D31不定积分的概念与性质

1、高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学一元函数积分学第三章不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法定积分的概念与性质定积分的概念与性质不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法其他类型的不定积分举例其他类型的不定积分举例微积分基本公式微积分基本公式定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法定积分的几何应用定积分的几何应用定积分的物理应用定积分的物理应用反常积分反常积分高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积

2、分学 第三章 不定积分的概念与性质第一节三、基本积分公式三、基本积分公式 二、不定积分的性质二、不定积分的性质 一、一、 不定积分的概念不定积分的概念高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念定义定义 1 . 若在区间 I 上有( )( )F xf x，f (x)在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为例如：例如：3213xx313x是2x在, 上的一个原函数.3153x 也是2x在, 上的一个原函数.高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHIN

3、A第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学又如：又如：sincosxxsin x是cosx在, 上的一个原函数.sin xC也是在, 上的原函数.cosx再如：再如：21sin,1arcxxsinarcx是在1,1内的一个原函数.( 1,1)x 211xsinarcxC也是在1,1内的原函数.211x高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学问题：问题：什么样的函数存在原函数 ?若有原函数，有多少个？如果有多个原函数，它们之间有何关系？ 定理定理1. ,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数 。（证明将在第六

4、节给出）注注: : 由于初等函数在其定义区间上均连续，故,)()(的一个原函数是若xfxF定理定理 2. 的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)( C 为任意常数 ) 内 .证明证明初等函数都有原函数。高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学定义定义 2: )(xf在区间 I 内，函数 的带有任意常数的Ixf在)(上的不定积分,( )d .f xx 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;记作若, )()(xfxF则CxFxxf)(d)( 其中C 为任意常数，称为积

5、分常数积分常数 )原函数称为高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学不定积分的几何意义不定积分的几何意义CxFxxf)(d)(yxO0 x“平行”曲线族积分曲线例如,xxdeexC ；xxdsinCx cos( )f x函数在区间内的每个原函数的图形称为的一条积分曲线积分曲线. ( )f x高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.例例1. 设曲线通过点(1, 2),解答解答例例2.求1dxx解答解

6、答高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学(3)( ) dk f xx (4) ( )( )df xg xxxxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( kxdd) 1 (xxfd)()(xfdxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF二、不定积分的性质二、不定积分的性质注注: （1）（）（2）说明微分运算与积分运算有互逆性）说明微分运算与积分运算有互逆性12( )( )dk f xk g xx12( )d( )dkf xxkg xx高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CH

7、INA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学xkd) 1 ( k 为常数)Cxk (2)dxx111xC1(3)d xxCx ln) 1(2d(4)1xxarctan xC或Cx cotarc2d(5)1xxCx arcsin或Cx cosarc三、三、 基本积分公式基本积分公式高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学xxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tanxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotc

8、sc)11(Cxcsc高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学xxde)12(Cxexaxd)13(Caaxln例例3. 求求3d.xxx解答解答2 (e5)d .xxx例例4. 求解答解答2tand .x x例例5. 求解答解答高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学例例6. 求221d .(1)xxxxx解答解答42d .1xxx例例7. 求例例8. 求32(1)dxxx例例9. 求2sind2xx解答解答解答解答解答解答高等数学电子教案NORTH UNI

9、VERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学内容小结内容小结1. 不定积分的概念, 性质2. 直接积分法:恒等变形恒等变形积分性质积分性质基本积分公式基本积分公式本节完本节完高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学证证: 1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C它属于函数族.)(CxF即高等数学电子教案NORTH UNIVE

10、RSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲线过点 (1, 2) , 故有C2121C因此所求曲线为12 xyyx)2 , 1 (O例例1. 设曲线通过点(1, 2),高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学例例2.求1dxx解解: 当0 x时,1ln,xx在0,内，1dlnxxCx当0 x时,1ln,xx在,0内，1dlnxxCx综上知：1dlnxxCx高等数学电子教案NORTH UNIVERSIT

11、Y OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学例例3. 求求3d.xxx解解: 原式 =43dxx431133xC 413x C高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学2 (e5)d .xxx解解: 原式 (2e)5 2 dxxx (2e)ln(2e)x25ln2xe52ln2 1ln2xxCC例例4. 求高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学2tand .x x解解: 原式 =2(sec1)dxx2secddx xxCxx tan例例5.

12、求高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学例例6. 求221d .(1)xxxxx解解: 原式 =22(1)d(1)xxxxx21d1xxxxd1xarctanCx ln高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学42d .1xxx解解: 原式 =42(1)1d1xxx222(1)(1)1d1xxxx22d(1)d1xxxx31arctan3xxxC例例7. 求高等数学电子教案NORTH UNIVERSITY OF CHINA第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学解解: 原式 =