(IV)第九章第二讲复合求导,极值最值

1、第二讲多元复合函数及偏导数的应用 一、一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法则多元复合函数)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数且有链式法则vutt推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. , ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.),(, ),(, ),(yxvyxuvufz

2、xz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu例如,例如,yx又如,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里xzxfxz表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导xf表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导口诀口诀 :xfxvvfyvvf与不同,v分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导例例1. 设设,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(e

3、yxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx例例2.,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2例例3. 设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数

4、,etu ,costv 解解:tusintcos为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff二、全微分形式的不变性二、全微分形式的不变性设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd

5、)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.例例1 .,sineyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx例例 6.利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dy

6、x)(dyx )cos()sin(eyxyxxyx)d(dyx xdyd内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是中间变量,vvufuvufzvud),(d),(d一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二二、条件极值条件极值 二、二、多元函数多元函数的极值及其求法的极值及其求法一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值例如例如 :在点 (0,0)

7、 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzOxyzOxzyO(极小值).定理定理1 (必要条件)函数偏导数,0),(,0),(0000yxfyxfyx且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 该法失效 , 需另

8、行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC且例例2.2.求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,

9、 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例例3.讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负

10、负033yxz222)(yxz在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxzOxyz二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小值)(Pf为最小值( (大大) )( (大大) )依据例例4 4.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎

11、样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗

12、日乘数法.分析：分析：如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx设, )(xy)(,(xxfz例如例如,值问题, 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问