等差数列的性质优质课

1、等差数列重要拓展课题：等差数列重要拓展课题：导航：等差数列的定义和通项公式是处理等差数导航：等差数列的定义和通项公式是处理等差数列问题的出发点，化基本量进行计算是基本方法，列问题的出发点，化基本量进行计算是基本方法，但充分利用性质总可以使问题更加简便，事实上，但充分利用性质总可以使问题更加简便，事实上，学习任何数列都应当充分重视其性质的研究，我学习任何数列都应当充分重视其性质的研究，我们对函数研究时何尝不是同样的道理，们对函数研究时何尝不是同样的道理，Lets go!等差数列等差数列 几何意义几何意义通项通项公差公差定义定义AAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA 每一项与每一项

2、与它前一项的它前一项的差差 如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数. . . . . . . . . . .【说明说明】 数列数列 a an n 为等差数列为等差数列a an n+1+1- -a an n=d=dd d= =a an n+1+1- -a an n公差是公差是 唯一唯一 的，是一个常数。的，是一个常数。等差数列各项对应的等差数列各项对应的点都在同一条直线上点都在同一条直线上. .知识回顾知识回顾an=a1+(n-1)d或或a an n+1+1=a an n+d+ddmnaamn)( 或例1 已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为a an

3、n=pn+qpn+q，其中，其中p,qp,q是常数，且是常数，且p0p0，那么这个数列一定是等差数，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？列吗？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看要看a an na an-1n-1(n2)是不是一个与是不是一个与n无关的常数就行了无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项解：取数列中的任意相邻两项a an-1n-1与与a an n(n2)(n2)a an na an-1n-1=(pn+q)-p(n-1)+q(pn+q)-p(n-1)+q =pn+q-

4、(pn-p+q) =pn+q-(pn-p+q) =p =p它是一个与它是一个与n n无关的常数，所以是等差数列，且公差是无关的常数，所以是等差数列，且公差是p p在通项公式中令在通项公式中令n=1n=1，得，得a a1 1=p+q,p+q,所以这个所以这个等差数列的首项是等差数列的首项是p+qp+q，公差是，公差是p p, ,等差数列的性质等差数列的性质(一一)解后反思：解后反思：证明一个数列是等证明一个数列是等差数列的方法差数列的方法作业讲评：作业讲评：通项。求该数列的项和为的前）数列（等差数列。求证该数列是项和为的前）数列（, 122,2122nnSnannSnannnn1、若一个数列的通

5、项公式为、若一个数列的通项公式为n的一次的一次型型函数函数an=pn+q,则这个数列为则这个数列为等差数列等差数列,公差为公差为p . 2、非常数列非常数列的等差数列通项公式是关于的等差数列通项公式是关于n的一次函数的一次函数. 常数列常数列的等差数列通项公式为常值函数。的等差数列通项公式为常值函数。an=3n+5a1=8，d=313414118217an=12-2na1=10，d=-2134846210y=3x+5y=12-2x等差数列的性质等差数列的性质(一一)在一个数列中在一个数列中, ,从第从第2 2项起项起, ,每一项每一项( (有穷数列的有穷数列的末项除外末项除外) )都是它前一项

6、与后一项的等差中项都是它前一项与后一项的等差中项. .如果如果a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列, ,那么那么A A叫叫a a与与b b的等差中项的等差中项. .如如: :数列数列:1,3,5,7,9,11,13,:1,3,5,7,9,11,13,中中, ,1532 3752 5972 593111137222 3719522 241532aaaaa 35261742aaaaaaa 即：即：等差数列的性质等差数列的性质(二二)思考题思考题:已知三个数成等差数列的和已知三个数成等差数列的和是是12，积是，积是48，求这三个数，求这三个数. :, ,.12484422ad a adadaad

7、adaadaadd 解 设这三个数为解 设这三个数为或或设数技巧设数技巧已知三个数成等差已知三个数成等差 数列，且和为已知时数列，且和为已知时常常利用对称性利用对称性设三数设三数为：为：a-d , a ,a+da-d , a ,a+d四个数怎么设？四个数怎么设？(1)若有三个数成等差数列，则一般设为若有三个数成等差数列，则一般设为ad，a，ad；(2)若有四个数成等差数列，则一般设为若有四个数成等差数列，则一般设为a3d，ad，ad，a3d；(3)若有五个数成等差数列，则一般设为若有五个数成等差数列，则一般设为a2d，ad，a，ad，a2d.等差数列的设法及求解等差数列的设法及求解如何判断一个

8、数列为等差数列如何判断一个数列为等差数列为等差数列常数）（定义法：a) 1n(daa) 1 (n1nn为等差数列常数）（递推法：a) 1n(aa2a)2(n2nn1n为等差数列的一次型函数为通项法：ana)3(nnd na Nqpnm,qpnmqpnmaaaa 在等差数列在等差数列中，中， 为公差，若为公差，若且且则：则：等差数列的性质等差数列的性质(三三)（常用性质）（常用性质）数列数列an是等差数列，是等差数列，m、n、p、qN+，且且m+n=p+q，则，则am+an=ap+aq。7153aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a3543

9、4aaa(5)a判断：判断：可推广到三项，可推广到三项，四项等四项等注意：等式两注意：等式两边作边作和的项数和的项数必须一样多必须一样多123121knknnnaaaaaaaa81321(6)aaa等差数列的性质等差数列的性质(三三)例例2 .在在等差数列等差数列an中中(1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10例题分析例题分析(2)已知已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8(3) 已知已知 a4+a5+a6+a7=56

10、，a4a7=187，求求a14及公差及公差d.分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=1532分析：分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又又 a4a7=187 ， 解解 、 得得a4= 17a7= 11 a4= 11a7= 17 或或d= _2或或2, 从而从而a14= _3或或31练习练习求数列通项公式求数列通项公式21,21,a aa aa a9,9,a aa aa a为等差数列，为等差数列，：已知a：已知a变式变式7 75 53 38 85 52 2n n2d d, ,求a求a18

11、7,187,a aa a56,56,a aa aa aa a为等差数列，为等差数列，变式1：已知a变式1：已知a1 17 74 47 76 65 54 4n n已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（1）将前）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，an是等差数列是等差数列首项为首项为am+1，公差为，公差为d，项数为，项数为n-m等差数列的性质等差数列的性质(四四)已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的

12、首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，是等差数列是等差数列首项为首项为a1，公差为，公差为2d取出的是所有偶数项呢？取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，是等差数列是等差数列首项为首项为a2，公差为，公差为2d等差数列的性质等差数列的性质(四四)已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，ana7，a14，a21，是等差数列是等差数列首项

13、为首项为a7，公差为，公差为7d取出的是所有取出的是所有k倍数的项呢？倍数的项呢？ak，a2k，a3k，是等差数列是等差数列首项为首项为ak，公差为，公差为kd（3）取出数列中所有项是）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？等差数列的性质等差数列的性质(四四) 已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，an（4）数列）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差是等差数列吗？公差是多少？数列吗？公差是多少？a1+a2，a

14、3+a4，a5+a6，是等差数列，公差为是等差数列，公差为4d 数列数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是是等差数列吗？公差是多少？等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，是等差数列，公差为公差为3d。等差数列的性质等差数列的性质(四四)1、若数列、若数列an为等差数列，公差为为等差数列，公差为d，则，则kan也为等差数列，公差为也为等差数列，公差为 _ 。4、若数列、若数列an与与bn分别是分别是公差为公差为d1、d2等等差差数列，则数列，则an+bn也为等差数列，也为等差数列，an-bn也为等也为等差数列差数列，pan+qbn也为等差数列。也为等差数列。kd2、can(c为任一常数为任一常数)是公差为是公差为_的等差数列；的等差数列；3、can(c为任一常数为任一常数)是公差为是公差为_的等差数列的等差数列dcd等差数列的性质等差数列的性质(四四)nn11989820082008a b a34,b66,a85,b15,ab例3：等差数列和中，求例题分析例题分析例例 4 已知数列已知数列an满足满足 a14，an44an1(