黑龙江省哈尔滨三中2015届高三二模数学试卷(理科)

1、黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1cos240°=( )ABCD2“x0”是“x0”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知i是虚数单位，则=( )A12iB2iC2+iD1+2i4设数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（nN*），则S6=( )A44B45C（461）D（451）5如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是( )A7B7C21D216如果执行下面的框图，运行结果为( )AB3CD47设ab0，则a+的最小值为( )A2B3C4

2、D3+28过双曲线=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A（1，）B（1，+1）C（+1，）D（，）9设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( )ABCD10棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为( )ABC3D311已知直线y=k（x+2）（k0）与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=3|FB|，则k=( )ABCD12若一个函数存在定义域和值域相同的区间，则

3、称这个函数为这个区间上的一个“保城函数”，给出下列四个函数：f（x）=x3；f（x）=3x；f（x）=sin；f（x）=2ln3x3其中可以找到一个区间使其成为保城函数的有( )A1个B2个C3个D4个二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13某产品的广告费用x（单位：万元）的统计数据如下表：广告费用x（单位：万元）2345利润y（单位：万元）264954根据上表可得线性回归方程=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为_14哈三中3名同学经过层层闯关，最终获得了中国谜语大会银奖，赛后主办方为同行的一位老师、两位家长及这三名同学合影留念，六人站成一排，则这三名同学相邻且

4、老师不站两端的排法有_种（结果用数字作答）15抛物线y2=x与直线x2y3=0所围成的封闭图形的面积为_16在四面体ABCD中，ADAB，ADDC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于_三、解答题（共5小题，07分）17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+acosB=（1）求A的大小（2）若c=3b，求tanC的值18春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为（2）若群主在只抢到2元以下的几人中随机选择3人

5、拜年，则选中的三人中抢到钱数在1元以下的人数为X，试求X的分布列及期望19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点（1）求证：AB1面BDC1；（2）若二面角AB1DA1大小为45°，求直线AC1与平面AB1D所成角的大小20已知F1（2，0）、F2（2，0）是椭圆+=1（ab0）的两个焦点，P为椭圆上的点，且的最大值为2（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点的直线l交椭圆于M、N两点，且|sin=cos，求l的方程（其中MON=，O为坐标原点）21已知函数f（x）=lnx+（1）当a=时，求f（x）在定义域上的单调区间；（2）若f（x

6、）在（0，+）上为增函数，求a的取值范围，并在此范围下讨论关于x的方程f（x）=x22x+3的解的个数请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲22如图，O是ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E（）求证：DC2=DEDB；（）若CD=2，O到AC的距离为1，求O的半径r选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为sin（+）=（其中t为常数）（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=2

7、时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离24已知函数f（x）=|2x+a|+x（1）当a=2时，求不等式f（x）2x+1的解集；（2）若f（x）|x+3|的解集包含，求实数a的取值范围黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1cos240°=( )ABCD考点：运用诱导公式化简求值 专题：计算题；三角函数的求值分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值解答：解：cos240°=cos（180°+60°）=cos60°=，故选：B点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在

8、化简求值中的应用，属于基本知识的考查2“x0”是“x0”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：由题意看命题“x0”与命题“x0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断解答：解：对于“x0”“x0”；反之不一定成立，因此“x0”是“x0”的充分而不必要条件，故选A点评：本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度3已知i是虚数单位，则=( )A12iB2iC2+iD1+2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数

9、系的扩充和复数分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故选D点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握4设数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（nN*），则S6=( )A44B45C（461）D（451）考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由an+1=3Sn（nN*），可得Sn+1Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，利用等比数列的通项公式即可得出解答：解：an+1=3Sn（nN*），Sn+1Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，S1=1，S2=3+1

10、=4数列Sn是等比数列，首项为1，公比为4Sn=4n1S6=45故选：B点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是( )A7B7C21D21考点：二项式系数的性质 专题：计算题分析：给二项式中的x赋值1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中的系数解答：解：令x=1得展开式的各项系数之和2n，2n=128，解得n=7展开式的通项为，令，解得r=6所以展开式中的系数是3C76=21故

11、选C点评：本题考查通过给二项式中的x赋值求展开式的系数和、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题6如果执行下面的框图，运行结果为( )AB3CD4考点：循环结构 专题：计算题分析：先由流程图判断其作用，即求数列=的前9项和，再对数列进行裂项求和即可解答：解：本框图的作用即求s=1+=1+（1）+（）+（）=3故选B点评：本题考察了算法的表示方法，程序框图的认识和意义，循环结构的流程规则7设ab0，则a+的最小值为( )A2B3C4D3+2考点：基本不等式 专题：不等式分析：由题意可得ab0，a+=（ab）+b，由基本不等式可得解答：解：解：ab0，ab0，a+=（ab）+b4=

12、4当且即当（ab）=b即a=2且b=1时取等号，a+的最小值为：4故选：C点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键8过双曲线=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A（1，）B（1，+1）C（+1，）D（，）考点：双曲线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先确定双曲线的渐近线斜率23，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值范围解答：解：由题意可得双曲线的渐近线斜率的范围为：23，=，e，双曲线离心率的取值范围为（，）

13、故选D点评：本题考查双曲线的性质：渐近线方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是运用离心率公式和渐近线斜率间的关系，属于中档题9设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( )ABCD考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：根据题意，区域D：表示矩形，面积为3到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，求出阴影部分的面积，即可求得本题的概率解答：解：区域D：表示矩形，面积为3到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为+=所求概率为P=故选：D点评：本题给出不等式组表示的

14、平面区域，求在区域内投点使该到原点距离小于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题10棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为( )ABC3D3考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，所得的组合体，其截面是一个梯形，上底长为=，下底边长为=2，高为：=，故截面的面积S=（+2）×=，故选：A点评：本题考查的

15、知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状11已知直线y=k（x+2）（k0）与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=3|FB|，则k=( )ABCD考点：抛物线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，根据|FA|=3|FB|，推断出|AM|=3|BN|，进而求得点B的坐标，最后利用直线上的两点求得直线的斜率解答：解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=2，直线y=k（x+2）（k0）恒过定点P（2，0）如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|

16、=3|FB|，则|AM|=3|BN|，设B（x1，y1），A（x2，y2），则x2+2=3（x1+2），y2=3y1，x1=点B的坐标为（，），k=故选：A点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，是中档题，解题要注意抛物线的基础知识的灵活运用12若一个函数存在定义域和值域相同的区间，则称这个函数为这个区间上的一个“保城函数”，给出下列四个函数：f（x）=x3；f（x）=3x；f（x）=sin；f（x）=2ln3x3其中可以找到一个区间使其成为保城函数的有( )A1个B2个C3个D4个考点：函数的值 专题：综合题；函数的性质及应用分析：根据“等值区间”的定义，要想说明函数存在“等值区间”，只要举出

17、一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“等值区间”，可以用反证明法来说明由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案解答：解：对于函数f（x）=x3存在“等值区间”，如 x时，f（x）=x3对于函数f（x）=3x，若存在“等值区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有3a=a，3b=b，即方程3x=x有两个解，即y=3x和y=x的图象有两个交点，这与y=3x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故不存在“等值区间”对于函数f（x）=sin，存在“等值区间”，如 x时，f（x）=sin；对于f（x）=2ln3x3，由于函数是定义域内的增函数，故有2ln3x3=x有两个解，不成立，所以不存在“等值区间”故

18、选：B点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，考查了函数的值域，在说明一个函数没有“等值区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于创新题二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13某产品的广告费用x（单位：万元）的统计数据如下表：广告费用x（单位：万元）2345利润y（单位：万元）264954根据上表可得线性回归方程=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为49考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：设为a，求出=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，即可求得a的值

19、解答：解：设为a，则由题意，=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，a=49故答案为：49点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键14哈三中3名同学经过层层闯关，最终获得了中国谜语大会银奖，赛后主办方为同行的一位老师、两位家长及这三名同学合影留念，六人站成一排，则这三名同学相邻且老师不站两端的排法有72种（结果用数字作答）考点：计数原理的应用 专题：应用题；排列组合分析：由题意，三名同学相邻用捆绑法，老师不站两端，有2种选择，再考虑三名同学之间的排法，利用乘法原理，即可得出结论解答：解：由

20、题意，三名同学相邻用捆绑法，则可理解为四个人排队，老师不站两端，有2种选择，其余=6种方法，三名同学之间有=6种方法，故共有2×6×6=72种方法故答案为：72点评：本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于相邻的问题，一般采用捆绑法来解15抛物线y2=x与直线x2y3=0所围成的封闭图形的面积为考点：定积分在求面积中的应用 专题：计算题；导数的概念及应用分析：由题设条件，需要先求出抛物线y2=2x与直线y=4x的交点坐标，积分时以y作为积分变量，计算出两曲线所围成的图形的面积解答：解：由抛物线y2=x与直线x2y3=0解得，y=1或3故两

21、个交点纵坐标分别为1，3，则围成的平面图形面积S=故答案为：点评：本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，解题的难度是不一样的16在四面体ABCD中，ADAB，ADDC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于2考点：异面直线及其所成的角 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：如图所示，长方体中，ADAB，ADDC，若AD与BC成角60°，则BCE=60°，即可求出BC解答：解：如图所示，长方体中，ADAB，ADDC，若AD与BC成角60°，则BCE=60°，AD=，CE=，BC=2故答案

22、为：2点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键三、解答题（共5小题，07分）17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+acosB=（1）求A的大小（2）若c=3b，求tanC的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：计算题；三角函数的求值；解三角形分析：（1）运用正弦定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，结合同角的基本关系式，化简整理，即可得到A；（2）运用三角形的内角和定理和正弦定理，结合同角的商数关系，化简整理，即可得到所求值解答：解：（1）由正弦定理可得，sinAsinB+sinAcosB=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAco

23、sB+cosAsinB，即有sinAsinB=cosAsinB，即tanA=，0A，则A=；（2）由A=，则B+C=，由正弦定理，可得c=3b，即为sinC=3sinB，即sinC=3sin（C）=3（cosC+sinC），即有sinC=3cosC，则tanC=3点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查三角函数的化简和求值，运用两角和差的正弦公式和诱导公式是解题的关键18春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为则椭圆方程为+=1；（2）椭圆的左焦点为

24、F1（2，0），则直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程得：（3k2+1）x2+12k2x+12k26=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，=|cos0，|sin=，即SOMN=，|MN|=|x1x2|=，原点O到m的距离d=，则SOMN=|MN|d=，解得k=±，l的方程为y=±（x+2）点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点解题时要认真审题，仔细解答21已知函数f（x）=lnx+（1）当a=时，求

25、f（x）在定义域上的单调区间；（2）若f（x）在（0，+）上为增函数，求a的取值范围，并在此范围下讨论关于x的方程f（x）=x22x+3的解的个数考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1）a=时，求出f（x），然后求f（x），根据该导数的符号判断函数f（x）的单调区间即可；（2）求f（x）=，从而得到x2+（2a）x+10在x（0，+）上恒成立，根据判别式的取值情况并结合二次函数的图象即可求出a的范围而判断方程f（x）=x22x+3解的个数，就是判断函数f（x）和函数x22x+3的交点个数，容易发现函数f（x）递增的速度小于lnx递增的速度，

26、从而通过函数f（x）和x22x+3的图象即可找到原方程解的个数解答：解：（1）a=时，f（x）=，f（x）=；x时，f（x）0；x时，f（x）0；f（x）在定义域上的单调增区间为（0，），（2，+），单调减区间为；（2）f（x）=；f（x）在（0，+）上为增函数；f（x）0在（0，+）上恒成立；x2+（2a）x+10在（0，+）上恒成立；设g（x）=x2+（2a）x+1，则：若=（2a）240，即0a4时，满足g（x）0在（0，+）上恒成立；若0，即a0，或a4时，g（0）=10，a还需满足：；a2；此种情况下a0；综上得a的取值范围为（，4；由于当x趋向0时，lnx趋向负无穷；x趋向正无穷时

27、，lnx+趋向正无穷，所以画出函数y=lnx+和y=x22x+3的图象如下：只要a4，函数f（_x）=lnx+递增的速度都小于lnx递增的速度；y=lnx的图象会在直线y=x的下方，而y=x22x+3的图象在y=x的上方；函数y=lnx+和y=x22x+3的图象没有交点；原方程无解点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据导数求函数单调区间的方法和过程，当二次函数在区间（0，+）上恒大于0时，能够限制函数中的系数，熟悉并能画出二次函数图象，以及根据递增速度画函数图象，以及根据图象求方程解的方法请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选

28、讲22如图，O是ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E（）求证：DC2=DEDB；（）若CD=2，O到AC的距离为1，求O的半径r考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质 专题：选作题分析：（I）先证明BCDCED，可得，从而问题得证； （II）ODAC，设垂足为F，求出CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得O的半径解答：（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得ABD=CBDABD=ECDCBD=ECDBDC=EDCBCDCEDCD2=DEDB （II）解：设O的半径为RD是弧AC的中点ODAC，设垂足为F在直角CFO中，OF=1，OC=

29、R，CF=在直角CFD中，DC2=CF2+DF2R2R6=0（R3）（R+2）=0R=3点评：本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为sin（+）=（其中t为常数）（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程 专题：直线与圆分析：（1）把曲线M的参数方程化为 y=x21，把曲线N的极坐标方程化为 x+yt=0曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围（2）当t=2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，