数字信号处理+硕士作业

1、1、简答题：（20分）（1）离散时间信号x(n)是能量有限且长度有限的时域序列，试分别写出从离散时域x(n)到离散频域X(k)的四种变换途径。 答：这四种途径包括：1. 傅里叶级数(FS)：时域的连续周期到频域的离散非周期。2.傅里叶变换(FT)：时域的连续非周期到频域的连续非周期。3.离散时间序列傅里叶变换(DTFT)：时域的离散非周期到频域的连续周期。4.离散傅立叶级数（DFS）或离散傅里叶变换(DFT)：时域的离散周期到频域的离散周期。（2）解释“频域采样造成时域周期延拓”这一现象的含义。为了避免其带来的负面影响，可以采取什么措施？ 答：在频域的N点采样造成时域信号以N周期进行

2、延拓，这是由傅里叶变换的对偶性决定的，一个域的离散必定会造成另一个域的周期延拓。   为避免其负面影响，在频域2区间内的采样点数N应大于等于序列长度M，即NM，否则，就会造成时域信号的混叠失真。（3）在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个LPF，它们分别有什么作用？ 答：在A/D变换之前让信号通过一个LPF是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。次滤波器称为抗折叠滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个LPF，是为了滤出高频延拓谱（滤除不需要的高频分量），以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，称之为平滑滤波

3、器。（4）FIR滤波器和IIR滤波器各自主要的优缺点是什么？各适用于什么场合？答：FIR滤波器，系统的单位冲激响应h (n)在有限个n值处不为零系统函数H(z)在|z|>0处收敛，极点全部在z = 0处(因果系统),结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中(例如频率抽样结构)也包含有反馈的递归部分。设FIR滤波器的单位冲激响应h (n)为一个N点序列，0 n N -1，则滤波器的系统函数为:H(z)=h(n)*z-n 就是说，它有(N-1)阶极点在z = 0处，有(N-1)个零点位于有限z平面的任何位置。IIR滤波器优缺点：IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形

4、式。IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。 IIR数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。在设计一个IIR数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。需加相位校准网络，IIR数字滤波器的相位特性不好控制，

5、对相位要求较高时，需加相位校准网络。（5）设计IIR数字滤波器时，通常先设计模拟滤波器，然后通过模拟S域到数字Z域的变换，将模拟滤波器转换成数字滤波器，请说明一个好的S到Z的变换关系需要考虑哪些因素，并说明脉冲响应不变法是否满足这些条件？答：双线性变换法是将整个s平面映射到整个z平面，其映射关系为：-+ 双线性变换法克服了脉冲响应不变法从s平面到z平面的多值映射的缺点，消除了频谱混叠现象。但其在变换过程中产生了非线性的畸变，在设计IIR数字滤波器的过程中需要进行一定的预修正。 用MATLAB双线性变换法进行IIR数字滤波器设计的与脉冲响应不变法设计的步骤基本相同： (1)输入给定的数字滤波器设

6、计指标；(2)根据公式W2TtanJB(w2JB)进行预修正，将数字滤波器指标转换成模拟滤波器设计指标；(3)确定模拟滤波器的最小阶数和截止频率；(4)计算模拟低通原型滤波器的系统传递函数；(5)利用模拟域频率变换法，求解实际模拟滤波器的系统传递函数； (6)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器。脉冲响应不变法是一种将模拟滤波器转化为数字滤波器的基本方法。它利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可从不同的角度出发。2、假设系统输入输出关系为： 假设xn=n/2，n=0，1，20，编写Matlab程序给出序列xn的输出yn、序列xn-10的响应

7、序列ydn以及序列yn-ydn+10的图形，并说明上述系统是否是时不变系统。（10分） 解： 性时不变系统是根据系统输入和输出是否具有线性关系来定义的, 叠加原理的系统具有线性特性, 时不变系统:就是系统的参数不随时间而变化，即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是从出现的时间不同。用数学表示为Tx(n)=yn则 Tx(n-n0)=yn-n0，这说明序列x(n)先移位后进行变换与它先进行变换后再移位是等效的，上述系统为时不变系统。程序清单：n=0:20;x=n/2;n1=0:3:12;n2=0:3:57;y=zeros(length(n1),1);for i=1:lengt

8、h(n1) y(i)=x(n1(i)/3+1);endxd=zeros(20,2);for i=1:20if (i<=10)xd(i)=0;elsexd(i)=x(i-10);endendyd=zeros(length(n2),1);for i=1:length(n2)yd(i)=xd(n2(i)/3+1);endsubplot(3,1,1);plot(y);title(' xn的输出yn');subplot(3,1,2);plot(xd);title('序列xn-10的响应序列ydn');subplot(3,1,3);plot(yd);title(

9、9;序列yn-ydn+10');图形：3、已知模拟信号，现以采样频率对其进行均匀采样，得到离散时间信号。假设从时刻开始采样，共采样个点，分析以下问题：（20分）（1）写出的表达式；（2）判断是否为周期序列，如果是周期序列，确定其最小周期；（3）如果使用FFT对进行频谱分析，并能分辨出中的频率成份，请确定最小的值是多少？（4）编写基于FFT算法对该信号进行频谱分析的Matlab程序，参数使用（3）中确定的参数，绘制出信号的时域图形和频谱图。（5）在采样点数不变的情况下，通过补零可以增大的长度，补零增长后再基于FFT进行频谱分析，谱分析的分辨能力是否有所提高，为什么？ 解：采样周期： T=

10、1/f=0.0005s x(n)的表达式为： x（n）=x（n*T）=cos（2*100n*T）+cos（2*500n*T） 整理得：x(n)=cos(0.1n)+cos（0.5n） （2）判断x（n）是否为周期序列，如果是周期序列，确定其最小周期，设信号周期为T，则根据周期性定义有关系：x（n）=x（n+T）带入x（n）的表达式得0.1n=2k，0.5n=2m其中k，m取整数，最终算的最小周期为T=50s （3）如果使用FFT对 x（n）进行频谱分析，并能分辩出x（t）中的频率成分，请确定最小的N，可知FFT最小频率分辨力为根据题目知，代入公式得N=50 （4）程序代码：Clear all

11、; close all;Fs=500; N=50; t=(0:N-1)*(1./fs);n=0:N-1;Xn=cos(2*pi*100*t)+cos(2*pi*500*t);Subplot(2,1,1)Stem(n,xn,fill);Xlim(0,60);Xlabel(n);ylabel(xn);Title(离散序列)；Grid on;M=50;n=0;m-1;f=500*n/m;Xk=fft(xn,m);Subplot(2,1,2);Stem(f,abs(xk),fill);Xlim(0,250);Xlabel(f); ylabel(x(f)2);Title(离散序列频谱)Grid on；图

12、形：（5）信号的补零，不会引入更多信息，因此只能提高DFT分析的频谱密度，而无法提高DFT分析频谱分辨力，提高频谱分辨力在采样频率一定的情况下，只能通过增加对信号的采样点数来实现。4、编写Matlab程序产生截止频率在0.4处、长度分别101、61、21的三个因果FIR低通滤波器的冲激响应，分别画出它们频率响应的幅度谱和相位谱，并说明序列长度变化对其频率响应的影响。（20分）解：程序清单：clear allWc=0.4*pi;N=101;w1=boxcar(N);n=1:1:101;hd=sin(Wc*(n-51)./(pi*(n-51);hd(51)=Wc/pi;h1=hd.*rot90(w

13、1);>> H1,W=freqz(h1);>> figure(1);subplot(3,1,1);stem(hd);title('冲击响应');axis(0 60 -0.1 0.3);ylabel'hdn'xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB');grid on;>> subplot(3,1,2);plot(W/pi,20*log10(abs(H1)/max(H1);subplot(3,1,3);freqz(hd.*w1'),1,512);title('相位

14、响应');axis(0 1 -2000 1000);>> ylabel('相位/°');5、已知离散系统的状态空间模型为： 其中系统噪声和量测噪声是相互独立的白噪声，且，；利用系统模型产生500个测量数据Z，并给定初始条件为：初始状态X=0，误差方差阵，试求：（30分）（1）用Matlab编写离散系统的Kalman滤波程序，并画出状态变量和的估计曲线。（2）当时，误差方差阵的值。解：程序清单：clearN=200;w(1)=0;w=randn(1,N)x(1)=0;a=1;for k=2:N;x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);endV=randn(1,N);q1=std(V);Rvv=q1.2;q2=std(x);Rxx=q2.2; q3=std