机械波第三次课(2012)上课

1、弦线上驻波弦线上驻波12.6 驻波驻波一一. 弦线上的驻波实验弦线上的驻波实验两列等振幅相干波相向两列等振幅相干波相向传播，叠加形成驻波传播，叠加形成驻波二二. 驻波波函数驻波波函数(a)(b)AAABBBC1C2D1D2D3txA2cos)2cos2(1)各质元作简谐振动，但振幅不同。振幅随位置各质元作简谐振动，但振幅不同。振幅随位置 x 按余弦分按余弦分布。即布。即讨论讨论)(2cos )(2cos21xtAyxtAy)(2cos)(2cos21xtxtAyyytxAcos)(合成波合成波xAxA2cos2)( 波腹波腹( A= Amax)kx2, 2, 1, 02kkxk时时当当 12c

2、os x)21(2kx2)21( kxk 波节波节(A= Amin) 时时当当 02cos xkkxx1相邻波腹间距离相邻波腹间距离24) 12(4 1) 1(21kkxxkk相邻波节间距离相邻波节间距离222) 1(kk(2) 所有波节点将媒质划分为长所有波节点将媒质划分为长 /2 的许多段。每段中所有点的许多段。每段中所有点 的振动同步，即同相；而相邻两段振动步调相反，即反的振动同步，即同相；而相邻两段振动步调相反，即反 相。相。 即驻波中不存在相位的传播即驻波中不存在相位的传播。 这是这是“驻驻”的一层含义。的一层含义。解释解释 设某一时刻设某一时刻 t，0cost在在 两侧的两个波节之

3、间，两侧的两个波节之间，(0 x即在即在 与与 两点之间，两点之间，4x4x02cosx0 x处是波腹处是波腹)表明这一段中的所有各点均在平衡位置的上方。表明这一段中的所有各点均在平衡位置的上方。在在 右侧的波节之间，右侧的波节之间，(4x434xx这一段这一段) 设同一时刻设同一时刻 t，0cost即在即在 与与 两点之间，两点之间，43x4x02cosx表明这一段中的所有各点均在平衡位置的下方。表明这一段中的所有各点均在平衡位置的下方。(3) 半波损失半波损失 反射点反射点B固定不动，为波节，则固定不动，为波节，则入射波与反射波在入射波与反射波在B点的相差为点的相差为 。相当于入射波与反射

4、波之间。相当于入射波与反射波之间附加了半个波长的波程差附加了半个波长的波程差B有半波损失（波节）有半波损失（波节）无半波损失（波腹）无半波损失（波腹）1n2n入射波入射波反射波反射波透射波透射波21nn 21nn 透射波没有半波损失透射波没有半波损失 (4) 能量能量 能量在波节和波腹之振荡，且动能和势能的相互转化。能量在波节和波腹之振荡，且动能和势能的相互转化。没没 有能量的定向传播。有能量的定向传播。这是这是“驻驻”的另一层含义。的另一层含义。AB各质元达到最大位移处、静止，能量以势能形式存在，并集中分布在波节附近质元伸长量为0，能量以动能形式存在，并集中分布在波腹附近各质元静止，能量以势

5、能形式存在，并集中分布在波节附近0t4Tt 2Tt 2nL 弦线弦线两端固定，为波节，则弦线上两端固定，为波节，则弦线上形成驻波的条件：形成驻波的条件：(5) 简正模式简正模式( 特定的振动方式称为系统的简正模式特定的振动方式称为系统的简正模式）), 3 , 2 , 1(n驻波频率为驻波频率为Lunu2）（, 3 , 2 , 1n2LL23L(2) 求求合成波，并分析波节，波腹的位置坐标。合成波，并分析波节，波腹的位置坐标。平面简谐波平面简谐波 0时刻的波形如图。时刻的波形如图。 振幅为振幅为A，频率为，频率为 ，波速，波速为为 u ，沿，沿x 方向传播。方向传播。 反射点反射点B 为波节为波

6、节.(1) 若以若以 B 为为 x 轴坐标原点，写出入射波，反射波方程；轴坐标原点，写出入射波，反射波方程；2)(2cos),(uxtAtxy入2)(2cos),(uxtAtxy反例例解解 (1)求求Bux 反射波、入射波在反射点反射波、入射波在反射点 B 处反相，反射波处反相，反射波在在B 处的相位为处的相位为2)(2uxtBxB=0 ，则反射波波函数，则反射波波函数(2)反入yytxy),(tuxA2cos2sin212sinux2122kux412412kukx波腹波腹波节波节3, 2, 1k02sinux2kux22kukx3, 2, 1, 0k2)(2cos2)(2cosuxtAux

7、tA(3) 合成波波函数，并因干涉而静止的点的坐标。合成波波函数，并因干涉而静止的点的坐标。平面简谐波沿平面简谐波沿x轴正向传播，被一界面全反射。轴正向传播，被一界面全反射。 振幅为振幅为A，周期为，周期为T ，波长为波长为 。t=0时刻，原点时刻，原点O处质点处于平衡位置并向正方向运动。处质点处于平衡位置并向正方向运动。 反反射点射点D 为波节为波节.(1) 入射波波函数；入射波波函数；)22cos()(TtAtyO例例解解(1) 原点振动方程原点振动方程求求Dx (2) 反射波波函数；反射波波函数；43Px在在 x 轴上任选一点轴上任选一点 P，坐标，坐标 x，其振动方程，亦即波函数为，其

8、振动方程，亦即波函数为222cos),(xTtAtxy入2)(2cosxTtA入射波O2)(2cos)(uxtAtyDD入)43(2-T2cos),(xtAtxy反(2)D为波节，因此反射波、入射波在为波节，因此反射波、入射波在 D 处反相，处反相，反射波在反射波在D 处的振动方程为处的振动方程为则反射波在则反射波在P点的振动方程，亦即反射波波函数为点的振动方程，亦即反射波波函数为根据入射波波函数根据入射波波函数 ，入射波在，入射波在D点引起的振动方程为点引起的振动方程为TtA2cos）（反2cosTtAyD2-)T(2cosxtADx 43Px入射波(3)反入yytxy),()2T2cos(

9、2cos2txA波节波节02cosx)21(2 kx2)21( kx3, 2, 1, 0, 1k2-)T(2cos2-)T(2cosxtAxtA由于观察者（接收器）或波源、或二者同时相对由于观察者（接收器）或波源、或二者同时相对介质介质运动，而使观察者运动，而使观察者接收到的频率与波源发出的频率不同的现象，称为多普勒效应。接收到的频率与波源发出的频率不同的现象，称为多普勒效应。00)(uuv一一. 波源静止，观察者运动波源静止，观察者运动000/uuuvvS00v远离远离00v0v0vuu靠近靠近0v0vu观察者观察者13.7 多普勒效应多普勒效应0uuuSv二二. 观察者静止，波源运动观察者

10、静止，波源运动S S 运动的前方波长变短运动的前方波长变短vuo三三. 波源和观察者同时运动波源和观察者同时运动远离远离0sv靠近靠近;0sv 符号正负的选择与上述相同符号正负的选择与上述相同 Tsv0uTuTssvvSuTuSsv 观察者观察者0oSu vu v0su v(3)suvsin(2) 当波源或观察者在二者联线当波源或观察者在二者联线垂直方向上垂直方向上运动时，运动时，无多普无多普勒效应勒效应。讨论讨论 时，时，多普勒效应多普勒效应失去意义，此时形成冲击波。失去意义，此时形成冲击波。马赫角马赫角SsvTsvuTusvSSSS(1) 当波源和观察者沿任意方向运动时，观察者接受到的频当

11、波源和观察者沿任意方向运动时，观察者接受到的频率为率为00coscosSuuvvsv0v超音速的子弹超音速的子弹在空气中形成在空气中形成的激波的激波 (马赫数为马赫数为 2 )马赫数马赫数usv战机突破音障的瞬间战机突破音障的瞬间(5) 应用应用: :监测车辆行驶速度、测量血液流速、跟踪卫星等。监测车辆行驶速度、测量血液流速、跟踪卫星等。(4) 电磁波的多普勒效应电磁波的多普勒效应sfccfvv11）（接近sfccfvv11（远离）警察用警察用多普勒测速仪多普勒测速仪测量车速测量车速超声多普勒血流仪超声多普勒血流仪测量血液的流速测量血液的流速超声多普勒血流计原理超声多普勒血流计原理探测系统探测

12、系统静止静止血细胞接收到的超声波的频率血细胞接收到的超声波的频率探测系统接收经血细胞反射的探测系统接收经血细胞反射的探测系统接收的超声波频率与它发射的超声波频率之差探测系统接收的超声波频率与它发射的超声波频率之差超声波的频率超声波的频率血细胞血细胞001cosuuv102cosvuu000coscosvvuu02000) 1coscos(vvuu0120v00cos2uvcos200uv考虑到考虑到，近似有，近似有得得知知，、0u，便可求得血细胞的运动速度，便可求得血细胞的运动速度测测超声波在人体内的传播速度为超声波在人体内的传播速度为其他软组织肌肉骨头：s /m105 . 1s /m108

13、. 33300002) 1coscos(vvuu0vu0v000)coscos2(vvu一警笛发射频率为一警笛发射频率为 1500 Hz 的声波，并以的声波，并以 22 m/s 的速度向的速度向某一方向运动，一人以某一方向运动，一人以6 m/s 的速度跟踪其后的速度跟踪其后.例例在警笛后方空气中声波波长以及人听到的警笛声音的频率在警笛后方空气中声波波长以及人听到的警笛声音的频率求求m/s60vm/s 22Sv0Suuv警笛后方空气中声波的频率警笛后方空气中声波的频率( 观察者静止，波源运动观察者静止，波源运动 )警笛后方空气中声波的波长警笛后方空气中声波的波长解解m 23. 015002233

14、0u0suvHz 1432150022330633000SRuuvv观察者接收到的频率观察者接收到的频率( 波源和观察者同时运动波源和观察者同时运动 ) 蝙蝠可以利用超声波导航。若蝙蝠发出超声波的频率为蝙蝠可以利用超声波导航。若蝙蝠发出超声波的频率为 39 kHz ，并以，并以 声速声速1/40 的速度向表面平直的崖壁飞去的速度向表面平直的崖壁飞去.1/41 kHz1/ooSSSSuuuuvv-v-v蝙蝠接收到的频率为蝙蝠接收到的频率为蝙蝠既是波源，又是接收者，两者彼此靠近，蝙蝠既是波源，又是接收者，两者彼此靠近，vS=vO=u/40。例例解解蝙蝠接收到的从崖壁反射回的超声波的频率？蝙蝠接收到

15、的从崖壁反射回的超声波的频率？求求40/u一频率为一频率为1 kHz的声源的声源,以以 vs=34 m/s 的速率向右运动的速率向右运动.在声源在声源的右方有一反射面的右方有一反射面,以以 v1=68 m/s 的速率向左运动的速率向左运动. 设声波的设声波的速度为速度为 u=340m/s. 例例(1)声源所发出的声波在空气中的波长声源所发出的声波在空气中的波长.求求(2)每秒内到达反射面的波数每秒内到达反射面的波数;(3)反射波在空气中的波长反射波在空气中的波长.01sv-uu(1)在声源的右侧在声源的右侧, 相对空气静止的观察者接收到的频率：相对空气静止的观察者接收到的频率：解解所以所以)m(306. 0101343403011-usv-u在声源的左侧声波在空气中的波长在