行列式按一行（列）展开课件

1、引入引入,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 2223113233aaaaa 可见，三级行列式可通过二级行列式来表示可见，三级行列式可通过二级行列式来表示2123123133aaaaa 2123133133aaaaa 一一 余子式、代数余子式余子式、代数余子式定义定义在在 n 级行列式级行列式 中将元素中将元素 所在的所在的ijadet()ija第第 i 行行与第与第 j

2、 列划去，剩下列划去，剩下 个元素按原位置个元素按原位置2(1)n 次序构成一个次序构成一个 级的行列式，级的行列式，1n 111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa称之为元素称之为元素 的的余子式余子式, ,记作记作 ijMija( 1)ijijijAM 令令称称 之为元素之为元素 的的代数余子式代数余子式ijaijA注：注： 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式和代数余子式无关，只与该元素的在行列式中的位置有关无关，只与该元素

3、的在行列式中的位置有关 元素元素 的余子式和代数余子式与的余子式和代数余子式与 的大小的大小ijaija元素除元素除 外都为外都为 0，则，则ija.ijijDa A 1.1.引理引理二二 行列式按行行列式按行(列列)展开法则展开法则若若n 级行列式级行列式 D = 的的 中第中第 i 行所有行所有det()ija证：证： 先证的情形，即先证的情形，即ijnnaa 111,111,11,11,00nnnnnnnnnaaaDaaaa 由行列式的定义，有由行列式的定义，有11211 2()121,( 1)nnnnjjjjnjnjj jjDaaaa 1112111()121,( 1)nnnjjnjj

4、njnnjjnaaaa 111111()11,( 1)nnnjjnnjnjjjaaa 111,11,11,1nnnnnnaaaaa .nnnnaA nnnna M 结论成立。结论成立。一般情形：一般情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111,11,1111,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,1,1( 1)( 1)0000jjnjiijijinijn injiijijinijnn jn jnnnjijaaaa

5、aaaaaaaaaaaaaaaaa ( 1)ijijija M 2()( 1)nijijija M ( 1).ijijijijijaMa A 结论成立。结论成立。111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,1( 1)0000jjjniijijijinn iiijijijinnn jnjn jnnijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2.2.定理定理行列式行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，对应的代数余子式乘积之和，即即1122jjjjnjnjDa Aa Aa A 1122iiiiin

6、inDa Aa Aa A 1nikikka A 1,2,in 1nkjkjka A 1,2,jn 或或行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则证：证： 11121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa 1122iiiiinina Aa Aa A 11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ni, 2 , 1 例例如如. .计算行列式计算行列式 311 2513420111533D 解：解： 11130153D 511 0005 11 51111 1155 0 51162

7、055 0 1 362( 1)55 40 例例如如. .证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式 1232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnaaaaaaaaDaaaaaa 证：用数学归纳法证：用数学归纳法. . 时，时， 211211.aaaa 2n 01 假设对于假设对于 级范德蒙行列式结论成立即级范德蒙行列式结论成立即1n 02结论成立结论成立121222121111222121111()nnnijj i nnnnnaaaaaaDaaaaa 把把 从第从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的行开始，后面一行减去前面一行的nD倍，得倍，得na12122211221

8、11212121122111111000nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaaaDaaaaaaaaa 下证对于下证对于 n 级范德蒙行列式级范德蒙行列式 结论也成立结论也成立.nD1212221112211121212112211( 1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaaaaaaaaaaaa 1212221121121222121111( 1)()()()nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 1212221211212221211 11()()()nnnnnnnnnna aaaaaaaaaaaaaa 1

9、()ijj i naa 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少两个相等中至少两个相等120,nnDa aa 注：注：12111()()()()nnnnijj i naaaaaaaa 1nD 3.3.推论推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,ijijninja Aa Aa Aij 11220,ijijinjna Aa Aa Aij 证证行行展展开开，有有按按第第把把行行列列式式jaDij)det( 11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaa Aa Aa

10、aaa可可得得换换成成把把), 1(nkaaikjk 11111111,niinijinjniinnnnaaaaa Aa Aaaaa行行第第 j行行第第 i相同相同11220,ijijninja Aa Aa Aij 11220.ijijinjna Aa Aa A 当当 时时, ,ij 同理可证同理可证, , 10nikjkkDija Aij 10nkikjkDija Aij 综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：例例如如. .设设 求求 35 211105,1 3132413D 解：解：11121314AAAA 111111051 3132413 4. 和和11213141.MMMM 11121314AAAA 11213141MMMM 11213141AAAA 15211 10513131413 0. 例如例如. .证明：证明： 111111111111111111110000kkrkkkkrkkkrrrrrkrrraaaabbaaccbbaabbccbb 三三 总结总结 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具。式的计算化为低阶行列式计算的重要工具。 ;,0,. 21jijiDDA