-(,)解的结构-常系数齐次

1、高阶线性微分方程解的结构 第7节1、线性齐次方程解的结构、线性齐次方程解的结构 2、线性非齐次方程解的结构、线性非齐次方程解的结构 第11章 二阶线性微分方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为 )()()(。xfyxqyxpy 1 0 :)(）为为齐齐次次方方程程时时，称称方方程程（当当 xf 0)()(。 yxqyxpy) 1 ()2(通常称通常称 ( 2 ) 为为 ( 1 ) 的的相对应的齐次方程相对应的齐次方程。 我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至自然推广至 n 阶线性方程中。阶线性方程中。 一、二阶齐次线性微分方程的性质

2、 和解的结构定理1 叠加原理是二阶齐线性微分方程是二阶齐线性微分方程和和若若 )( )( 21xyxy 0)()( yxqyxpy的解，则它们的线性组合的解，则它们的线性组合)()(2211xycxyc 也是方程也是方程 (2) 的解，的解，)2( ) ( 21。不一定相互独立不一定相互独立为任意常数为任意常数、其中其中cc0)()()(1)1(1)( yxpyxpyxpynnnn ) ., 2 , 1 ( )( 阶阶齐齐线线性性微微分分方方程程是是若若nnixyi 的解，则它们的线性组合的解，则它们的线性组合 niiixycxy1)()(也是方程也是方程 (2) 的解。的解。 ) ( ) ,

3、 2 , 1 ( 。不不一一定定相相互互独独立立为为任任意意常常数数其其中中nici )2(Q1：在什么情况下，叠加所得可以成 为方程 (2) 的通解？(1). 线性无关、线性相关（备用知识） )()( 21上有定义。上有定义。在区间在区间、设函数设函数Ixyxy 21，使得，使得和和若存在不全为零的常数若存在不全为零的常数cc 02211，Ixxycxyc )()( )( )( 21上是线性相关的。上是线性相关的。在区间在区间与与则称函数则称函数Ixyxy )( )( 21上是线性无关的。上是线性无关的。在区间在区间与与否则称函数否则称函数Ixyxy?时，才有时，才有当且仅当当且仅当 0 2

4、1 cc 0)()(2211，Ixxycxyc )( )( 21上线性无关。上线性无关。在区间在区间与与则则Ixyxy时，时，当且仅当当且仅当 21cxyxy )()( 21上线性相关。上线性相关。在区间在区间与与Ixyxy)()(时，时，当且仅当当且仅当 21cxyxy )()( 21上线性无关。上线性无关。在区间在区间与与Ixyxy)()(证证 线线性性无无关关的的。在在任任何何一一个个区区间间上上均均为为与与证证明明：xxsincos 12。常常数数因因为为Ixxxyxy tan)()( 线线性性无无关关的的。在在任任何何一一个个区区间间上上均均为为与与xxSosincos,例例结论：

5、二阶齐次线性微分方程解的结构 )()( 21是二阶齐线性方程是二阶齐线性方程、若若xyxy (2) 0)()( yxqyxpy的两个的两个线性无关的解，则，则)()()(2211xycxycxy 是方程是方程 (2) 的通解。的通解。二、 二阶非齐次线性微分方程 解的结构1. 解的性质解的性质是方程是方程若若 )(* xy)()()(xfyxqyxpy )( 1是其对应的齐方程是其对应的齐方程的一个特解，而的一个特解，而xy0)()( yxqyxpy的一个特解，则的一个特解，则)(*)(1xyxyy 是原方程的一个特解。是原方程的一个特解。是方程是方程若若 )( 1xy)()()(1xfyxq

6、yxpy )( 2是方程是方程的一个特解，而的一个特解，而xy)()()(2xfyxqyxpy 的一个特解，则的一个特解，则)()(21xyxyy 是方程是方程)()()()(21xfxfyxqyxpy 的一个特解。的一个特解。是方程是方程与与若若 )( )( 21xyxy)()()(xfyxqyxpy 的任意两个特解，则的任意两个特解，则)()(21xyxyy 是其对应的是其对应的齐次齐次方程方程0)()( yxqyxpy的一个的一个特解特解。是方程是方程若若 )(* xy)()()(xfyxqyxpy 是其对应的齐次方程是其对应的齐次方程的一个特解，而的一个特解，而)(xy0)()( yx

7、qyxpy的通解，则的通解，则)(*)(xyxyy 是方程是方程 (1) 的通解。的通解。) 1 ()2(由性质由性质1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。以及通解的概念立即可以得知该定理成立。思考题已知31 y，223xy ，xexy 233都是微分方程 16222222 xyxyxyxx的解，求此方程所对应齐次方程的通解.解答解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应是对应齐次齐次方程的解方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为 122231yyCyyCy .221xCeCx 故二者是故二者是线性无关线性无关的解的解

8、, 0 1 yxqyxpyxy)()()(是方程是方程如果已知如果已知 1线线性性无无关关如如何何求求出出方方程程的的一一个个与与)(xy 的一个解，的一个解， ? 2)(xy的解的解 0 Suppose1的一个非零解。的一个非零解。是方程是方程： yxqyxpyxy)()()( If1212则则线线性性无无关关的的解解，即即是是与与：),()()()()(xcxyxyxyxy )()()(12，xyxcxy 代入方程中，得 0)()()(2()()()(111111。 xcyxcyxpyxcyxqyxpy 1是方程的解，故得是方程的解，故得因为因为 y 0)()()(2(111。 xcyxc

9、yxpy )( xc关键是求出关键是求出怎么做？怎么做？ )( ，则有，则有令令xcz 0)(2(111。 zyxpyzy关于关于 z 的一阶线性方程的一阶线性方程=0即即 0 )(2111。 zyyxpyz故有故有 1212111， xxpxyyxpyeyexczd)(d)()(两边积分，得两边积分，得 d1)(d)(21， xeyxcxxp )( 1线性无关的解线性无关的解与与xy d )()()()(21d)(112。 xyexyxyxcxyxxp 0)()( 的通解为的通解为从而，方程从而，方程 yxqyxpy )()(2211。xyCxyCy 关于关于 z 的一阶线性方程的一阶线性方

10、程定理3（刘维尔公式） 0)()( )( 1的的一一个个非非零零解解，是是方方程程若若 yxqyxpyxy d )()(21d)(12xyexyxyxxp )( 1线性无关的解，且线性无关的解，且是方程的与是方程的与xy )()(2211xyCxyCy 为原方程的通解。为原方程的通解。则则 0 ，则则方方程程若若 )()()(xqxpxh 0)()()( yxqyxpyxh 。必有一解必有一解xey )()( ，即可得证。，即可得证。的特点：的特点：由函数由函数 xxxxeeee解解 02 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 0121 ，所以，方程有解，所以，方程有解因为系数满足：因为系数满

11、足： )(1。xexy 由刘维尔公式由刘维尔公式 d)()(2d)2(2，xxxxxexeeexy 故原方程的通解为故原方程的通解为 )(2121。xCCeexCeCyxxx 例例2 2作 业P375 (B) 2常系数 第8节齐次线性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化 第11章 将将 y erx代入方程代入方程 ypy qy 0得得 分析分析 考虑到当考虑到当y , y , y为同类函数时为同类函数时 有可能使有可能使ypy qy 恒恒由此可见由此可见 只要只要r满足代数方程满足代数方程

12、r2 pr q 0 函数函数 y erx 就是微分方程的解就是微分方程的解 2422 , 1qppr r2 pr q 0 叫做叫做 ypy qy 0 的特征方程的特征方程. 特征方程的求根公式为特征方程的求根公式为的的非非零零解解考考虑虑 0 yxqyxpy)()( 等于零等于零 而函数而函数erx具有这种性质具有这种性质 所以猜想所以猜想erx是方程的解是方程的解 (r2 pr q)erx 0 (1) 当当240pq 时时, 方程有两个方程有两个相异实根相异实根,21r ,r则微分方程有两个则微分方程有两个线性无关线性无关的特解的特解:11,r xye 22,r xye 因此方程的通解为因此

13、方程的通解为1212r xr xyC eC e 设设r1, r2是特征方程的两个根是特征方程的两个根:(2) 当当240pq 时时, 特征方程有特征方程有两相等实根两相等实根12rr 则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解2,p 11.r xye 21( )yyu x 设另一特解为设另一特解为, ( u(x) 待定待定).1r xe1()p ur u 0qu 211(2)ur ur u 1r注注意意是特征方程的重根是特征方程的重根0u 取取u=x, 得得12,r xyxe 因此原方程的通解为因此原方程的通解为112()r xyCC x e 1( )r xe u x 2111(2)()0urp

14、 urprq u 得得:代入原微分方程代入原微分方程0 qyypy(2) 当当240pq 时时, 特征方程有特征方程有两相等实根两相等实根12rr 则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解2,p 11.r xye (3) 当当240pq 时时, 方程有一对共轭复根方程有一对共轭复根12,riri这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:()1ixye (cossin)xexix ()2ixye (cossin)xexix 利用解的利用解的叠加原理叠加原理, 得原方程得原方程线性无关线性无关特解特解:12112()yyy 12212()iyyy cosxex sinxex 因此原方程的通解为

15、因此原方程的通解为12(cossin)xyeCxCx 1212r xr xyC eC e12rr 实根 212prr 112()r xyCC x e1 2 ,ri12(cossin)xyeCx Cx 特 征 根通 解(1) 写出微分方程的特征方程 r2+pr+q=0 (2) 求出特征方程的两个根 r1, r2 求 y +py +qy=0 的通解的步骤: (3) 根据特征方程根的不同情况, 写出微分方 程的通解. 因此微分方程的通解为因此微分方程的通解为 y C1e x C2e3x 例例1 求微分方程求微分方程 y2y 3y 0 的通解的通解 解解: 微分方程的特征方程为微分方程的特征方程为 r

16、2 2r 3 0 特征方程有两个不等的实根特征方程有两个不等的实根r11 r2 3 即即(r 1)(r 3) 0 例例2 求解初值问题求解初值问题22dd20ddssstt 04,ts d2d0st t 解解: 特征方程特征方程2210rr , 特征根为特征根为121,rr 因此原方程的通解为因此原方程的通解为12()tsCC t e 由初始条件得由初始条件得14,C 于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为(42 )tst e 22C 例例3 求微分方程求微分方程250yyy 解：解： 所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为2250rr 其根为其根为1,212ri , 故所求通解为故所

17、求通解为12(cos2sin2 )xye CxCx 的通解的通解.n阶常系数齐次线性微分方程的解阶常系数齐次线性微分方程的解例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程特征方程, 052234rrr特征根特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解为因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程特征方程:, 045rr特征根特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出不难看出, 原方程有特解原方程有特解), 132xexxx作 业P384 2(2) 朗斯基 ( Wronsky ) 行列式（备用知识-2） )()(