第4章机械振动

1、1第第 4 章章(Vibration and wave)2 一般地说，任何一个一般地说，任何一个物理量物理量在某一量值在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为附近随时间作周期性变化都可以称为振动振动。 振动有：振动有： 机械振动、电磁振动、光振动机械振动、电磁振动、光振动.。 力学中主要研究机械振动。力学中主要研究机械振动。 最简单最基本最有代表性的是最简单最基本最有代表性的是简谐振动简谐振动。学习中的重点和难点是：学习中的重点和难点是：相相(phase)34.1.1 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程 一质点沿一质点沿x轴作直线运动，取轴作直线运动，取平衡位置为坐标平衡位置为坐标原点

2、原点，若质点对平衡位置的位移，若质点对平衡位置的位移(坐标坐标)x随时间随时间t按按余弦变化，即余弦变化，即则称质点作则称质点作简谐振动简谐振动(谐振谐振)。注意：研究简谐振动时，坐标原点一定要取在平衡注意：研究简谐振动时，坐标原点一定要取在平衡位置。位置。x =Acos( t+ )运动学方程运动学方程4x =Acos( t+ ) 22 TA 振幅振幅 (对平衡位置最大位移的对平衡位置最大位移的绝对值绝对值)。 初相初相(t=0时的相时的相)。)22( t+ ) 相相(位相，相位，周相位相，相位，周相 )。三个特征量三个特征量 角频率角频率-A+Aox5kxxmmaF 2 a = d2x/dt

3、2= - 2x显然，它们都是简谐振动。显然，它们都是简谐振动。 动力学特性动力学特性k=m 2x =Acos( t+ )加速度：加速度：)tcos(Adtda 2速度：速度：)tsin(Adtdx , m= A, am= 2A4.1.2 简谐振动的特征简谐振动的特征等幅振动，等幅振动，A不变；不变；周期振动，周期振动，x(t)=x(t+T)。6( t+ )=0, x=A, =0 正最大正最大( t+ )在第在第1象限象限, x0, 0 ( t+ )=+ /2, x=0, 0 平衡位置平衡位置( t+ )在第在第2象限象限, x0, 0 ( t+ )= , x= -A, =0 负最大负最大( t

4、+ )在第在第3象限象限, x0( t+ )= 3 /2, x=0, 0 平衡位置平衡位置( t+ )在第在第4象限象限, x0, 0 ( t+ )=2 , x=A, =0 正最大正最大)tsin(Adtdx x =Acos( t+ )可见它们由相位唯一确定。可见它们由相位唯一确定。4.1.3 质点的振动状态完全由相位确定质点的振动状态完全由相位确定74.1.4 振动的超前与落后振动的超前与落后设有两个同频率的谐振动：设有两个同频率的谐振动： x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)0, 振动振动x2比比x1超前超前( 2 - - 1) 0 0 0a 0 0 0减减速速加

5、加速速减减速速加加速速 AA-A- A- 2A ax、 、a 的位相关系：的位相关系：9例例2 x1 =0.3cos( t ) x2 =0.4cos( t )23 x2 超前超前 x123 =0.4cos( t )2 x1 超前超前 x22 12)22(10一一.解析法解析法： x =Acos( t+ )角频率角频率 由由谐振系统确定。谐振系统确定。mk 对弹簧振子：对弹簧振子： 顺便指出，顺便指出，弹簧弹簧的串联和并联公式与的串联和并联公式与电阻电阻的串联的串联和并联公式是和并联公式是相反相反。 例如：一根弹性系数为例如：一根弹性系数为k的轻弹簧，均匀分成两的轻弹簧，均匀分成两段后，每段的弹

6、性系数是多少？段后，每段的弹性系数是多少？11111kkk kk21 11x =Acos( t+ ) = - - Asin( t+ ) o = - - Asin 当当t=0时，时，xo =Acos sinAo 222 xAooxtg 振幅振幅A和初相和初相 由由初始条件初始条件(即即t=0时刻物时刻物体的运动状态体的运动状态)来确定：来确定：222 ooxA 12解：解：22 T 2222 ooxA43m)tcos(x4322 得得x =Acos( t+ ),xoo1tg 例题例题2.1 质点沿质点沿x轴作谐振动轴作谐振动, 周期周期T= s, t=0时，时，,mxo2 , s/mo22 求振

7、动方程。求振动方程。13解：由解：由 m1g=k x , 得得161 x/gmk202 mk t=0时时, xo= - -2 cm, o=10 cm/s=2.06 cmxo oxot=0m222 ooxA 例题例题2.2 弹簧挂弹簧挂m1=80g时伸长时伸长4.9cm。用此。用此弹簧与弹簧与m2=40g组成一弹簧振子。将组成一弹簧振子。将m2从平衡从平衡位置向下拉位置向下拉2cm后，给予后，给予向上向上初速初速 o=10cm/s并并开始计时，试求振动方程。开始计时，试求振动方程。21714oox tg= 0.25 =14.04 =0.24 radt=0时时, xo= - -2cm, o=10c

8、m/s应取：应取： =0.24 + =3.38 (rad)所求振动方程为所求振动方程为 x =Acos( t+ ) =2.06cos(20t+3.38)cmxo oxot=0m A=2.06cm, =2015二二.旋转矢量法旋转矢量法oM =A负最大负最大 ( )平衡位置平衡位置(+ /2)平衡位置平衡位置(- /2) 矢量矢量oM绕绕o点以角速点以角速度度 作作逆时针逆时针的的匀速匀速转转动动, 端点端点M在在x轴上的投轴上的投影点影点(p点点)的位移：的位移： x =Acos( t+ ) 显然，显然，p点作简谐振点作简谐振动。动。 矢量矢量oM与与x轴正方向轴正方向间的夹角：间的夹角：(

9、t+ ) 相位相位正最大正最大 (0)动画演示动画演示MAox oM转一圈转一圈,就是谐振就是谐振动的一个周期动的一个周期T 。( t+ )px16ox例题例题2.3 求简谐振动质点的初相求简谐振动质点的初相 。(1)t=0时，时，xo= - -A, = 。 (2)t=0时，质点经过平衡时，质点经过平衡位置正向位置正向x轴正方向运动轴正方向运动, 则则 = 3 /2(或或 - - /2)。 (3)t=0时，时， xo=A/2，质点，质点正向正向x轴负方向运动轴负方向运动, 则则 =xo =Acos (4)t=0时，时， 质质点正向点正向x轴正方向运动轴正方向运动, 则则 =,Axo22 /3。

10、平衡位置平衡位置5 /45 /4。A /317解解 质点受弹性恢复力的作用，故作简谐振动。质点受弹性恢复力的作用，故作简谐振动。由由, xF42 ,k42 知知6 mk,xAoo222 oox tg直接用下述公式求直接用下述公式求A、 是困难的：是困难的：,T=12s。 例题例题2.4 质点质点m=9kg 在力在力 (N)的作用的作用下沿下沿x轴运动。当轴运动。当t=0，xo=0; t=1s, = 2m/s, 求求运动方程。运动方程。xF42 18于是：于是：)t(Ax26cos )t(Adtdx26sin6 t=1,)(A226sin6 38 A最后得：最后得：mtx)26cos(38 由由

11、t=0，xo=0， 知知 = /2。又因又因T=12s, t=1s, = - -20, 所以所以 = + /2。已知已知: t=0，xo=0; t=1s, = - -2m/s6 19解解：由：由 F=k x , 得得:25 m/k (1)t=0时时, xo= - -0.1m, o=0=0.1mxoxot=0m, = )m25cos(10 t.xx/Fk =200222 ooxA 例题例题2.5 弹簧在弹簧在60N的拉力下伸长的拉力下伸长30cm。 将将m(=4kg)从平衡位置下拉从平衡位置下拉10cm后静止释放后静止释放 (t=0)，求，求：(1)振动方程振动方程；(2)物体在平衡位置物体在平

12、衡位置上方上方5cm时时所受弹簧的拉力；所受弹簧的拉力；(3)物体从第一次越过物体从第一次越过平平衡位置到运动到上方衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间。处所需的最短时间。20oklmg kgm,k4200 ，lo=0.196m弹簧对物体的拉力弹簧对物体的拉力: F=k(lo- - 0.05) =29.2N (3)物体从第一次越过物体从第一次越过平衡位置到运动到上方平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间。处所需的最短时间。 tA= 10cm, 25 平衡条件平衡条件:s 074. 06 25A23 xoxot=0mxt=0(2)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm时时所受弹簧的拉

13、力所受弹簧的拉力;, = 21解解 (1) x=0.12cos( t )m3 (2)3cos(1202 t.dtda )3sin(120 t.dtdx - -0.19 (m/s)- -1.03(m/s2)t= 0.5t= 0.5 例题例题2.6 质点作简谐振动质点作简谐振动, T=2s, A=0.12m, t=0时，时，xo=0.06m, 向向x轴正方向运动，求：轴正方向运动，求： (1)振动方程；振动方程； (2)t=0.5s时的速度和加速度；时的速度和加速度； (3)x= - -0.06m,且向且向x轴负向运动时的轴负向运动时的速度和加速度速度和加速度; (4)从从x= - -0.06m,

14、且向且向x轴负向运动时刻回到平衡位轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。置所需的最短时间。22)3cos(1202 t.dtda )3sin(120 t.dtdx 32 ox2A3232cos12. 02dtda32sin12. 0dtdx= - -0.33(m/s)= 0.59(m/s2)。)t(3 相位：相位： (3)x= - -0.06m,且向且向x轴负向运动时刻的轴负向运动时刻的速度速度和加速度和加速度; (A=0.12m)23653223 旋转矢量转动的角速度：旋转矢量转动的角速度： = 旋转矢量转动过程所用的时间：旋转矢量转动过程所用的时间：st65 即即质点从质点从x = -

15、 -0.06m,且向且向x轴负向运动时刻回轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间为到平衡位置所需的最短时间为5/6 s。 x=0.12cos(3 t )mox2A32 (4)从从x = - -0.06m,且向且向x轴负向运动时刻回轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间：到平衡位置所需的最短时间：旋转矢量转过的角度：旋转矢量转过的角度：24 解解 周期周期T=8s，BxA. 例题例题2.7 质点作谐振动质点作谐振动, t=0时向右通过时向右通过A点，点，经经2s第一次通过第一次通过B点，再经点，再经2s质点第二次通过质点第二次通过B点，点， A= B，AB=10cm，求振动方程。，求振动方程

16、。 由于由于 A= B，所以坐标原点，所以坐标原点应在应在AB的中点。的中点。ot=0t=2t=442 T初相初相 =5 /4。4545 振幅：振幅：(cm)255522 A)cm454cos(25 tx25三三.曲线法曲线法cos80.x ( t )m2 oxt=01x(m)ot(s)0.826cos6 x( )cmt125 3 o xt 65 , t=2125 /363t=02x(cm)ot(s)6327 xt=0 x=8cos( )cm43 t43 t, A22 /443 , t=143 1x(cm)ot(s)824 t=0,24 oxA22 28 m = A= , A=2.4o x s

17、in2mm t 125 x = cos( )m2.465 t125 2 (m/s)ot(s) 2t=0,)sin( tmt=05 629一一.同频率平行同频率平行谐振动的合成谐振动的合成分振动：分振动：x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 ) 合振动：合振动： x= x1+x2= Acos( t+ ) (1)合振动仍是同频率的谐振动。合振动仍是同频率的谐振动。 (2)合振动的振幅和初相合振动的振幅和初相:22112211coscossinsintg AAAA )cos(212212221 AAAAA30 由余弦定理，合振动的振幅为由余弦定理，合振动的振幅为2211

18、2211coscossinsintg AAAA 合振动的初相：合振动的初相：M1A1 1 1MA2xoA A2 2 2M2)(cos212212221 AAAAAx= x1+x2= Acos( t+ ) x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )( ( 2-2- 1 1) ) 2 2A1cos 1A2cos 2A1sin 1A2sin 2)cos(212212221 AAAAA31 (3)合振动的强弱合振动的强弱,取决于两分振动的相位差：取决于两分振动的相位差： = 2 - - 1=2k , k=0, 1, 2, , A=A1+A2 , 加强加强=(2k+1) ,

19、k=0, 1, 2, , A=|A1-A2 |, 减弱减弱. . . . . .= x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )x= x1+x2= Acos( t+ )22112211coscossinsintg AAAA )cos(212212221 AAAAA32 1.公公式式法法=0.543 =- -36.86= - -0.64rad = - -0.64+ =2.5rad 合振动方程合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm已知：已知：A1=0.3, A2=0.4, 1= /2, 2= 22112211coscossinsintg AAAA )cos

20、(212212221 AAAAAx0.40.3 解解 x =Acos( t+ ) 例题例题3.1 x1 =0.3cos( t+ )cm x2 =0.4cos( t+ )cm 求合振动方程。求合振动方程。2 33 解解 x =Acos( t+ ) x1 =0.3cos( t+ )cm, x2 =0.4cos( t+ )cm2 2.旋旋转转矢矢量量x0.40.3A 50403022.A 434030tg . =36.86=0.64rad = - - =2.5 合振动方程合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm34 合振动方程合振动方程： x =0.04cos( t- - /2 ) m

21、x2x(m)t(s)x10.120.08o1 例题例题3.2 t=0时，时， x1 和和 x2的的振动曲线如图振动曲线如图所示，求合振动方程。所示，求合振动方程。 解解 由图由图可知，可知，x1与与x2是反相的。因而是反相的。因而 合振幅合振幅: A= 0.12- - 0.08=0.04; 合振动的初相合振动的初相: =- - /2 (振幅大的分振动的初相振幅大的分振动的初相) 合振动的角频率：合振动的角频率： =2 /T= 35 例题例题3.3 两个同方向、同频率的谐振动合成后，合两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅振幅A=20cm, 合振动与第一个振动的相差为合振动与第一个振动的相差为

22、 /6, A1=17.3cm, 求：求：(1)A2=? (2)两两振动的相差振动的相差( 2 - - 1)=?A1=17.3 1 1A=20 /6A2xo=10cm 由余弦定理：由余弦定理：6cos212122 AAAAA A2 2 2 解解 直接用公式直接用公式？22112211coscossinsintg AAAA )cos(212212221 AAAAA366sin)(sin212 AA 因因A=20, A2=10, 由由上式可上式可求出：求出：212 )( ( 2-2- 1 1) )A1=17.3 1 1A=20 /6A2xoA2 2 2(2)两两振动的相差振动的相差( 2- - 1)

23、=?用正弦定理有：用正弦定理有：37 例题例题3.4 求同方向、同频率、同振幅、求同方向、同频率、同振幅、相差均为相差均为 的的N个谐振动的合个谐振动的合振动振动方程。方程。 A解解 设设：x1 =Aocos t x2 =Aocos( t+ ) xn =Aocos t+(N- - 1) xAoDoRB CN Ao2sin2 RAo OBD:2sin2 NRA OBC:2sin2sin NAAO 38 AxAoDoRB CN Ao)(21 NBoC )(21 BoD2)1( NBoCBoD2)1(cos2sin2sin NtNAOx =Acos( t + )39二二.不同频率、平行不同频率、平行

24、谐振动的合成谐振动的合成分振动：分振动：x1 =Acos( 1 t+ ) x2 =Acos( 2t+ ), 且且 1 与与 2相差很小。相差很小。合振动：合振动： x= x1+x2= )tcos(tcosA 2222112 由于由于 1 与与 2相差很小相差很小,故故 1- - 2比比 1 + 2小得多小得多; 即即t2cos12 比比 的周期长得多的周期长得多！t2cos12 所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动振动拍拍:,tAxo)2cos(21 tAAo2cos212 40显然，拍频显然，拍频 (振幅振幅Ao的变化频率的变化频率)为

25、为 拍拍= 2- - 1 , 拍拍 = 2 - - 1 tAAo2cos212 xt)2cos(21 tAxo41 x =A1cos( t+ 1 ) y =A2cos( t+ 2 )(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx 在一般情况下在一般情况下,这是一个椭圆方程。这是一个椭圆方程。三三.同频率、相互垂直谐振动的合成同频率、相互垂直谐振动的合成 消去时间消去时间t，可得轨道方程：，可得轨道方程：42)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx (1)当当 2 - - 1=0时，上式退化为一直线：时，上式退化为一直线： xyxAAy12 合振动仍为

26、谐振动合振动仍为谐振动:)tcos(222122 AAyxrxyxAAy12 合振动仍为谐振动合振动仍为谐振动:22yxr )tcos(2221 AA(2)当当 2 - - 1= 时，上式也退化为一直线：时，上式也退化为一直线：43xy 2 - - 1= /2xy 2- - 1= - - /2 (3)当当 2 - - 1= /2时，上式为一时，上式为一椭圆椭圆：1222212 AyAx合振动不再是谐振动。合振动不再是谐振动。)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx左旋左旋右旋右旋44 =0 =/4 =/2 =3/4 = =5/4 =3/2 =7/4 (4) 其他相位差

27、的振动合成其他相位差的振动合成合振动的轨迹一般是长短轴有一定倾角的椭圆合振动的轨迹一般是长短轴有一定倾角的椭圆演示演示45四四.不同频率垂直谐振动的合成不同频率垂直谐振动的合成 电学测量中的应用：利用李萨如图形由已知频电学测量中的应用：利用李萨如图形由已知频率测量未知频率。率测量未知频率。 通常不同频率的垂直振动合成，其轨迹不能形成通常不同频率的垂直振动合成，其轨迹不能形成稳定图案。稳定图案。 而当两个分振动的频率具有简单倍数关系时，曲而当两个分振动的频率具有简单倍数关系时，曲线形成稳定的封闭曲线线形成稳定的封闭曲线李萨如图形李萨如图形。示波器演示示波器演示李萨如图形李萨如图形46 x y2

28、13 13 2 x = 0： y = 08 y 4 y 83 y 2 y y x047振动合成的反向操作：振动的分解。振动合成的反向操作：振动的分解。对于周期函数对于周期函数x=f(t)，周期为，周期为T=2/，可表示为，可表示为0coskkktkAx 称为称为傅里叶级数傅里叶级数，其中各参数称为傅里叶系数，各频率，其中各参数称为傅里叶系数，各频率称为基频及谐频。称为基频及谐频。 对于非周期函数，可用频率连续分布的积分来展开：对于非周期函数，可用频率连续分布的积分来展开： 0costdAx 称为称为傅里叶积分傅里叶积分。这两种分解展开统称。这两种分解展开统称傅里叶分析傅里叶分析方法。方法。在光

29、学和电子信息学中常用这种分析方法。在光学和电子信息学中常用这种分析方法。五五.振动的频谱分析振动的频谱分析4849方法：方法： 2 Txdtxda222 简谐振动的周期简谐振动的周期(频率频率)由振动系统确定。由振动系统确定。注意注意: :分析物体的受力、力矩或其它物理规律，分析物体的受力、力矩或其它物理规律，建立动力学方程建立动力学方程dtd222 50 解解 设木块质量为设木块质量为m、边长为、边长为b, 则平衡条件为则平衡条件为 mg= gb2h 牛二牛二: gb2(h- - x)- -mg=ma - - gb2x =ma,2hbmxhga ,hg ghT 22 比较：比较： a=- -

30、 2xoxhx 例题例题4.1 正方体形木块在水面上作谐振动，正方体形木块在水面上作谐振动，假设木块静止时吃水深度为假设木块静止时吃水深度为h(水面下的木块水面下的木块高度高度)，求振动周期求振动周期T=？51 解解 平衡条件平衡条件: kxo=mg，ox令令m位移位移x, 则则mg- -T1= maT1 R- -T2R =I T2 =k(xo+x)a=R 解得解得：xRImka22RImk 2 T比较：比较： a=- - 2xmT1RIkT2 例题例题4.2 求图示圆盘、弹簧系统的振动周求图示圆盘、弹簧系统的振动周期期 , 图中图中k、I、R、m为已知。为已知。52 例题例题4.3 角谐振动

31、角谐振动 刚体刚体(m、I)在竖直面内在竖直面内作作微小微小振动振动 , 质心到转轴的距离为质心到转轴的距离为hc，求振动，求振动周期。周期。 解解 由由M=I , 有有- -mghcsin =I 当当 很小很小( 5)时时, sin , 于是于是 Imghc 比较比较： ,Imghc cmghIT 2 )t(m cos hcoCmg 222 dtd复摆复摆53当当 5时，时，cmghIT 2 mglmlT22 gl 2 23122lmgmlT gl322 细棒细棒oloT=?如：单摆如：单摆l54CqU dtdILU 解解 电容电容电感电感 例题例题4.4 LC振荡电路振荡电路，求振动周期求

32、振动周期T=？可得动力学方程可得动力学方程qdtqd222LC12LCT22于是于是55x =Acos( t+ ) =- - Asin( t+ )振动势能：振动势能：221kxEp 振动动能：振动动能：221 mEk 注意到注意到: k=m 2 , 有有)t(Am 222sin21)t(kA 22cos21=恒量恒量221kAEEEpk 总能：总能：56 (1) Ek和和Ep随随t作周期性的变化；而且作周期性的变化；而且, Ek和和Ep的周的周期为其振动周期的二分之一。期为其振动周期的二分之一。)t(AmmEk 2222sin2121)t(kAkxEp 222cos2121EkAdtETETp

33、P2141120 (3)平均势能：平均势能：平均动能：平均动能：EkAdtETETkk2141120 221kAEEEpk =恒量恒量 (2)势能最大时势能最大时,动能最小动能最小;动能最大时动能最大时,势能最小势能最小。但系统的但系统的 总机械能守恒总机械能守恒。57(4)振动势能与弹性势能一般是不相同的。振动势能与弹性势能一般是不相同的。,kxEp221 振动势能：振动势能：其中其中x是对平衡位置的位移。是对平衡位置的位移。,kxEp221 弹性势能：弹性势能：其中其中x是弹簧的伸长量。是弹簧的伸长量。221kxEp 振振221)xx(kEop 弹弹例例221kxEEpp 振振弹弹xo(原

34、长原长)(平衡位置平衡位置)xmxomxo(原长原长)(平衡位置平衡位置)x58 例题例题5.1 光滑水平面，光滑水平面，k=24N/m, m(=6kg)静止在静止在平衡位置。设平衡位置。设F=10N使使物体物体向向左运动左运动s=0.05m再再撤去撤去。取物体运动到左方最远处开始计时，求：取物体运动到左方最远处开始计时，求：(1)物体的运物体的运动方程动方程; (2)何处何处Ek=Ep?解解 (1),kASF221 A=0.204,mk2 = x =0.204cos(2 t+ )m振动能量来源于外力的功振动能量来源于外力的功:smFkxo222 ooxA 59(2)何处何处Ek=Ep?221

35、kAE Ax22 pkEE 22kxEp ( A=0.204)m144. 0smFkxo60 例题例题5.2 当当m(=100g)处于平衡状态时处于平衡状态时,再用一拉再用一拉力使弹簧伸长后力使弹簧伸长后静止静止释放。已知物体在释放。已知物体在32s内完成内完成48次振动，振幅为次振动，振幅为5cm。 (1)上述的外加拉力是多大？上述的外加拉力是多大？ (2)当当物体在平衡位物体在平衡位置以下置以下1cm处时，此振动系统的动能和势能各为多少？处时，此振动系统的动能和势能各为多少？ 解解 (1)由于是静止释放，振动的振幅由于是静止释放，振动的振幅A就等于拉伸的长度就等于拉伸的长度l，于是有，于是

36、有 F=kAHz 5 . 13248mNmmk/88. 8)2(22lxomF=0.444N61 (2)当当物体在平衡位置以下物体在平衡位置以下1cm处时，此振动系统处时，此振动系统的动能和势能各为多少？的动能和势能各为多少？总能总能:221kAE =4.4410-4J势能势能:221kxEp =1.1110-2J动能动能: Ek=E-Ep=1.0710-2J,xA 求出求出或用或用222 221 mEk mNmmk/88. 8)2(22m=100g , A=5cmAxomF62 简谐振动是理想模型，其振动能量保持守恒，简谐振动是理想模型，其振动能量保持守恒，而现实中的振动总会有能量损耗。振幅随时间不而现实中的振动总会有能量损耗。振幅随时间不断衰减的振动叫断衰减的振动叫阻尼振动阻尼振动。 在考虑了阻力后，可将振动方程写为：在考虑了阻力后，可将振动方程写为：一一.阻尼振动阻尼振动02222xdtdxdtxdmmk2 ,2其中其中6302222xdtdxdtxdmmk2 ,2 这就是这就是阻尼振动的动力学方程阻尼振动的动力学方程，其中，其中即系统的即系统的固有频率，固有频率， 称为称为阻尼系数阻尼系数。 根据微分方程理论，其通解可以写成：根据微分方程理论，其通解可以写成：根据阻尼系数根据阻尼系数 ，对应了三种不同的运动状态：对应了三种不同的运动状态：欠阻尼状态、过阻尼