常数项级数的概念与性质

1、第八章第八章 无穷级数无穷级数8.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质2313333310101010n可知：一个数可以由无穷个数相加而得到；可知：一个数可以由无穷个数相加而得到；反之，无穷个数相加却不一定能等于一个确定的数反之，无穷个数相加却不一定能等于一个确定的数.例如：例如：一、引言一、引言123;n就不是一个确定的数就不是一个确定的数 11111n 也不是一个确定的数等.也不是一个确定的数等.但有限个数相加却一定是一个确定的数.但有限个数相加却一定是一个确定的数. 这就是说:有限时成立的结论在无限时却不一这就是说:有限时成立的结论在无限时却不一定成立,因为从有限到无限产生了

2、质的变化.定成立,因为从有限到无限产生了质的变化.人们自然要问：人们自然要问：在什么条件下无限个数相加一定是一个确定的数？在什么条件下无限个数相加一定是一个确定的数？在什么条件下无限个数相加不能得一确定的数？在什么条件下无限个数相加不能得一确定的数？这就构成了研究常数项级数最基本的问题。这就构成了研究常数项级数最基本的问题。 二、常数项级数的概念二、常数项级数的概念 级数的定义级数的定义: : 给定数列给定数列则由这个数列构成的表达式则由这个数列构成的表达式12,nu uu123nuuuu称为称为无穷级数无穷级数，简称，简称级数级数，1231.nnnuuuuu 即即1,nnu 记为记为每一项每

3、一项 都是常数的级数都是常数的级数 1,2,nun 1nnu 称为称为常数项级数常数项级数。：例如例如11111;(1)1 22 3(1)nnnnn 111111,.23nnn 均为常数项级数均为常数项级数每一项每一项 都是函数的级数都是函数的级数 1,2,nun 1nnu 称为称为函数项级数函数项级数。：例如例如 121;nnnuuxuxux 123111;nnnxxxxx 1sinsinsin2sin,nnxxxnx .均为函数项级数均为函数项级数为级数的为级数的部分和.部分和.1nnnunS 称级数的前 项之和:称级数的前 项之和:121nnniiSuuuu 11Su , 212Suu

4、,3123Suuu ,12nnSuuu ,12,nSSS部分部分为级数的为级数的和数列.和数列.1.nnnuSS 显然显然定义定义2:2:1nnnu 当 无限增大时，如果级数的部分和当 无限增大时，如果级数的部分和 1limnnnnnSSSSu 数列有极限 ，即，则称级数数列有极限 ，即，则称级数11.nnnnSuSu ，并称 为级数，并称 为级数收和收和的，记为的，记为敛敛 1nnnSu 如果没有极限，则称级数如果没有极限，则称级数发散发散。1.nnnuSS 当级数收敛时,则当级数收敛时,则余项余项nnrSS 12nnuu1n iiu 显然显然 limlim0.nnnnrSS解解1q 如如果

5、果时时21nnSaaqaqaq 1naaqq 11naaq,qq例例1 讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数)20(0)nnnaqaaqaqaqa 的收敛性的收敛性. .1q, 当时当时lim0nnq lim1nnaSq 收敛收敛1q, 当当时时limnnq limnnS 发散发散1q 如果时如果时1q, 当时当时1q, 当当时时nSna 发散发散aaaa 级级数数变变为为limnnS 不不存存在在 发散发散 综上综上01,1,nnqaqq 当时 收敛;当时 收敛;当时 发散.当时 发散.解解1(21)(21)nunn 111()2 2121,nn1111 33 5(21) (21)nS

6、nn)121121(21)5131(21)311(21 nn例例2 判别无穷级数判别无穷级数 1111 33 521(21)nn的收敛性的收敛性. .11(1),221n 11limlim(1)221nnnSn 12, 12,. 级数收敛 和为级数收敛 和为 1111,1kn nkknnk一一般般地地: : 111111.nnn nkknnk3例判定调和级数例判定调和级数111123nnn 1111的敛散性.的敛散性.2111122nnSSnnn解解,S.假假设设调调和和级级数数收收敛敛 其其和和为为2lim()nnnSS 于是于是SS 0, 矛盾.矛盾.1.nn 1 1调和级数发散调和级数发

7、散1,22nn 111.nn 例4讨论级数的敛散性例4讨论级数的敛散性 111111111,nnn 解-解- 111111nnS - -limnnS不存在.不存在. 111.nn 级数-发散级数-发散0,1nn 为偶数,为偶数,为奇数.,为奇数.三、基本性质三、基本性质注注: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数k , ,注：注：收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .敛散性不变敛散性不变. .1()nnnuvs. 则级数收敛，其和为则级数收敛，其和为11nnnnuku性质1 若级数收敛，则也收敛.性质1 若级数收敛，则也收敛.11nn

8、nnsuv , 性质2 设两收敛级数，性质2 设两收敛级数，证明证明12kkk nuuu12nkkk nuuu n kkSS, limlimnn kknnSS 则则13nnu 性质在级数的前面去掉或加上有限项，性质在级数的前面去掉或加上有限项，不改变其敛散性.不改变其敛散性.nnS 与的极限同时存在与的极限同时存在证明证明12345()()uuuuu 12S , limlimmnmnSS. 则则25S , 39S , mn,S , 性质性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和收敛于原来的和. .注：注： 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.(11)(11)例如例如1111 收敛收敛 发散发散推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, ,则原来则原来级数也发散级数也发散. .四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件证明证明1nnSu 1nnnuSS, 则则1limlimlimnnnnnnuSS SS 0. 1lim0.nnnnuu 定理设级数收敛,则定理设级数收敛,则1lim0.nnnnuu 敛敛即即收收 1001115,100 ,nnnnnnuuu 例设级数收敛,问例设级数收敛,问11nnu 是否收敛.是否收敛.1001011021nnuuu