流体第3章动力学

1、第第3章章 流体动力学基础流体动力学基础自然界与工程实际中，流体大多处于自然界与工程实际中，流体大多处于流动状态流动状态。本章讨论本章讨论流体的运动规律流体的运动规律以及以及流体运动与力的关系流体运动与力的关系等基本问题。等基本问题。流体具有流体具有易流动性易流动性，极易在外力作用下产生变形而，极易在外力作用下产生变形而流动。由于流体具有流动。由于流体具有粘性粘性，因而在运动时会形成内，因而在运动时会形成内部阻力。部阻力。本章内容：本章内容：l讨论理想流体的动力学规律；讨论理想流体的动力学规律；l研究粘性流体的动力学规律；研究粘性流体的动力学规律；l介绍动量方程及其应用。介绍动量方程及其应用。

2、第第3 3章章 流体动力学基础流体动力学基础3.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法3.2 研究流体运动时的一些基本概念研究流体运动时的一些基本概念 3.3 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程3.4 无粘性流体的运动微分方程无粘性流体的运动微分方程3.5 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分无粘性流体运动微分方程的伯努利积分 第第3章章 流体动力学基础流体动力学基础3.6 粘性流体运动的微分方程及伯努利方程粘性流体运动的微分方程及伯努利方程3.7 粘性流体总流的伯努利方程粘性流体总流的伯努利方程3.8 测量流速和流量的仪器测量流速和流量的仪器 3.9 定常流动总流的动量方程及其

3、应用定常流动总流的动量方程及其应用 3.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法流体的运动参数（或运动要素）流体的运动参数（或运动要素）：表征流体运动的物理量，如流体质点的位移、速度、加速度、密度、压强、动能、动量等等。 描述流体运动描述流体运动：也就是要表达这些流动参数在各个不同空间位置上随时间连续变化的规律。研究流体的运动的方法研究流体的运动的方法：1.拉格朗日法2.欧拉法。 3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗日法拉格朗日法：着眼于流体中各质点的流动情况，考察每一质点的运动轨迹、速度、加速度等流动参数，将整个流体运动当成许多流体质点运动的总和来进行考虑 本质本质：即一般力学研

4、究中的质点系运动的方法，所以也称为质点系法质点系法。 用拉格朗日法来研究流体运动时，首先要注意注意的是某一个质点的运动和描述该质点运动的方法。 ),(),(),(321tcbafztcbafytcbafx例如，假定在运动开始时刻t0，某一质点的坐标为(a，b，c)，则在其运动以后任意时刻t的坐标位置可表示如下： （3.1） 式中a、b、c和t称为拉格朗日变数拉格朗日变数。 对于某一给定质点，a、b、c是不变的常数。 如果t取定值取定值而a、b、c取不同的值，上式便表示了在某一瞬时所有流体质点在该空间区域的分布情况； 如果t取变值取变值，则上式便是该质点运动轨迹的参数方程，由此可求得该质点的速度

5、在各坐标轴的分量为： ttcbaftzuttcbaftyuttcbaftxuzyx),(),(),(321该质点的该质点的加速度分加速度分量为：量为： 232222222221222),(),(),(ttcbaftzattcbaftyattcbaftxazyx3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法 流体的压强、密度等量也可类似的表示为a 、b、c和t的函数p=f4(a，b，c，t) 、 p=f5(a，b，c，t) 。 拉格朗日法优缺点拉格朗日法优缺点：J 优点优点：在物理概念上清晰易懂；L 缺点缺点：流体各个质点运动的经历情况，除较简单的射流运动、波浪运动等以外，一般讲是非常复杂的，而且用此方法分析

6、流体的运动，数学上也会遇到很多困难。 因此，这个方法只限于研究流体运动的少数特殊情况，而一般都采用下述较为简便的欧拉法。3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法3.1.2 欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法：着眼于流体经过空间各固定点时的运动情况，：着眼于流体经过空间各固定点时的运动情况，将经过某一流动空间的流体运动，当成不同质点在不同将经过某一流动空间的流体运动，当成不同质点在不同时刻经过这些空间位置时的运动总和来考虑时刻经过这些空间位置时的运动总和来考虑要点要点： 1）分析流动空间某固定位置处，流体的流动参数随时间的）分析流动空间某固定位置处，流体的流动参数随时间的变化规律。变化规律。 2）分析由某一空间位

7、置转移到另一空间位置时，流动参数）分析由某一空间位置转移到另一空间位置时，流动参数随位置变化的规律。随位置变化的规律。 特点特点：用欧拉法研究流体运动时，并不关心个别流体质：用欧拉法研究流体运动时，并不关心个别流体质点的运动，只需要仔细观察经过空间每一个位置处的流点的运动，只需要仔细观察经过空间每一个位置处的流体运动情况。正因为这样，凡是表征流体运动特征的物体运动情况。正因为这样，凡是表征流体运动特征的物理量都可以表示为理量都可以表示为时间时间t和坐标和坐标x、y、z的函数。的函数。n例如在任意时刻通过任意空间位置的流体质点速度在各轴例如在任意时刻通过任意空间位置的流体质点速度在各轴上的分量为

8、上的分量为),(=),(=),(=321tzyxFutzyxFutzyxFuzyx（3.4） 式中x、y、z和t称为欧拉变数欧拉变数。运动质点的加速度分量可表示为dttzyxdFdtduadttzyxdFdtduadttzyxdFdtduazzyyxx),(),(),(321（3.5）3.1.2 欧拉法欧拉法n流体的压强、密度也可以表示为：流体的压强、密度也可以表示为： p=f4(a，b，c，t) 、 p=f5(a，b，c，t) n注意注意：拉格朗日法和欧拉法在研究流体运动时，只是：拉格朗日法和欧拉法在研究流体运动时，只是着眼点不同而已，并没有本质上的差别，对于同一个着眼点不同而已，并没有本质

9、上的差别，对于同一个问题，用两种方法描述的结果应该是一致的。问题，用两种方法描述的结果应该是一致的。3.1.2 欧拉法欧拉法3.2 研究流体运动时的一些基本概念研究流体运动时的一些基本概念3.2.1 迹线和流线迹线和流线3.2.1.1 迹线迹线 定义：定义：指流体质点的运动轨迹，指流体质点的运动轨迹，它表示了流体质点在一段时间内它表示了流体质点在一段时间内的运动情况。的运动情况。 如图如图3.1所示，某一流体质点在时所示，某一流体质点在时间内从间内从A运动到运动到B，曲线，曲线ACB即为即为该质点的迹线。如果在这一迹线该质点的迹线。如果在这一迹线上取微元长度上取微元长度dl表示该质点表示该质点

10、M在在dt时间内的微小位移，则其速度为时间内的微小位移，则其速度为 u=dl/dt图图3.1 迹线迹线3.2.1.1 迹线迹线 n它在各坐标轴的分量为它在各坐标轴的分量为 ux=dx/dt， uy=dy/dt ， uz=dz/dt （3.6）n式中式中dx、dy、dz为微元位移为微元位移dl在各个坐标轴上的投影，在各个坐标轴上的投影，由式（由式（3.6）可得）可得 dtudzudyudxzyx（3.7）上式为迹线的微分方程迹线的微分方程，表示质点M的轨迹。3.2.1.2 流线流线 定义定义：流线是流体流速场内反：流线是流体流速场内反映瞬时流速方向的曲线，在同映瞬时流速方向的曲线，在同一时刻，处

11、在流线上所有各点一时刻，处在流线上所有各点的流体质点的流速方向与该点的流体质点的流速方向与该点的切线方向重合，如图的切线方向重合，如图3.2所示。所示。 注意注意：流线表示了某一瞬时，：流线表示了某一瞬时，许多处在这一流线上的流体质许多处在这一流线上的流体质点的运动情况。流线不表示流点的运动情况。流线不表示流体质点的运动轨迹，因此在流体质点的运动轨迹，因此在流线上取微元长度，它并不表示线上取微元长度，它并不表示某个流体质点的位移，当然也某个流体质点的位移，当然也不能就此求出速度表达式。不能就此求出速度表达式。图图3.2 流线流线 重要特征重要特征：同一时刻的不同流线，互相不可能相交：同一时刻的

12、不同流线，互相不可能相交 原因原因：根据流线的性质，在交点处的流体质点的流速向量：根据流线的性质，在交点处的流体质点的流速向量应同时相切于这两条流线，即该质点在同一时刻有两个速应同时相切于这两条流线，即该质点在同一时刻有两个速度向量，这是不可能的。度向量，这是不可能的。 推论推论：流体在不可穿透的固体边界上沿边界法向的流速分：流体在不可穿透的固体边界上沿边界法向的流速分量必等于零，流线将与该边界的位置重合。量必等于零，流线将与该边界的位置重合。n设某一点上的质点瞬时速度为设某一点上的质点瞬时速度为u=uxi+uyj+uzk，流线上的微流线上的微元线段矢量为元线段矢量为ds=dxi+dyj+dz

13、k。根据定义，这两个矢量方根据定义，这两个矢量方向一致，矢量积为零，于是可得出流线的矢量表示法为向一致，矢量积为零，于是可得出流线的矢量表示法为 uds=0 （3.8） 写成投影形式，则写成投影形式，则 dx/ux=dy/uy=dz/uz （3.9）n这就是最常用的这就是最常用的流线微分方程流线微分方程。3.2.1.2 流线流线例题例题3.1 设有一平面流场，其速度表达式是设有一平面流场，其速度表达式是ux=x+t，uy=-y+t，uz=0，求求t=0时，过（时，过（-1，-1）点的迹线和流线。）点的迹线和流线。解解（1）迹线应满足的方程是）迹线应满足的方程是 dx/dt=x+t，dy/dt=

14、-y+t这里这里t是自变量，以上两方程的解分别是是自变量，以上两方程的解分别是 x=c1et-t-1，y=c2e-t+t-1以以t=0 时，时， x=y=-1代入得代入得c1=c2=0，消去，消去t后得迹线方程后得迹线方程 x+y=-2（2）流线的微分方程是）流线的微分方程是 dx/(x+t)=dy/(-y+t)式中式中t是参数，积分得是参数，积分得 (x+t)(-y+t)=c以以t=0时，时， x=y=-1代入得代入得c=-1 ，所以所求流线方程为，所以所求流线方程为xy=13.2.1.2 流线流线3.2.2 定常流动和非定常流动定常流动和非定常流动 定常流动：定常流动：流体质点的运动要素流

15、体质点的运动要素只是坐标的函数而与时间无关。只是坐标的函数而与时间无关。 其运动要素其运动要素),(),(),(321zyxfzyxfpzyxfu（3.10）l 如图如图 (a)所示，水头稳定的泄流是定常流动。在某一瞬间所示，水头稳定的泄流是定常流动。在某一瞬间通过某固定点作出的流线，是不随时间而改变的。因此通过某固定点作出的流线，是不随时间而改变的。因此在在定常流动中，流线与迹线重合定常流动中，流线与迹线重合。用欧拉法以流线概念来描。用欧拉法以流线概念来描述和分析定常流动是适合的。述和分析定常流动是适合的。 非定常流动非定常流动：如果流体质点的运动要素，既是坐标的函数又是时间的函数 如图 (

16、b)所示，变水头的泄流是非定常流动。3.2.2 定常流动和非定常流动定常流动和非定常流动3.2.3 流面、流管、流束与总流流面、流管、流束与总流 流面流面：通过不处于同一流线上的线段上的各点作出流线，：通过不处于同一流线上的线段上的各点作出流线，则可形成由流线组成的一个面，称为流面则可形成由流线组成的一个面，称为流面 。 流面上的质点只能沿流面运动，两侧的流体质点不能穿过流面上的质点只能沿流面运动，两侧的流体质点不能穿过流面而运动。流面而运动。 流管流管：通过流场中不在同一流面上的某一封闭曲线上的各：通过流场中不在同一流面上的某一封闭曲线上的各点作流线，则形成由流线所组成的管状表面称为流管。点

17、作流线，则形成由流线所组成的管状表面称为流管。 如图如图3.4所示。管中的流体称为所示。管中的流体称为流束流束，其质点只能在管内流，其质点只能在管内流动，管内外的流体质点不能交流。动，管内外的流体质点不能交流。微元流束微元流束：充满于微小流管中的流体称为微元流束。流线流线：当微元流束的断面积趋近于零时，则微元流束成为流线。总流总流：由无限多微元流束所组成的总的流束称为总流。通常见到的管流与河渠水流都是总流。3.2.3 流面、流管、流束与总流流面、流管、流束与总流 3.2.4 过流断面、流速、流量过流断面、流速、流量 过流断面过流断面：与微元流束（或总流）中各条流线相垂直的截：与微元流束（或总流

18、）中各条流线相垂直的截面称为此微元流束（或总流）的过流断面（或过水断面），面称为此微元流束（或总流）的过流断面（或过水断面），如图如图3.5所示。所示。 由过流断面的定义知，当流线几乎是平行的直线时，过流由过流断面的定义知，当流线几乎是平行的直线时，过流断面是断面是平面平面；否则过流断面是；否则过流断面是不同形式的曲面不同形式的曲面。 图图3.5 过流断面过流断面由于研究对象的不同，流体的运动速度有两个概念：由于研究对象的不同，流体的运动速度有两个概念： 1）点速）点速：是指流场中某一空间位置处的流体质点在单位：是指流场中某一空间位置处的流体质点在单位时间内所经过的位移，称为该流体质点经此处时

19、的速时间内所经过的位移，称为该流体质点经此处时的速度，简称为点速，用度，简称为点速，用u表示，单位为米表示，单位为米/秒（秒（m/s）。）。严格地说，同一过流断面上各点的流速是不相等的。严格地说，同一过流断面上各点的流速是不相等的。但微元流束的过流断面很小，各点流速也相差很小，但微元流束的过流断面很小，各点流速也相差很小，可以用断面中心处的流速作为各点速度的平均值。可以用断面中心处的流速作为各点速度的平均值。 2）均速）均速：在同一过流断面上，求出各点速度：在同一过流断面上，求出各点速度u对断面对断面A的的算术平均值，称为该断面的平均速度，简称均速，以算术平均值，称为该断面的平均速度，简称均速

20、，以v表示，其单位与点速相同。表示，其单位与点速相同。 3.2.4 过流断面、流速、流量过流断面、流速、流量 流量流量：单位时间内通过微元流束（或总流）过流断面的体积流量，称为通过该断面的体积流量，简称流量。其常用单位是米3/秒（m3/s）或升/秒（l/s）。 质量流量质量流量：有时也用单位时间内通过过流断面的流体质量来表示流量，称为质量流量。 微元流束的流量以dQ表示，总流的流量以Q表示。因为微元流束的过流断面与速度方向垂直，所以其过流断面面积与速度的乘积正是单位时间内通过此过流断面的流体体积。故 dQ=udA （3.11）3.2.4 过流断面、流速、流量过流断面、流速、流量l总流的流量，则

21、为同一过流断面上各个微元流束的流量之总流的流量，则为同一过流断面上各个微元流束的流量之和，即和，即AQudAdQQ（3.12）l 现在可以看到：断面平均流速就是体积流量被过流断面面现在可以看到：断面平均流速就是体积流量被过流断面面积除得的商，即积除得的商，即AudAAQvA（3.13）3.2.4 过流断面、流速、流量过流断面、流速、流量3.3 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程T运动流体的连续性运动流体的连续性：运动流体经常充满它所占据的空间（即流场），并不出现任何形式的空洞或裂隙，这一性质称为运动流体的连续性。T满足这一连续性条件的等式则称为连续性方程连续性方程。T本节内容本节内容：

22、1）先讨论直角坐标系中的连续性方程（即空间运动的的连续性方程); 2）再讨论微元流速和总流的连续性方程。3.3.1 直角坐标系中的连续性方程直角坐标系中的连续性方程n在流场中任取一个以在流场中任取一个以M点点为中心的为中心的微元六面体微元六面体，如，如图图3.6所示。六面体的各边所示。六面体的各边分别与直角坐标系各轴平分别与直角坐标系各轴平行，其边长分别为行，其边长分别为x，y，z 。M点的坐标假定为点的坐标假定为x，y，z，在某一时刻，在某一时刻t，M点点的流速为的流速为u，密度为，密度为。由。由于六面体取得非常微小，于六面体取得非常微小，六面体六面上各点六面体六面上各点t时刻的时刻的流速和

23、密度可用泰勒级数流速和密度可用泰勒级数展开，并略去高阶微量来展开，并略去高阶微量来表达。表达。例如2点(如图)的流速为2xxuuxx图图3.6 运动流体的微元六面体运动流体的微元六面体如此类推。n 现在考虑在微小时间段t 中流过平行表面abcd与a b cd(如图)的流体质量。由于时段微小，可以认为流速没有变化，由于六面体微小，各个面上流速分布可以认为是均匀的，所以，在时间段内，由abcd面流入的流体质量为：tzyxxuuxx2)(由a b cd(面流出的流体质量为：tzyxxuuxx2)(两者之差，即净流入量为：tzyxxux)(3.3.1 直角坐标系中的连续性方程直角坐标系中的连续性方程用

24、同样的方法，可得在y方向和z方向上净流入量分别为：tzxyyuy)(tyxzzuz)(和和 按照质量守恒定律，上述三个方向上净流入量之代数和必定与t时间段内微元六面体内流体质量的增加量(或减少量)相等，这个增加量(或减少量)显然是由于六面体内连续介质密度加大或减小的结果，即zyxtt)(3.3.1 直角坐标系中的连续性方程直角坐标系中的连续性方程由此可得： zyxtttzyxzuyuxuzyx)()()(两边除以xy z并移项，得：0)()()(zuyuxutzyx （3.14） 这就是可压缩流体三维流动的欧拉连续性方程可压缩流体三维流动的欧拉连续性方程。 3.3.1 直角坐标系中的连续性方程

25、直角坐标系中的连续性方程可压缩流体定常流动的连续性方程可压缩流体定常流动的连续性方程为：0)()()(zuyuxuzyx （3.15） 不可压缩流体（不可压缩流体（为常数）定常流或非定常流的连续性方程为常数）定常流或非定常流的连续性方程为： 0=+zuyuxuzyx（3.16） 上式表明上式表明：不可压缩流体流动时，流速u的空间变化是彼此关联、相互制约的，它必须受连续性方程的约束，否则流体运动的连续性将受到破坏，而不能维持正常流动。3.3.1 直角坐标系中的连续性方程直角坐标系中的连续性方程3.3.2 微元流束与总流的连续性方程微元流束与总流的连续性方程 n设有微元流束如图设有微元流束如图3.

26、7所示，其所示，其过流断面分别为过流断面分别为dA1及及dA2，相，相应的速度分别为应的速度分别为u1及及u2 ，密度，密度分别为分别为1及及2 。若以可压缩流。若以可压缩流体的定常流动来考虑，则微元体的定常流动来考虑，则微元流束的形状不随时间改变，没流束的形状不随时间改变，没有流体自流束表面流入与流出。有流体自流束表面流入与流出。图图3.7 微元流束和总流微元流束和总流 在时间在时间dt内，经过内，经过dA1流入的流体质量为流入的流体质量为 dM1= 1u1dA1dt ， 经过流出的流体质量经过流出的流体质量为为 dM2= 2u2dA2dt 3.3.2.1 微元流束的连续性方程微元流束的连续

27、性方程3.3.2.1 微元流束的连续性方程微元流束的连续性方程n根据质量守恒定律，流入的质量必须等于流出的质量，可得dM1=dM2 即 1u1dA1=2u2dA2 （3.17）n对不可压缩流体， 1=2， 故u1dA1=u2dA2，即 dQ1=dQ2 （3.18）n这就是不可压缩流体定常流动微元流束的连续性方程不可压缩流体定常流动微元流束的连续性方程。它表明它表明：在同一时间内通过微元流束上任一过流断面的流量是相等的。3.3.2.2 总流的连续性方程总流的连续性方程 将式（3.17）对相应的过流断面进行积分，得 A11u1dA1= A2 2u2dA2 引用式（3.13），上式可写成 1mv1A

28、1= 2mv2A2 即 1mQ1= 2mQ2 （3.19） 式中1m、 2m分别为断面1、2上流体的平均密度。n式（3.19）就是总流的连续性方程总流的连续性方程。 对于不可压缩流体不可压缩流体，则为 Q1= Q2或A1v1= A2v2 （3.20）n上式表明上式表明：在保证连续性的运动流体中，过流断面面积是在保证连续性的运动流体中，过流断面面积是与速度成反比的与速度成反比的。这是流体运动中的一条很重要的规律。 n救火用的水龙喷嘴，废水处理中的沉淀池（图3.8）都是这一规律在工程中的实际应用。 图图3.8 平流式沉淀池平流式沉淀池3.3.2.2 总流的连续性方程总流的连续性方程 图图3.9 流

29、量的汇入与流出流量的汇入与流出3.3.2.2 总流的连续性方程总流的连续性方程 上述总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导出的。若沿途有流量流进或流出，总流的连续性方程仍然适用，只是形式有所不同。 对于图3.9所示的情况，则 Q3= Q1 + Q2， A3v3= A1v1 +A2v2 （3.21） Q4+ Q5 = Q1 + Q2 ， A4v4+ A5v5= A1v1 +A2v2 （3.22） 例题例题3.23.2 在三元不可压缩流动中，已知ux=x2+z2+5,uy=y2+z2-3，求uz的表达式。 解解 由连续性方程式（3.16）可知 )(2)(zuzyxyuxuyx积分得： zyxz

30、d)(2dzuzCzyxuz)(2 上式中积分常数C ，可以是某一数值常数，也可以是与z无关的某一函数f(x，y)，所以： uz= (x+y)z+f(x，y)3.3.2.2 总流的连续性方程总流的连续性方程例题例题3.3 图3.10为一旋风除尘器，入口处为矩形断面，其面积为A2=100mm20mm ，进气管为圆形断面，其直径为100mm，问当入口流速为v2=12m/s时，进气管中的流速为多大？解解 根据连续性方程可知A1v1= A2v2 故图图3.10 旋风除尘器旋风除尘器m/s06. 31 . 041202. 01 . 02122AvAv3.3.2.2 总流的连续性方程总流的连续性方程3.4

31、 无粘性流体的运动微分方程无粘性流体的运动微分方程T本节内容本节内容：研究无粘性流体运动与力的关系，暂不考虑流体的内摩擦力。T作用在流体表面上的力，只有垂直于受力面并指向内法线方向的流体动压力流体动压力（由动压强引起）。3.4 无粘性流体的运动微分方程无粘性流体的运动微分方程图图3.11 无粘性流体运动和受力情况无粘性流体运动和受力情况 在无粘性流体中取出一微元六面体，如图3.11所示。六面体各边分别与各坐标轴平行，各边长度分别为x，y ， z 。 设六面体形心M的坐标为x,y,z，在所考虑的瞬间，M点上的动压强为p，流速为，其分量为ux，uy，uz。又设流体密度为 ，流体所受的单位质量力为J

32、 ，它在各轴上的分力为X,Y,Z。 n由于流体的动压强只是坐标和时间的函数，因此六面体内的流体在x轴向上所受的表面力表面力和质量力质量力分别为zyxxppzyxxpp)2()2(zyxX 根据牛顿第二定律， x轴向上的表面力和质量力之和应等于六面体内流体的质量与x轴向上的加速度的乘积，即 tuzyxzyxXzyxxppzyxxppxdd)2()2(3.4 无粘性流体的运动微分方程无粘性流体的运动微分方程整理上式，即可得x方向上单位质量流体的运动方程式为tuzpZtuypYtuxpXzyxdd1dd1dd1同理可得 （3.23）若写成矢量形式，则为tupJdd1 （3.24） 3.4 无粘性流体

33、的运动微分方程无粘性流体的运动微分方程若写成矢量形式，则为 tupJdd1（3.24） 式中符号为哈密顿算子 这就是无粘性流体的运动微分方程无粘性流体的运动微分方程，由欧拉1755年首次导出，又称欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程，它奠定了古典流体力学的基础。式（3.23）中，如ux=uy=uz=0，则欧拉运动微分方程就变为欧拉平衡微分方程式（2.4）。所以欧拉平衡方程是欧拉运动欧拉平衡方程是欧拉运动方程的特例方程的特例。kzjyix3.4 无粘性流体的运动微分方程无粘性流体的运动微分方程 上式各方程等号右侧的前三项表示流体质点由于位置移动而形成的速度分量的变化率，称为位变加速度。位变加速度。

34、最后一项表示流体质点在经过时间的运动后而形成的速度分量的变化率，称为时变加速度。时变加速度。tuuzuuyuuxuzpZtuuzuuyuuxuypYtuuzuuyuuxuxpXzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx111（3.25） 考虑到式（3.4），求ux，uy，uz的全微分，则式（3.23）可变为3.4 无粘性流体的运动微分方程无粘性流体的运动微分方程 因此，运动流体质点的加速度加速度为位变加速度与时变加速度位变加速度与时变加速度之和之和。 一般地说，欧拉运动微分方程中有ux、uy、uz和p等四个未知数，但只有三个分量方程，必须与连续性方程结合起来成为封闭方程组，才能求解。 从理论上

35、说，无粘性流体动力学问题是完全可以解决的。但是，对于一般情况的流体运动来说，由于数学上的困难，目前还找不到这些方程的积分，因而还不能求得它们的通解。所以只限于在具有某些特定条件的流体运动中，求它们的积分和解。 3.4 无粘性流体的运动微分方程无粘性流体的运动微分方程3.5 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分无粘性流体运动微分方程的伯努利积分T本节讨论无粘性流体运动微分方程在特定条件下的积分，称为伯努利积分伯努利积分。T这一积分是在下述条件条件下进行的：（1）质量力定常而且有势）质量力定常而且有势，即 xWXyWYzWZ=所以，势函数W=f(x，y，z)的全微分是 ZdzYdyXdxdzzWdy

36、yWdxxWdW（2）流体是不可压缩的）流体是不可压缩的，即=常数 （3）流体运动是定常的）流体运动是定常的，即0tp0tututuzyx此时流线与迹线重合，即对流线来说，符合条件 dtudzdtudydtudxzyx 在满足上述条件的情况下，如将式（3.23）中的各个方程对应的乘以dx、dy、dz，然后相加，可得 dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpzdzYdyXdxzyx)(1)(3.5 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分无粘性流体运动微分方程的伯努利积分根据积分条件，可得zzyyxxzzyyxxduuduuduudtudtdudtudtdudtudtdudpdW1

37、)2()2(12222uduuuddpdWzyx因为为常数，上式可写成0)2(2upWd沿流线将上式积分，得常数22upW（3.26） 3.5 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分无粘性流体运动微分方程的伯努利积分上式即无粘性流体运动微分方程的伯努利积分。无粘性流体运动微分方程的伯努利积分。 无粘性流体运动微分方程的无粘性流体运动微分方程的伯努利积分伯努利积分表明：表明：在有势质量力的作用下，无粘性不可压缩流体作定常流动时，函数值W-p/-u2/2是沿流线不变的。即处于同一流线上的流体质点，其所具有的函数值W-p/-u2/2是相同的，但对不同流线上的流体质点来说，其函数值W-p/-u2/2是不同

38、的。图图3.12 不同流线的伯努利积分不同流线的伯努利积分2222222111upWupW 如图3.12所示，在同一流线上任取1、2两点，则有3.5 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分无粘性流体运动微分方程的伯努利积分n一般地说，运动流体将受到各种不同性质的质量力，如惯性力、质量力等。但在许多实际工程中，流体所受的质量力常常只有重力。此时，重力在各坐标轴的分量为 X=0 ，Y=0， Z=-g 因此 dW=-gdz 积分得 W=-gz+C (C为积分常数) 代入式（3.26），可得常数22upgz3.5 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分无粘性流体运动微分方程的伯努利积分n式中各项是对单位质量流

39、体而言的。如将上式两端同除以g，并考虑到=g ，则有 常数gupz22 (3.28) 若对同一流线上的任意两点应用以上方程，则上式可写为gupzgupz2222222111 (3.29) 上式通常称为不可压缩无粘性流体伯努利方程不可压缩无粘性流体伯努利方程。由于微元流束过流面积很小，同一断面上各点的运动要素z、p、u可以看成是相等的，因此式(3.28)和(3.29)均可推广使用到微元微元流束中流束中去，称为不可压缩无粘性流体微元流束的伯努利方程不可压缩无粘性流体微元流束的伯努利方程。3.5 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分无粘性流体运动微分方程的伯努利积分3.6 粘性流体运动的微分方程及伯努

40、利方程粘性流体运动的微分方程及伯努利方程3.6.1 粘性流体运动的微分方程粘性流体运动的微分方程T 粘性流体运动的微分方程可以仿照欧拉运动微分方程去推导。这里不加推导直接给出不可压缩粘性流体的运动微分方程式(3.30)，称为那维尔那维尔斯托克斯方程斯托克斯方程（简称N-S方方程程）。zuuyuuxuutudtduuzpZzuuyuuxuutudtduuypYzuuyuuxuutudtduuxpXzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx222111（3.30） 3.6.1 粘性流体运动的微分方程粘性流体运动的微分方程n与理想流体的欧拉运动微分方程相比较，N-S方程增方程增加了粘性项

41、加了粘性项v2u，因此是更为复杂的非线性偏微分方程。n从理论上讲，N-S方程加上连续性方程共四个方程，完全可以求解四个未知量ux, uy, uz及p，但在实际流动中，大多边界条件复杂，所以很难求解。n随着计算机和计算技术日新月异地发展，数值求解N-S方程的方法具有了广阔的道路。 3.6.2 粘性流体运动的伯努利方程粘性流体运动的伯努利方程n本节只讨论在有势质量力的作用下在有势质量力的作用下粘性流体运动微分方程的积分。 式（3.30）可变化为：0)2(0)2(0)2(222222zyxuupWzuupWyuupWx（3.31） 如果流体运动是定常的，流体质点沿流线运动的微元长度dl在各轴上的投影

42、分别为dx，dy，dz。将式（3.31）中各方程分别乘以dx，dy，dz ，然后相加，得0)()2(d2222dzudyudxuupWzyx（3.32） 3.6.2 粘性流体运动的伯努利方程粘性流体运动的伯努利方程n上式中v2ux， v2uy， v2uz等项系单位质量粘性流体所受切向应力对相应轴的投影，因此上式中的第二项即为这些切向应力在流线微元长度dl上所做的功。因为在粘性流体运动中，这些切向应力的合力的方向总是与流体运动方向相反的，故所做的功为负功。由此可将上式中的第二项表示为： v(2uxdx+ 2uydy+2uzdz )= dwR wR为阻力功。代入式（3.32），则有 0)2(d2R

43、wupW将上式沿流线积分，可得RwupW22常数 （3.33）此即粘性流体运动微分方程的伯努利积分粘性流体运动微分方程的伯努利积分。它表明表明在有势质量力的作用下，粘性不可压缩流体作定常流动时，函数值W-p/-u2/2-wR是沿流线不变的。在同一流线上任取1、2两点，则有 222221211122RRwupWwupW (3.34) 当作用于流体的质量力只有重力，且取垂直向上的坐标为z轴时，则有：W1=-gz1 ; W2=-gz23.6.2 粘性流体运动的伯努利方程粘性流体运动的伯努利方程代入式(3.34)，经整理可得到 (3.35) 式中wR2 wR1表示单位质量粘性流体自点1运动到点2的过程

44、中内摩擦力所作功的增量。令hl=1/g(wR2 wR1)，它表示单位重量粘性流体沿流线从点1到点2的路程上所接受的摩阻功，则式(3.35)可写成2222211122lhgupzgupz (3.36) 此即粘性流体运动的伯努利方程粘性流体运动的伯努利方程。它表明表明单位重量粘性流体在沿流线运动时，其有关值（即与z,p,u有关的函数值）的总和是沿流向而逐渐减少的。上式也可推广到微元流束，称为粘性流体微元流束伯努利方程。 )(1221222222111RRwwggupzgupz3.6.2 粘性流体运动的伯努利方程粘性流体运动的伯努利方程3.6.3 伯努利方程的能量意义和几何意义伯努利方程的能量意义和

45、几何意义T 伯努利方程中的每一项相应的能量意义伯努利方程中的每一项相应的能量意义 方程式中z表示单位重量流体流经某点时所具有的位能位能(称称为比位能为比位能)； p/表示单位重量流体流经某点时所具有的压能压能(称为比压称为比压能能)； u2/2g是单位重量流体流经给定点时的动能，称为比动能；比动能； hl是单位重量流体在流动过程中所损耗的机械能，称为能量损失。T 无粘性流体运动的伯努利方程表明单位重量无粘性流体沿流线自位置1流到位置2时，其位能、压能、动能可能有变化，或互相转化，但它们的总和（称为总比能）是不变的。因此，伯努利方程是能量守恒与转换原理在流体力学中的伯努利方程是能量守恒与转换原理

46、在流体力学中的体现体现。T 粘性流体运动的伯努利方程粘性流体运动的伯努利方程表明单位重量粘性流体沿流线自位置1流到位置2时，不但各项能量可能有变化，或互相转化，而且它的总机械能也是有损失的。T 参照流体静力学中水头的概念，也可看出伯努利方程中每伯努利方程中每一项都具有相应的几何意义一项都具有相应的几何意义。 方程式中z 表示单位重量流体流经某点时所具有的位置水头位置水头(简称位头简称位头) 。 p/表示单位重量流体流经某点时所具有的压强水头压强水头(简称压简称压头头)。 u2/2g是单位重量流体流经给定点时，因其具有速度u，可以向上自由喷射而能够达到的高度，称为速度水头，简称速速度水头，简称速

47、度头度头。 3.6.3 伯努利方程的能量意义和几何意义伯努利方程的能量意义和几何意义n速度头可由实验测出。如图速度头可由实验测出。如图3.133.13，在管路中某处装上一个顶端开一小在管路中某处装上一个顶端开一小孔，并弯成孔，并弯成9090角的小玻璃管角的小玻璃管CD，使小孔正对流来的流体；同时在使小孔正对流来的流体；同时在C点上方的管壁上，也装一个一般的点上方的管壁上，也装一个一般的测压管测压管AB（工程上把这种形式的（工程上把这种形式的测速管称为毕托管）。当水在管中测速管称为毕托管）。当水在管中流动时，可明显测出流动时，可明显测出AB和和CD两管两管水面所形成的高度差水面所形成的高度差h。

48、这是由。这是由于水流以速度于水流以速度u流入流入CD管中到达一管中到达一定的高度后，再不流动，它所具有定的高度后，再不流动，它所具有的动量便转变为冲量，形成压强而的动量便转变为冲量，形成压强而出现的压强高度。当不考虑任何阻出现的压强高度。当不考虑任何阻力时，力时，h=u2/2g 。图图3.13 速度水头示意图速度水头示意图3.6.3 伯努利方程的能量意义和几何意义伯努利方程的能量意义和几何意义 hl 也是一个具有长度量纲的值，称为损失水头损失水头。T 无粘性流体运动伯努利方程的几何意义是无粘性流体运动伯努利方程的几何意义是：无粘性流体沿流线自位置1流到位置2时，其各项水头可能有变化，或互相转化

49、，但其各项水头之和（称为总水头）是不变的，是一常数。T 粘性流体运动的伯努利方程粘性流体运动的伯努利方程表明粘性流体沿流线自位置1流到位置2时，其各项水头不但可能有变化，或互相转化，而且总水头也必然沿流向降低。T 由于伯努利方程中每一项都具有水头意义，因此可用几何可用几何图形表达伯努利方程的意义图形表达伯努利方程的意义。图3.14(a)所示为无粘性流体微元流束伯努利方程， 图3.14(b)所示则为粘性流体微元流束伯努利方程。 3.6.3 伯努利方程的能量意义和几何意义伯努利方程的能量意义和几何意义图图3.14 伯努利方程的图形表示伯努利方程的图形表示3.6.3 伯努利方程的能量意义和几何意义伯

50、努利方程的能量意义和几何意义T 在无粘性流体运动无粘性流体运动中，沿同一流线上各点的总水头是相等的，其总水头顶点的联线（称为总水头线）是一条水平线水平线。压强顶点的联线（称为静压水头线或测压管水头线）是一条随过流断面改变而起伏的曲线。T 在粘性流体运动粘性流体运动中，总水头是沿着流向减少的，所以其总水头线是一条沿流向向下倾斜的曲线曲线（如果微元流束的过流断面是相等的，则为直线）。3.6.3 伯努利方程的能量意义和几何意义伯努利方程的能量意义和几何意义 例题例题3.43.4 物体绕流如图3.15所示，上游无穷远处流速为u=4.2m/s，压强为p =0的水流受到迎面物体的阻碍后，在物体表面上的顶冲

51、点S处的流速减至零，压强升高，称S点为滞流点或驻点。求点S处的压强。 解解 设滞流点S处的压强为p，粘性作用可以忽略。根据通过S点的流线上伯努利方程式（3.29），有 图图3.15 物体绕流物体绕流gupzgupzSSS2222z= zS，代入数据，得m9 . 08 . 922 . 422222guguppSS故滞流点S处的压强 pS=0.9mH2O3.6.3 伯努利方程的能量意义和几何意义伯努利方程的能量意义和几何意义 例题例题3.53.5 在D=150mm的水管中，装一带水银压差计的毕托管，用来测量管轴心处的流速，如图3.16所示，管中水流均速v为管轴处流速u的0.84倍，如果1、2两点相

52、距很近而且毕托管加工良好，不计水流阻力。求水管中流量。图图3.16 毕托管测流速毕托管测流速 解解 取管轴水平面为基准面o-o，过水断面1-1、2-2经过1、2两点并垂直于流向。由于水流自点1流到点2时没有能量损失，因此可列出1、2两点间的伯努利方程gupzgupzWW22222221113.6 粘性流体运动的微分方程及伯努利方程粘性流体运动的微分方程及伯努利方程因为z1=z2=0，u1=umax，u2=0，故得Wppgu12max2（1） 由流体静力学知， p2p1=(MW)h 即 将其代入（1）式，可得m/s22. 2980002. 0)9800133280(8 . 92)(2maxWWM

53、hgu由此可得 m/s87. 122. 284. 084. 0maxuvl/s33/sm033. 087. 1415. 032AvQWWMWhpp)-(=-123.6 粘性流体运动的微分方程及伯努利方程粘性流体运动的微分方程及伯努利方程3.7 粘性流体总流的伯努利方程粘性流体总流的伯努利方程n为了应用伯努利方程来解决工程中的实际流体流动问题，应将微元流速的伯努利方程推广到总流，得出总流的伯努推广到总流，得出总流的伯努利方程。利方程。但总流的情况比较复杂，同一过流断面上各点的等值变化较大，不能用前述方法处理。所以这里先分析总先分析总流的情况，然后推导总流的伯努利过程流的情况，然后推导总流的伯努利

54、过程。3.7.1 急变流和缓变流急变流和缓变流T 急变流急变流是指流线之间的夹角很大或流线的曲率半径很小的流动。如图3.17中，流段1-2、2-3、4-5内的流动是急变流。在急变流中，既有不能忽略的惯性力，而且内摩擦力在垂直于流线的过流断面上也有分量。T 在这种流段的过流断面上，存在着一些成因复杂的力。因此将伯努利方程中的过流断面取在这样的流段当中是不适当的。3.7.1 急变流和缓变流急变流和缓变流T 缓变流缓变流是指流线之间的夹角很小或流线的曲率半径很大的近乎平行直线的流动。如图3.17中的流段5-6内的流动是缓变流。T 在缓变流段中，因为流线几乎平行，其过流断面都是平面。流线曲率半径很大，

55、形成的离心惯性力很小，可以忽略，且内摩擦力在过流断面上也几乎没有分量。因此，在这种过流断面上在这种过流断面上的压强分布符合流体静压强分布规律的压强分布符合流体静压强分布规律。n可以证明，在缓变流中同一过流断面的任一点，其压强与位置的关系满足下式： Z+p/=常数 （3.37）n但需要指出的是，如果过流断面不同，则上式中的常数值也不同。如果在缓变流段中的过流断面上安装一些测压管，可以看出，凡是安装在同一过流断面上的测压管，其水头面都处在同一高度上，但不同过流断面上的测压管水头高度不同。 3.7.1 急变流和缓变流急变流和缓变流3.7.2 动量校正系数和动能校正系数动量校正系数和动能校正系数 n设

56、流体过流断面上的均速用v表示，某点的速度用u表示，则根据流量的定义可知，用均速v表示的流量Qv和用点速u表示的流量Qu是相等的，即有 Qv=Av=Qu=AudA （3.38）n但用点速和均速来分别表示过流断面上的流体动量或动能时，其值并不相等。3.7.2.1 动量校正系数动量校正系数n设以点速u表示的流体动量为Mu，以均速v表示流体动量为Mv，则 Mu=AudAu=Au2dA Mv=vAv= v2A= Av2dA 3.7.2.1 动量校正系数动量校正系数故 AAAAvudAvdAudAvdAuMM2222 v是过流断面上u的算术平均值，从数学上知道，任何n个数值平方的总和，总是大于其算术平均值

57、平方的n倍。因此， 1022AAdAvdAu，即 vuMM0 （3.39） 0称为动量校正系数，据实测，在直管(或直渠)的高速水流中， 0 =1.021.05，在一般工程计算中，为了简化计算，可取0 =1，即实际上可以不需校正。 3.7.2.2 动能校正系数动能校正系数当用点速u表示流经过流断面A的流体动能Eu时，则有 )33(21)(2121)(213223332AAAAAAAudAudAuvudAvdAvdAuvdAuuudAE因为AudA=0，且等式右端第四项之值很小，可以忽略，故上式可写成)3(2123AAudAuvdAvE用均速v表示过流断面的流体动能为 Ev=1/2(vA)v2=1

58、/2v3A可以看出， EuEv，有Eu=Ev （3.40）称为动能校正系数，据实测，在实际流体流动中，=1.051.10。在一般工程计算中，也可取=1。3.7.3 总流的伯努利方程总流的伯努利方程n设有不可压缩粘性流体作定常流动，如图3.18所示。在其中取一微元流束，则其伯伯努利方程努利方程为：2222211122lhgupzgupz 设单位时间内通过沿此微元流束的流体重量为dQ，则其能能量关系量关系为：dQhdQgudQpdQzdQgudQpdQzl2222211122图图3.18 总流伯努利方程的推导总流伯努利方程的推导3.7.3 总流的伯努利方程总流的伯努利方程n将式中各项沿相应过流断面

59、对流量进行积分，则得总流的总流的能量方程能量方程为 QlQQQQQQdQhdQgudQpdQzdQgudQpdQz2222211122上式中的积分可分解为三部分，第一部分第一部分为等式两端的前两项，可写成AQQQudApzdQpzdQpdQz)()(若过流断面取在缓变流段中，则Z+P/=常数，因此QpzudApzudApzAA)()()(第二部分第二部分积分为等式中的第三项 QdQgu221它可以用均速表示，即QgvAvuudAdAudQguAAQ2)21()(21212232321第三部分第三部分为式中最后一项 QldQh它表示流体质点从过流断面1-1流到断面2-2时的机械能损失之和。若用h

60、1表示单位重量流体的平均能量损失，则可得到 QhdQhlQl 将三部分积分结果代入式(3.41)，并将各项同除以Q ，即可得单位重量流体总流的能量表达式 lhgvpzgvpz222222221111 （3.42） 3.7.3 总流的伯努利方程总流的伯努利方程n上式即为不可压缩流体在重力场中作定常流动时的总流不可压缩流体在重力场中作定常流动时的总流伯努利方程伯努利方程，是工程流体力学中很重要的方程。n在使用总流伯努利方程时，要注意其适用条件适用条件：（1）流体是不可压缩的；（2）流体作定常流动；（3）作用于流体上的力只有重力；（4）所取过流断面1-1、2-2都在缓变流区域，但两断面之间不必都是缓