢迎下载3. 求 w=z2 在 z=i 处的伸缩率和旋转角， 问 w=z2 将经过点 z=i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成 w平面上哪一个方向？并作图 .解：因为w=2, 所以w(i)=2i, |w|=2,旋转角 argw= .z2于是 ,经过点 i且平行实轴正向的向量映成w平面上过点 -1，且方向垂直向上的向量. 如图所示 .4.一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w=z2 在z 平面上每一点都具有这个性质吗？答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w=z2在 z=0 处导数为零

4、，所以在z=0 处不具备这个性质.5.求将区域0<x<1 变为本身的整体线性质变换wz的一般形式 .6. 试求所有使点 1不动的分式线性变换 .解：设所求分式线性变换为wazb ( ad- bc 0) 由 11 . 得czdabd1b a ccd因为 w即 w1a( z1)cd ,czda(z1)c( z1) ,czd由 11 代入上式，得 2 2 aca d .cddc因此 w1( z1)( zczd令 d q ，得 cw1(z 1)(1 q) / (z q)w1(z 1)(1 q) / (z q) 2d1c1)dzc(z1)(1q)a z1( z1)( q1)z1其中 a 为复

5、数 .反之也成立，故所求分式线性映射为w1az1 ， a 为复数 .w1z17. 若分式线性映射， wazb 将圆周 | z|=1映射成直线则其余数应满足什么条件？czd解：若 wazb 将圆周 | z|=1映成直线，则 zd 映成 w.czdc精品资料欢迎下载而 zd落在单位圆周| z|=1, 所以d1 ,| c|=| d|.cc故系数应满足 ad- bc0, 且 | c|=| d|.8. 试确定映射， w z 1 作用下，下列集合的像 . z 1(1)Re( z)0 ;(2) |z|=2; (3) Im(z)>0.解： (1) Re(z)=0 是虚轴，即z=i y 代入得 .iy1(

6、1i y)21y2w11y21y2iy写成参数方程为u1y2，v2 y1y21 y2消去 y 得，像曲线方程为单位圆, 即u2+v2=1.(2) |z|=2. 是一圆围，令z2ei ,0i2 yy 21,y.2ei12. 代入得 wi化为参数方程 .2e1u3u4sin024cos5 4cos5消去得，像曲线方程为一阿波罗斯圆. 即(u5) 2v2(4)233(3)当 Im( z)>0时，即 w1zIm( w1) 0,w1w1令 w=u+i v 得Im( w1)Im( (u1)iv)2vv20 .w1(u1)i v(u 1)2即 v>0, 故 Im( z)>0 的像为 Im(

7、 w)>0.9. 求出一个将右半平面 Re(z)>0 映射成单位圆 | w|<1 的分式线性变换 .解：设映射将右半平面z0 映射成 w=0，则 z0 关于轴对称点z0 的像为 w，所以所求分式线性变换形式为wkzz0其中 k 为常数 .zz0又因为wkzz0 , 而虚轴上的点z对应 |=1, 不妨设z=0，则zz0wwkzz0| k | 1i(R)zz0k e故 wizz0(Re( z0 )0) .ezz010. 映射 wei1z将 | z | 1 映射成 | w |1, 实数 的几何意义显什么？z解：因为w (z)ei(1 z)( z)()ei1|2(1z) 2(1z)

8、2精品资料欢迎下载从而 w ( ) ei1| |2ei1(1| |2)21| |2所以 argw ()argeiarg (1 |2 )故表示 weizz在单位圆内处的旋转角 arg w () .111.求将上半平面 Im( z)>0,映射成 | w|<1 单位圆的分式线性变换w=f ( z) ，并满足条件(1)f (i)=0,arg f(i) =0; (2)f (1)=1,f (i)=1 .5解：将上半平面 Im(z)>0, 映为单位圆 |<1 的一般分式线性映射为=z(Im( )>0).ww kz(1)由 f(i)=0得=i ，又由 argf (i)0 , 即

9、f (z)ei2i,(z i) 21f (i)i(2)0 ，得e，所以22wizi .zi(2)由 f (1)=1,得 k=1；由 f (i)=1 , 得 k=i联立解得155(i)w3z+(52i) .( 52i) z312.求将 | z|<1映射成 | w|<1的分式线性变换w=f (z)，并满足条件：(1)f ( 21 )=0,f (-1)=1.(2)f ( 21 )=0,arg f( 21),2(3)f ( a)= a, arg f( a).解：将单位圆 | z|<1映成单位圆 | w|<1的分式线性映射，为weizz, |<1.1(1)由 f( 21)=

10、0 ，知1 . 又由 f (-1)=1，知2ei11ei( 1) 1 ei121.12z12z1故 w121zz.22精品资料欢迎下载(2)由 f (21 )=0 ，知1 ，又 wei54z2(2z) 2f(1i4arg f (12 )e32 )，2i2z12z1于是w2).e(zi12z2(3)先求=( z) ，使 z=a0 ， arg(a), 且 | z|<1 映成 | |<1.则可知=( z) = eiz a1a z再求 w=g() ，使=0 w=a,arg g (0)0,且|<1 映成 | w|<1.先求其反函数=( w) , 它使 |w|<1 映为 |&

11、lt;1,w=a 映为 =0，且arg (w)arg(1/ g (0) 0,则= (w) = w a . 1 a w因此，所求w由等式给出 .1w a= eiza.a w1a z13. 求将顶点在0，1，i 的三角形式的内部映射为顶点依次为0，2，1+i的三角形的内部的分式线性映射 .解：直接用交比不变性公式即可求得w 0 1 i 0 = z0 i 0w21i2z2i 1ww. 1i2 =z. i121iz 1i4zw.(i1)z(1i)14.求出将圆环域2<| z|<5映射为圆环域4<| w|<10且使f (5)=-4的分式线性映射.解：因为z=5,-5,-2,2映为

12、w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有25 2525 =25104104104104故 w=f ( z) 应为z5 25 = w4104z525 w4 105精品资料欢迎下载即w4 =z5w20 .w4z5z讨论求得映射是否合乎要求，由于w=f ( z) 将 | z|=2映为 | w|=10 ，且将 z=5 映为 w=-4. 所以| z|>2 映为 | w|<10. 又 w=f ( z) 将 | z|=5 映为 | w|=4 ，将 z=2 映为 w=-10 ，所以将 | z|<5 映为 | w|>4 ，由此确认，此函数合乎要求 .215. 映射 wz2 将 z 平

13、面上的曲线 x1y2 1 映射到 w平面上的什么曲线？24解：略 .16. 映射 w=ez 将下列区域映为什么图形 .(1) 直线网 Re( z)= C1,Im( z)= C2;(2) 带形区域Im( z),0;2(3) 半带形区域Re( z)0,0Im( z),02.解：（ 1） 令 z=x+i y, Re(z)= C ,1= 1+iyw = eC1iy, Im(2z Cez)= C, 则z=x+i Cw = exi C2e2z映成圆周C1；直线 Im( z)= C2 映为射线C2 .故 w = e将直线 Re( z)e（2） 令 z=x+i y，y, 则 w = ezex i yex ei

14、y,y故 w = ez 将带形区域Im( z)映为arg( w)的张角为的角形区域 .（3） 令 z=x+i y， x>0， 0<y<,02. 则w=ezexeiy(x0,0 y)ex1,0 argw故 w = ez 将半带形区域Re(z)>0,0<Im( z)<, 02映为| w|>1,0arg w(02).17. 求将单位圆的外部| z|>1 保形映射为全平面除去线段-1<Re( w)<1,Im(w)=0 的映射 .解：先用映射w11将 | z|>11再用分式线性映射 .z映为 | w|<1,w2iw11 将 | w1

15、|<1映为上半平面Im( w2)>0,然后用幂函数 w3w22 映为有割痕为正w11实轴的全平面，最后用分式线性映射ww3 1 将区域映为有割痕 -1,1的全平面 .w31精品资料欢迎下载i w112w1w 21故 w1w113222w31w21w11i1w111z2111z111.z12(z)12z1z1118. 求出将割去负实轴Re(z)0,Im( z)=0的带形区域2Im( z)2映射为半带形区域Im( w),Re()>0 的映射 .w解：用w1z1；再用 w2 lnw11 将半平面e将区域映为有割痕 (0,1)的右半平面 Re( w)>0w11映为有割痕 (-,-1的单位圆外域；又用w3iw2 将区域映为去上半单位圆内部的上半平面；再用w4ln w3将区域映为半带形0<Im( w4)< ,Re( w4)>0 ；最后用w映为2w4 i所求区域，故wez1lnz.e119. 求将 Im(z)<1 去掉单位圆 | |<1保形映射为上半平面Im( )>0的映射 .zw解：略 .20. 映射 wcos z 将半带形区域 0<Re(z)&l