“动中求定”的八大策略

1、“动中求定”的八大策略在解析儿何中常常出现求定点、定值、定向、定线等问题，它已经成为当前各省高考试 题中的热点，它不但町以考査学生学握知识的水平，更重耍的是考查学生灵活运用知识的能 力以及解题方法的创新。而学生对此陌生的题型往往束手无策，因此笔者利用多年的教学经 验，对此类问题加以探究，得出一些行z有效的方法策略供以参考。策略一：变量分离解析：对于某些曲线方程随一个或两个变量变化而变化时，如果可以把变量与x、y分离, 则提出变量后再根据恒等式的性质，即可以解得x、y的值，得到定点的坐标。例1 已知动直线(2 + r)兀-(l + k)y-2(3 + 2約=0,求证：点p(2,2倒该动直线的距离

2、 d<4y/2.x-y-4 = 0证明：把直线方程化为：(x-y-4) + (2x-y-6) = 0,令彳 ?,2兀_y _6 = 0解得:x=2,y=-2,即动直线过定点m (2, -2),连pm,则点p(-2z2)到该动直线的距离 d<pm = j(2 2)2+(2 + 2尸=42 0策略二：观察巧代解析：利用条件，经过观察分析，只要满足条件的x,y的值，就是定点的坐标例2. (1)已知实数m,n满足一+ = 1,贝恸直线- + - = 1必过定点m的坐标为 m nm n(2)已知实数p,q满足p + 2g-l = 0,贝恸肓线px + 3y + q = 0恒过定点m的坐标为_

3、略解：(1)只要令x=2zy=l,即得定点m (2, 1)； (2)只要令% = -,则)，=一丄，即得2 6定点 m (,).2 6策略三：设参分离解析：根据题意，设立参数，建立方程，分离参数，即可以求得定点。例3.已知抛物线c:焦点为f,定点p(2,4),动点4,3是抛物线c上的三个 点，h.满足kpa -kpb = 8,试问ab所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由.解:设 a(8rjb(8r22,8r2)(r, r2),则紡人二,kpb = ,因为 kpa 紡= 8 ,1 2 2所以8串2 = 1 4(f +2)，因为kab=一，所以ab的方程：yst.由化简即得：

4、儿+2m +(2（4+q）（y + 4） =兀一 1，令兀=1,贝9y = -4,所以直线ab过定点（1,-4）策略四：巧“特”结论解析：有两种情形：一种利用特殊值探求结论，再验证英充分性；另一种是也先用特殊 值探求结论，后作一般性探求。例4已知椭圆亍討,过左焦点作不垂直与x轴的弦交于椭圆于a、b两点，ab的亚直平分线交x轴于m点,则mf : ab的值为1121a. b. c. d. 2334解：本题为选择题，即知此比值为定值，故可用特殊值法。设ab1jx轴重合吋，m就 是原点，所以ab长为6, mf的长2,故mf：ab=,答案为b。如果不用特殊法解，木题就是一个较难的解答题，同学们不妨一试，

5、可用极坐标方程解较方便，可见在解选择题 时，特殊值法來判断和寻找答案优为重要。i例5已知椭圆方程亍几1,过点s（0,的动直线/交该椭圆于a、b两点，试込 在坐标平而内是否存在一个定点t,使得以ab为肓径的圆恒过定点t,若存在求出t的坐 标；若不存在，请说明理由。解：假设满足条件的t存在。当直线/与x轴平行时,以ab为直径的圆方程为x2 + （y +丄尸=;当直线切轴重合时，以ab为直径的圆方程族+ y-,以上两圆方稈联立解得即mi）是满足条件的必要条件。下而证明其充分性:若存在®）,对过s点不与坐标轴平彳亍的直线设为y “冷（5）,把它代入椭圆方x2+2/-2 = 0,得到:(2k2

6、)x2kx-=0,设人（西，）（兀22），则有2k1肿+9161肿+9因为 ta = (xi,yl-ltb = (x2, y2 -1),ta tb=46+（）'】 j）（，儿 _1）= （1 + p ）斗兀2 -护兀1 + 兀2）+ g-6( + k2412k16l- k- + = 0,所以丄彷,即以ab为直径的圆恒过定点t。其 18疋+93 18 疋+99定点t的坐标为(0, l)o2 ,2例5.已知椭圆二+ 二l(d > b > 0)上任意一点m, q, 5是椭圆短轴的两个端点，作直 ct b线為分别交x轴于p,q两点，求证：op-oq为定值，并求出定值。分析：当动点m

7、在长轴的端点时，则p, q重合于长轴的端点，i大i此opoqa再作一般证明即可得opoq为定值为护。策略五：设参消参解析：为了求得定值，往往需要设立一个或两个参数，如肓线的斜率，动点的坐标等，然后根据条件，寻求所求的值，最后经过消参得到所求的定值。2 2例6 已知a (1, 1)是椭圆卡+卡= l(a>b>0)上的一点,片迅是椭圆的两个焦点, 且满足 |afj+|a| = 4.(1) 求椭圆的方程(2) 设点b、c是椭圆上的两个动点，且直线ab、ac的倾斜角互补，试判断直线bc的斜 率是否为定值？并说明理由。° 4y2 3v2解：(1)因为护乙把a点坐标代入椭圆方程得：b

8、2=-f所以椭圆方程为：一 +丄 =1。344(2) 111条件可以得到直线ab、ac的斜率存在且不为0,故设直线ab的方程为 y = k(x-l) + l,代入椭圆方程x2+3/-4 = 0得：/3k2 -6k -1(1 + 3疋)兀2+6(1_£)匕 + 3£2_6£ 1 = 0,因为xa=l,xaxb= ,所以1 + 3k祕 2-1勺=-，又设直线bc的方程为y = k(x-1) + 1,l + 3zri i rm /m 13z2 + 6k 1广同理得到：=一门1 + 3l因此得到：kbc=mh=5+xc)-2k ,把代入得kbc=,所以直线bc的斜 xb

9、xcxb xc3率为定值。策略六：巧用定义解析：结合圆锥曲线的定义，在运动变化中寻求符合定义的不变量。r2 v2例7.已知p是双曲线飞-s = l(d>0,b>0)上不同于顶点的右支上任意一点，ff ct b是双曲线的左右两个焦点，试问：三角形pff2的内心i是否在一定直线上，若存在，求出 肓线方程；若不存在，请说明理由。解：设三角形pfe的内切圆与x轴的切点为m,则由双曲线的定义及切线长定理可 11： pf-pf2=mfi-mf2=2af所以m也在双曲线上，即m为双曲线右顶点， 乂/m丄x轴，所以三角形pf”的内心i在一定直线x = a上。例8.以抛物线(y+ 1尸=8(%-2)

10、上任意一点p为圆心,作与y轴相切的圆,则这些动圆 必经过定点的处标为解：不难求得y轴是抛物线的准线，由抛物线的定义可知，这些圆必经过抛物线的焦点f,可以求得f(4,-l),所以这些动鬪必经过定点的坐标为(4,-1)o策略七：几何结合解析：有些求定值问题往往可以与平面几何的一些性质相结合，可以达到事半功倍的效 果，如上面的例7就是运用了切线长定理。例9.已知圆(x-3)2 + (y + 4)2=4,过原点0的动直线l：y = kx交圆于p、q两点，则 |0刊00|的值为解：设 0b 切于圆于点 b,则 opoq = obf = oaf 一厂2 = 25-4 = 21.例10.已知ab是双曲线与

11、= 1(2 0/>0)过焦点存的任意一条弦，以ab为肯径的圆被与丘相m的准线截得圆弧mn,求证：mn的度数为定值。解：设ab的中点为p, p、a、b到片相应的准线距离分别为d,%,/，则f/ +片3 =如=二,(为以ab为直径的圆的半 2e2e e径)，所以cos-zmpn即mn的度数为定值，其定值为2arccos-o2ree策略八：极坐标法解析：关于长度计算的某些问题，用极绝标法会來得很方便，先要根据条件建立恰当的 极坐标系，然后给动点设出极坐标，极角z间的关系往往是解决问题的关键。例11.椭圆与+与二1(。> “ > 0)上有两个动点a、b满足oa丄ob,(o为坐标原点), xb厶求证：儲r侖为定值。解：设以原点为极点，ox为极轴，建立极坐标系。则有r=/?cosf代入椭圆方程得到y = p sin 3椭圆的极坐标方程：= p_ q- /rtt设椭圆上动点a(p,&)，因为04丄ob,则可设动点b(c，&