备战2026高考数学-八大专项41小项助你死磕直线圆锥曲线4题型结论1

TOC\o"1-5"\h\z\u第三章题型结论篇 41面积荟萃 4三角形的面积常用公式 4三角形面积分割公式(重点掌握) 6“渐近线”三角形面积公式 10三角形和四边形的坐标面积公式 12利用比例转化面积——向定点靠拢 15面积最值的求法 20二元均值不等式 20三元均值不等式 20二次函数型 21求导型 21四边形 22先把四边形面积转为三角形面积 28面积比的转化 29面积差的转化 38算两次面积 39利用三角形面积公式和向量点乘求夹角 39利用三角形面积公式和余弦定理 422四点共圆专题 43圆幂定理法 43斜率互反型 44斜率法(圆周角相等或对角互补) 50定义法(定圆心算半径) 52曲线系法 533圆的其他相关问题 54圆的双根式方程的应用 54点和圆的位置关系(利用向量判断夹角的范围) 59圆锥曲线与圆的综合 624向量vs圆锥曲线 70常规题目 70向量的通法——坐标代入法 71韦达定理 71题型：AB=λBC

或

AB=λAC 72题型：OA=λOB+μOC 76向量⟹距离 80距离(面积)⟹向量 81向量和韦达定理 85向量和向量分解(向定点靠拢) 88向量和投影 905椭圆定值-b2a2的串讲 91性质一 91性质二和三 98性质四 101性质五 102性质六 1066重心三角形 106椭圆的重心三角形 106抛物线的重心三角形 1117位似共心椭圆 1128直角弦专题 116椭圆和双曲线的直角弦 116等面积法的应用 118抛物线的直角弦 1299直线和单圆锥曲线 130圆锥曲线的统一定义及内外部区域 130直线与椭圆的位置关系 130直线与抛物线的位置关系 132直线与双曲线的位置关系 134点、直线、圆锥曲线(和圆类比) 141线段与圆锥曲线的公共点问题 144综合题集 14710直线和双圆锥曲线 15012二次曲线相交问题 15513圆锥曲线vs线性规划 16614平几性质vs圆锥曲线 169相似三角形 169不仅有解析，还有几何 174直角三角形的性质和判定 175全等三角形 180平行四边形的判定 181点差法 181中点 182

第三章题型结论篇1面积荟萃三角形的面积常用公式1.（分别表示a、b、c边上的高）；2.（两边一夹角）；3.（r为△ABC内切圆半径，半周长）．例(2011北京理压轴)曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则的面积不大于．其中，所有正确结论的序号是．解设曲线C上一动点为，则…；①曲线C经过原点，将原点代入，可得，与条件矛盾；②将代入，显然成立，故②正确；③若点P在曲线C上，则，进而，故③也是正确的．【解题时，选择合适的面积公式，很关键！】综上所述，所有正确结论的序号是②③．例(2005福建文压轴、理)已知方向向量为的直线l过点和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．(1)

求椭圆C的方程；(2)

是否存在过点的直线m交椭圆C于点M、N，满足（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．解(1)

斜率为k的直线的方向向量为，因此，直线l为，进而可得．过原点且垂直l的直线方程为，与l联立可得，故，，因此，椭圆C的方程为．【也可以利用对称点公式求解，此处略！】(2)

由可得：．设，，设直线m为：，与椭圆联立：，则，整理得，解得或，故直线m的方程为或或．例(2007陕西文压轴、理)已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．(1)

求椭圆C的方程;(2)

设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．例已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过、两点．(1)

求椭圆E的方程；(2)

若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解(1)

设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∵椭圆E经过A(－2，0)、B(1，eq\f(3,2))两点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＝1,\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1))，∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)

设M(x1，y1)、N(x2，y2)，不妨设y1＞0，y2＜0，如图，设△FMN的内切圆的半径为R，则S△FMN＝eq\f(1,2)(|MN|＋|MF|＋|NF|)R＝eq\f(1,2)[(|MF|＋|MH|)＋(|NF|＋|NH|)]R＝4R，当S△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大，又S△FMN＝eq\f(1,2)|FH||y1|＋eq\f(1,2)|FH||y2|，|FH|＝2c＝2，∴S△FMN＝|y1|＋|y2|＝y1－y2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，则Δ＝(6m)2＋4×9(3m2＋4)＞0恒成立，y1＋y2＝eq\f(－6m,3m2＋4)，y1·y2＝eq\f(－9,3m2＋4)，∴y1－y2＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\f(－6m,3m2＋4)2－4×\f(－9,3m2＋4))＝eq\f(12\r(m2＋1),3m2＋4)，∴S△FMN＝eq\f(12\r(m2＋1),3m2＋4)，设eq\r(m2＋1)＝t，则t≥1，且m2＝t－1，∴S△FMN＝eq\f(12t,3t－12＋4)＝eq\f(12t,3t2＋1)，设f(t)＝eq\f(12t,3t2＋1)，则f′(t)＝eq\f(12－36t2,3t2＋12)，∵t≥1，∴f′(t)＜0，∴函数f(t)在[1，＋∞)上是单调减函数，∴fmax(t)＝f(1)＝3，即S△FMN的最大值是3∴4R≤3，R≤eq\f(3,4)，即R的最大值是eq\f(3,4)，∴△FMN的内切圆的面积的最大值是eq\f(9π,16)，此时，m＝0，直线l的方程是x＝1．三角形面积分割公式(重点掌握)如图，在△ABC中，轴，A、B的纵坐标分别为，则．这个思想，在圆锥曲线的面积问题很常用！！譬如，下面以椭圆为例．(1)

定点在x轴如图，已知定点，过定点直线和圆锥曲线交于、两点，则．(2)

定点在y轴类似的，如果定点、在y轴上，则．注①定点M和直线的截距N是匹配的！！因此，定点在哪个轴上，就去求哪个截距，然后分割出定长．②此法不需要计算弦长！！而且，后面的，可以直接利用得到．③对于抛物线，参见抛物线的定点三角形面积公式专题．④一般情况下，在解析几何大题中，三角形的面积计算都优先使用这个方法！实际上，利用弦长乘高的面积公式，在计算化简后，和面积分割公式的结果是一致的，但是，明显会废纸费时，可结合例题体会！．例(2012北京理)已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆C交于不同的两点M、N．(1)

求椭圆C的方程；(2)

当△AMN得面积为时，求k的值．解(1)

；(2)

利用面积分割：，易得．例(2014新课标Ⅰ理)已知点，椭圆的离心率为；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)

求E的方程；(2)

设过点A的动直线l与E相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的直线方程．解(1)

；(2)

当轴时，不合题意，故可设直线，，，直线和椭圆联立：，，由，可得．利用面积分割，易得，因此，，当且仅当，即时取等号！因此，直线l的方程为或．注①对于求最值的基本功也要扎实，此类题型，主要思路：直接均值不等式、换元＋均值不等式或者对勾函数！比如上面，如果想不到直接均值不等式，就老老实实换元：令，则，，当且仅当，即，即时取等号！②知道背景的话（参见后面的的专题），很显然，面积最大为，再结合，即，即．例(2006江西文理)如图，椭圆的右焦点，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．(1)

求点P的轨迹H的方程；(2)(理)在Q的方程中，令、．确定的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？(2)(文)在Q的方程中，令、．设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N．当为何值时，为一个正三角形？OOPAFBDxy解(1)

利用替换法则易知点P的轨迹H的方程为：，依旧是椭圆．具体证明可以利用点差法，注意利用点差法要讨论斜率为0和不存在两种情况！设，，，当直线AB不与坐标轴平行时，利用点差法：，即，又，可得：，即为…当直线AB不与坐标轴平行时，点P为或，亦满足；综上所述，点P的轨迹H的方程为．(2)(理)由于，当时，取得最大值，故，，则椭圆Q的方程为．利用面积分割，可得，设直线m为：，与椭圆Q联立，…，利用均值不等式，易得当，即直线m和x轴垂直时，三角形ABD的面积取得最大．练习(2008湖北理)如图，在以点O为圆心，为直径的半圆ADB中，，P是半圆弧上一点，，曲线C是满足为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．(1)

建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)

设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积不小于，求直线l斜率的取值范围．例如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为．(1)

求椭圆E的标准方程；(2)

证明：点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3)

求△BCD面积的最大值．解(1)

；(2)

设，，，则，消去y得：，因此，点D在定直线上运动．(3)

对于，令，可得：，因此，△BCD面积为：．又，即，当且仅当取得等号，因此，△BCD面积的最大值为．“渐近线”三角形面积公式如图，设直线OA、OB的方程分别为：、，，，，则．注具体证明和更多应用参见前面的渐近线专题．例(2014福建理)已知双曲线的两条渐近线分别为、．(1)

求双曲线E的离心率；(2)

如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线于A、B两点（A、B分别在第一，四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．解(1)

由于

，故．(2)

此题是送分题，探索型的问题，利用套路，由特殊到一般地求解即可！同时，计算面积，依旧优先尝试使用分割法！由(1)知，双曲线的方程为，设直线l与x轴交于点C，当直线轴时，由于直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则，，故，解得，此时，双曲线E的方程为．因此，若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为．下面证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线也满足条件．设直线l的方程为，与双曲线联立：，由可得：…①．设，，则，同理可得：，设直线l与x轴的交点为，则，代入①可得，故双曲线符合题意．综上所述，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线．注(1)利用渐近线三角形面积公式，设直线OA的倾斜角为，则，故 ．显然，和面积分割相比，也没有特别的优势．(2)此题和下面例题的背景，参见前面的渐近线专题．例(2010重庆文压轴、理)已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．(1)

求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；(2)(理)如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．(2)(文)将理科的“求△OGH的面积”换成“求的值”，其他条件不变.解(1)

C的标准方程为，渐近线方程为；(2)(理)设点，点E在直线上，即，即点M、N在直线上，因此，直线MN的方程就是．【利用“同一法”求直线MN的方程，要熟悉套路！】利用分割法求面积，设直线MN和x轴的交点为，则；直线MN和两条渐近线联立，可解得：、，故．(2)(文)．三角形和四边形的坐标面积公式三角形在△ABC中，已知，，则△ABC的坐标面积公式为 ．四边形在四边形ABCD中，AC和BD是对角线，且，，则四边形的面积为 ，其中为AC与BD的夹角．注(1)

相关证明和更多内容和说明可参见前面的向量章节．(2)

在正规考试的大题中，最好不要直接使用，上面也已经给出了证明套路．(3)

和有关的题型，常用到三角形的坐标面积公式，具体参见相应的专题．例已知椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，且满足．(1)

求证：线段AB的长是一定值；(2)

若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率．解(1)

易得椭圆方程为，设，根据可得：，．因此，，即线段AB为定值3．(2)

法一设点法根据题意可知：，故直线PQ的方程为：，联立，解得，因此，．故四边形MPNQ的面积为： ，令，则，，因此，四边形MPNQ面积的最大值为4，当且仅当，即，时取得等号，此时．化成对勾函数，再利用均值不等式法二设线法设直线MN的斜率为k，则，故直线MN、PQ的方程分别为：、．联立，解得，用替换k得：，因此，，故四边形MPNQ的面积为：，当且仅当，即时取得等号．注对比发现，还是设线＋隐藏的替换，比较方便！例如图，已知为椭圆的右焦点，、、A为椭圆的下、上、右三个顶点，与的面积之比为．(1)

求椭圆C的标准方程；(2)

试探究椭圆C上是否存在不同于点、的一点P满足下列条件：点P在y轴上的投影为Q，PQ的中点为M，直线交直线于点N，的中点为R，且的面积为．若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．略解(1)

；(2)

存在，且点P的坐标为；设，则，易求得，利用坐标面积公式： ，即，解得．利用比例转化面积——向定点靠拢例(2014浙江文压轴)已知△ABP的三个顶点都在抛物线上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，．(1)

若，求点M的坐标；(2)

求△ABP面积的最大值．解(1)

由题意知，焦点为，准线方程为．设，由抛物线的定义知，，故，代入得：，即点P为或，结合，可得点M的坐标分别为或．(2)

设，，则直线AB的方程为：，则直线AB和y轴的交点为，结合，可得 ．由和得：，即，代入，变形整理得：，即，故 ．由于，当且仅当，即时取得等号，因此， ，即△ABP面积的最大值为．注对于抛物线和面积相关的题目，往往求面积最值的时候会用到三次均值，即，比如前面的“2009全国卷Ⅰ理”．例(2015山东理文压轴、理)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是．以为圆心以3为半径的圆与以为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.(1)

求椭圆C的方程；(2)

设椭圆，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线交椭圆E于A、B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(i)

求的值；(=2\*romanii)

求△ABQ面积的最大值．分析对于(i)，由于O、P、Q三点共线，利用定比分点或者极坐标（或三角函数定义法）都可以；(ii)按部就班，将△ABQ面积，利用比例关系转化为求定点三角形OAB的面积，再利用面积分割求面积即可．解(1)

设两个圆的交点为H，则，即，又，故，，椭圆C的方程：．(2)(i)

法一定比分点法设，，则，即，代入E可得：，又，故，解得．法二三角函数定义法设，则Q为，分别代入相应的椭圆方程，整理可得：，，故，即．(=2\*romanii)

直线AB和椭圆E联立：，…①．直线AB和椭圆C联立：，…②．由于，故，设，，直线AB和y轴的交点为，则，令，由①②可得：，故，当且仅当时，即时取得最大值，因此，△ABQ面积的最大值为．注估计有的同学会如下处理：，当且仅当，即时取等号！产生错误的原因可能有如下两个：(1)审题不清，没有发现隐藏的限制条件，即没有得到上面的限制条件②，估计多数同学会掉入这个坑里；(2)借助结论先入为主，即套用结论得到：最大，虽然大多数面积的题目的最大值都是这个结果，但是也不能一概而论，一定要具体问题具体分析，对于取得最值的等号的验证，也要谨慎细心！例(2014山东理压轴)已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)

求C的方程；(2)

若直线，且和C有且只有一个公共点E，(2)(=1\*romani)

证明直线AE过定点，并求出定点坐标；(=2\*romanii)

△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.解(1)

由于，故点D只能在点F的右侧，当时，△ADF为正三角形，作AM⊥FD，垂足为M，则，即，解得，C的方程为．(2)(=1\*romani)

设，由可得：，故，进而设直线，与抛物线联立：，由可得：，【或者在草稿纸上，利用替换法则，直接得到点E处的切线：，故．】进而可得：，，即点【由于，故直线AE必过定点】直线AE的方程为：【两点式的方程书写要熟练且细心！】，即为，故直线AE过定点．(=2\*romanii)

按部就班，将△ABE转化为关于某个定点三角形的面积的问题：由于直线AE过的定点是焦点F，故和可以利用焦半径表示，也方便转化为比例关系，因此，可以将△ABE转化为关于定点三角形ABF的面积的问题，即，同时，继续利用面积分割求的面积．故，此时只要求出即可．对A、D、B三点，利用抛物线的替换性质：，即，即．【可以借助抛物线的两点式直线方程快速书写答题步骤，此处略！】故，其中，当且仅当，即时取等号！故△ABE的面积存在最小值，且为16．例如图，已知过的直线l与抛物线相交于A、B两点（A在y轴左侧），满足．M是抛物线C上的一动点，过P作点M的对称点Q，连接AQ交抛物线C于N点，且M、N两点都在直线l下方，O为坐标原点．(1)

当时，求直线l的方程；(2)

当△ABN的面积最大时，求M点的横坐标（用p表示）．略解(1)

略；(2)设，，，，则直线AB的方程为，代入点得：…①，又，故…②，由①②可得：．如图所示，作PS∥BN交AQ于点S，对△APQ和割线BMN，利用梅氏定理： ，即，故，又，故，由于为定值，因此，当且仅当时，即时，△ABN的面积取得最大值．注也可以利用共线向量的套路，即“伸缩+算两次”：设，则 ，故，即．面积最值的求法二元均值不等式例(2013浙江理)如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交圆于A、B两点，交椭圆于另一点D．(1)

求椭圆的方程；(2)

求△ABD面积取最大值时直线的方程．解(1)

；(2)

设，，，易知直线的斜率必存在，故设直线为，则点O到直线的距离为，故，又，故直线为，【如果写成，还需讨论．】直线与椭圆联立：，解得，故，因此，，当且仅当时取等号，所以所求直线的方程为：．三元均值不等式和抛物线有关的最值问题一般要用到三次均值不等式．例(2012浙江文压轴)如图，在直角坐标系xOy中，点到抛物线的准线的距离为．点是C上的定点，A、B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．(1)

求p、t的值；(2)

求△ABP面积的最大值．分析此题作为压轴题，相对简单，对于第(2)小问．只需要选择合适的参数，把直线AB表示出来即可，牵扯到中点，联想到抛物线的中点斜率公式，并结合直线OM，易知直接设中点就可以了．此外，对于抛物线的面积最值问题，一般要用到三次均值，此题恰好也不例外！解(1)

由题意知：、，解得，．(2)

设，，线段AB的中点为，易知直线AB的斜率k存在且不为0，故，即，故直线AB为：，即，与抛物线联立：，则，，，故，点P到直线AB的距离为，因此，，令，则．则，当且仅当，即时取得等号，因此，△ABP面积的最大值为．二次函数型求导型例(2012浙江理)如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A、B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)

求椭圆C的方程；(2)

求△ABP的面积取最大时直线l的方程．解(1)

；(2)

设，，线段AB的中点为，当直线l的斜率不存在时，直线l为，与不过原点的条件相矛盾，故舍去．因此，直线l的斜率k必存在且不为0，则，又，可解得，设直线l为，与椭圆联立：，则，结合，可得，同时，．点P到直线l的距离为，故，令，则，由于，易知当且仅当时，取得最大值，亦即取得最大值．综上，所求直线l方程为．四边形例(2016全国Ⅰ理)设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．(1)

证明为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)

设点E的轨迹为曲线，直线l交于M、N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解(1)

圆A化成标准方程：，则A的坐标为，因为，则，由，则，所以，则，所以．所以E的轨迹为一个椭圆，方程为．(2)

法一；设，，，因为，设，联立l与椭圆可得：；故，，则；【硬解定理：】圆心A到PQ距离，所以，故，所以．法二由于直线MN过焦点，因此，也可以尝试利用极坐标进行处理！由于，故设，【】．在△MAB中，利用余弦定理，可得：，又，可得，同理，故．【这是变相使用极坐标的推导套路！！】直线PQ的方程为：，【不要写成含有的形式，不然还要讨论！】圆心A到PQ距离，故圆的弦长．故，由于，所以．例已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长为.(1)

已知点是椭圆上两点，点为椭圆的上顶点，的重心恰好是椭圆的右焦点，求所在直线的斜率．(2)

过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点，且，求四边形的面积最小时直线的方程．，所以．（1）由题意：，，解得，所求椭圆的方程为.设，∵，∴，根据题意，，即，.由①，②①②得，∴.（2）设，，，，则由题意：，即整理得：，即，所以.①若直线中有一条斜率不存在，不妨设的斜率不存在，则轴，所以，，故四边形的面积.②若直线的斜率存在，设直线的方程为：，则由，得，则，，，同理可求得，，故四边形的面积：（当取“=”），此时，四边形面积的最小值为，所以直线方程为：或.例(2014湖南理)如图，O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．已知，且．(1)

求的方程；(2)

过作的不垂直于y轴的弦AB的中点．当直线OM与交于P、Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．参考答案(1)，．(2)为了避免讨论直线AB斜率不存在的情况，且AB不垂直于y轴，故设直线AB的方程为．由得，，易知此方程的判别式大于0，设，则是上述方程的两个实根，所以，．因此，于是的中点为，故直线的斜率为，的方程为，即．代入得，所以，且，从而．设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，所以，因为点在直线的异侧，所以，于是，从而，又因为，所以，故四边形的面积，而，故当时，取得最小值2．综上所述，四边形在面积的最小值为2．注分析易知此题可知，将四边形面积分割成三角形计算，并不好处理，同时，有的同学会想到利用（为对角线AB、PQ的夹角），但是那个不知道该如何处理．如果去求高，把那两个高合到一块，不过，估计这一步多数学生在考场上也不易想到．既然面积最终肯定得化成坐标的形式，直接利用坐标面积公式，就可以直达目的，化繁为简．下面给出公式法作为类比．设，，，，则，，故，【那个“…”的过程不能省略，直接按照证法一的套路走一遍即可！】由上述可知直线AB为，直线PQ为，故，，代入整理可得：，由，即，又，【记忆力好的话，可以直接用硬解定理！】故，下略．例(2007全国Ⅰ文压轴、理)已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P．(1)

设P点的坐标为，证明：；(2)

求四边形ABCD的面积的最小值．略解(1)

观察图形，点P很显然是在椭圆内部，但是必须需要严格推理说明！由知点P在以线段为直径的圆上，即，故．(2)

当BD的斜率为0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积．当BD的斜率存在且不为0时，设直线BD为，则直线AC为．直线BD与椭圆联立：…，，同理可得．四边形ABCD的面积，当且仅当，即时，上式取等号．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．例(2005全国Ⅱ文压轴、理)如图，P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．解利用极坐标，即．例(2008北京理)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆上，对角线BD所在直线的斜率为1．(1)

当直线BD过点时，求直线AC的方程；(2)

当时，求菱形ABCD面积的最大值．略解(1)

直线BD为，因此，，设对角线交点为，利用中点点差法，…，可得，即，解得，进而易得直线AC的方程为．(2)

易知此时菱形ABCD面积为，设直线AC为，与椭圆联立：，，故，进而，因此，当时，菱形ABCD的面积取得最大值．先把四边形面积转为三角形面积例(2008全国卷Ⅱ文压轴、理)设椭圆中心在坐标原点，、是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．(1)

若，求k的值；(2)

求四边形AEBF面积的最大值．解(1)椭圆

为，由于，因此，设，则，直线与椭圆联立，解得．由可得：，，将点D的坐标代入直线AB的方程，即，即，化简得，解得或．(2)

不妨继续令F在第一象限，设，可得四边形AEBF面积： ，法一利用参数方程：令，，则，当且仅当时取得等号．法二利用基本不等式，故，当且仅当时取得等号，所以四边形AEBF面积的最大值．注如果推广至一般情况，对于椭圆，四边形AEBF面积为： ．面积比的转化例(2013湖北文压轴、理)如图，已知椭圆与的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m、2n()，过原点且不与x轴重合的直线l与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．记，△BDM和△ABN的面积分别为和．(1)

当直线l与y轴重合时，若，求的值；(2)

当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．解根据题意，可设，，其中，．设，，则，，根据对称性，易知点M、N到直线l的距离是相等的，故．(1)

当直线l与y轴重合时，易得，即，即，结合，可解得．(2)

假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得，根据对称性，不妨设直线l为，因此，，即．直线l与联立，可解得：、．故，即，由于，故，即，结合，可解得．因此，当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得．例(2011湖南理)如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．(1)

求的方程；(2)

设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点A、B．直线MA、MB分别与相交与D、E．(＝2\×

romani)

证明：MD⊥ME；(＝2\×

romanii)

记△MAB、△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l，使得？请说明理由．解(1)

的方程分别为：、．(2)

直线l的斜率必定存在，因此，设直线l为，与联立：，设，，则，．(＝2\×

romani)

由于，故MD⊥ME得证；【背景：过点的直线与抛物线交于A、B两点，则OA⊥OB．】(＝2\×

romanii)

法一由于MD⊥ME，显然是定点交叉双直线模型，可以利用替换技巧求出另一个交点．设直线MA为，与联立，…，解得点，同理可得点，因此，．直线MA与联立，…，解得点，同理可得点，因此，．故，解得或，进而，因此，满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为和．法二由于，因此，不妨令，，则．此时，对于，只需要设法把用含有的式子表示出来即可，设，，由可得：，代入，可解得，同理可得，故，解得．例(2013新课标Ⅱ理压轴)已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()．A． B． C． D．法一从应试的角度，肯定是利用“极限位置分析＋特殊值验证＋排除法”进行求解．当时，，排除A、D；当直线经过点和B、C的中点时，；当时，某个数（如果不放心，可以取，易求得），排除C，故选B．法二此题如果正面求解，利用常规路数，解坐标求面积，是比较繁琐的，此处给出一个相对简单的方法，即向量法．①当直线与边CA、CB分别交于点E、F时，设，则且．由于，易得，故且．设直线与y轴的交点为，则 ，由于D、E、F三点共线，故，即，由于且，故，进而易得．②当直线与边BA、BC分别交于点E、F时，设，则且．由于，易得，故．设直线与y轴的交点为，则， 即，即，由于D、E、F三点共线，故，即，由于，故．综上①②所述，可得．注法二思路来自重庆南开中学吴剑老师．例(2010北京理)在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(1)

求动点P的轨迹方程；(2)

设直线AP和BP分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解(1)

，设，则，即P点轨迹为：，由于点P和点A、B不重合，故．(2)

假设存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，并设，则，由于，故，即为，即为，解得，又，故．因此，存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，且点P的坐标为．练习如图，已知椭圆，其离心率为，两条准线之间的距离为．B、C分别为椭圆M的上、下顶点，过点的直线TB、TC分别与椭圆M交于E、F两点．(1)

求椭圆M的标准方程；(2)

若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．解(1)

；(2)

，，，直线，与椭圆方程联立：，解得；同理，直线，与椭圆方程联立解得． ，令，则，，当且仅当，即时，取得等号，所以k的最大值为．例(2016山东理压轴)平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点F是C的一个顶点.(1)

求椭圆C的方程；(2)

设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．(＝1\×

romani)

求证：点M在定直线上；(＝2\×

romanii)

直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为，△PDM的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．解(1)

焦点，故，又，故，椭圆的方程为．(2)

直线和双圆锥曲线问题，主动点为抛物线上的动点P，显然可以尝试用设点法处理！同时，有中点可以尝试利用中点点差法的结论！！为了方便后续的联立和计算，利用抛物线的参数方程设点，设，，由于，，可得切线，．(＝1\×

romani)

利用中点点差法的结论：，可得，因此，点M在定直线上．(＝2\×

romanii)

由于，其中点P、F、G、M的坐标都已知，只需要求出D的横坐标即可，显然，只要联立直线OM和切线l即可求出，即，解得．故，其中，当且仅当，即时取等号．因此，的最大值为，此时点P为．例如图，O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，且抛物线上点P处的切线与圆相切于点Q．(1)

当直线PQ的方程为时，求抛物线的方程；(2)

当正数p变化时，记分别为△FPQ、△FOQ的面积，求的最小值．略解(1)

；(2)

设，，则直线PQ的方程为：，故，即，代入得：．设直线PQ和y轴的交点为，利用面积分割，并代入，可得： ，当且仅当，即，时取得等号．注此题实际上，有一个小难点，就是的处理！！练习如图，已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D、E两点．(1)

若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；(2)

记△GFD的面积为，△OED（O为原点）的面积为．试问：是否存在直线AB，使得？说明理由．答案(1)

；(2)

不存在，计算可得．例如图，设A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A、B），交椭圆于C、D两点（点C在第一象限内），△ABC和△ABD的面积分别为与．(1)

若M是线段AB的中点，直线OM的方程为，求椭圆的离心率；(2)

当点M在线段AB上运动时，求的最大值．略解(1)

由，易得；(2)

设，，其中，．故，令，法一利用参数方程：令，，则，当且仅当时（此时时等号成立），可取得最大值．法二利用基本不等式，故，当且仅当时取得等号，同理可得结果．面积差的转化例已知椭圆过点，两点，设P为第一象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：△PMN与△PAB的面积之差为定值．提示．题源一(2016北京理)已知椭圆的离心率为，，，，△OAB的面积为1．(1)

求椭圆C的方程；(2)

设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：为定值．分析对于第(2)小问，画出草图，只有一个动点P，再结合题意，显然是利用设点法＋消椭圆方程进行求解！解(1)

；(2)

由题意得P不在顶点处，设，则．直线PA为，令，可得点，直线PB为，令，可得点，因此，，，故．题源二(2016北京文)已知椭圆过点，两点．(1)

求椭圆C的方程及离心率；(2)

设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．解(1)，；(2)四边形ABNM的面积为定值2；画出图形，易知四边形ABNM的面积为：，显然此题和理科的一样，只不过多穿了一件面积的马甲而已．例已知抛物线，如图，设A、B、C是抛物线T上任意不同的三点，且点A位于x轴上方，B、C位于x轴下方．直线AB、AC与x轴分