复变函数积分计算公式

1、第二章复变函数的积分01 2111( )()(),n,()nKKKnKKKKlf zlzAz zzBlzzfzz设在复数平面的某分段光滑曲线 上定义了连续函数在 上取一系列的分点即起点，即终点把 分成 个小段,在每个小段上任取一点,作和:1100nKKyBzzzAzx11( )( )( )lim()KlnKKKlnKnf zlABf z dzf z dzfzz 于而且每一小段都无限缩短时,如果这个和的极限存在,而且其值与各个的选取无关,则这个和的极限称为函数沿曲线 从 到的路积分,记作：,即:( ),( )( , )( , )( ) ( , )( , ) ( , )( , )KKKKlllzf

2、 zzxiyf zu x yiv x yf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy把和都用实部和虚部表示出来：则：复变函数积分计算公式( ) ( , )( , ) ( , )( , )lllf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy该公式将复变函数的路积分转该公式将复变函数的路积分转化为两个实变函数的线积分化为两个实变函数的线积分.1212(1)( )( )(2)( )( )( )( )lllllcf z dzcf z dzf zfz dzf z dzfz dz一些常用的性质：常数因子可以移到积分号外；函数的和的积分等于各

3、个函数积分的和；1212(3)( )( )(4)( )( )( )BAABllllf z dzf z dzf z dzfz dzfz dz 反转积分路径，积分变号；全路径上的积分等于各段上积分之和；1122Re,ReLLIzdzIzdz例：计算以下积分：（1）（2）1+ioL2L111100 ( , )( , ) ( , )( , )112llIu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dyxdxidyi210 ( , )( , ) ( , )( , )12llIu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dyxdx 可见可见,复变函数的积分值复变函数的积

4、分值不仅和积分的起点与终点有关不仅和积分的起点与终点有关，而且与积分路径有关，可以，而且与积分路径有关，可以用柯西定理来描述积分值与路用柯西定理来描述积分值与路径的关系。径的关系。柯西定理柯西定理（1）闭单通区域上的解析函数沿境界线的积）闭单通区域上的解析函数沿境界线的积 分值为零。分值为零。（2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。界线正方向的积分和为零。（3）闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆）闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。针方向积分之和。（

5、1）单通区域情况）单通区域情况所谓单通区域，即在其中作任何简所谓单通区域，即在其中作任何简单的闭和围线，围线内的点都属于单的闭和围线，围线内的点都属于该区域内的点。如果该区域内的点。如果f（z）在单通）在单通区域上解析，则沿该区域内任一光区域上解析，则沿该区域内任一光滑闭合曲线积分有：滑闭合曲线积分有：( )0lf z dz ( ) ( , )( , ) ( , )( , )()llllSf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dyQPPdxQdydxdyxy证明：应用格林公式：( )()()lSSf z dzvuuvdxdyidxdyxyxyuuvuCRxy

6、xy 故将回路的积分，转化成面积分：按照条件，所以积分项为零。（2）闭复通区域情形）闭复通区域情形所谓复通区域，即函数在其中某些所谓复通区域，即函数在其中某些点处并不解析，这些点称为奇点，为点处并不解析，这些点称为奇点，为了将这些点排除在外，常做一些适当了将这些点排除在外，常做一些适当的闭合曲线将这些奇点挖去，形成带的闭合曲线将这些奇点挖去，形成带“孔孔”的区域，即复通区域。的区域，即复通区域。A ABBDDCCl1l2l复通区域内虽然包含奇点，但是已经用闭合的曲线将这些奇点挖去，所以，原来的复通区域已经变成了单通区域，那么按单通区域的柯西定理有：/1212( )( )( )( )( )( )

7、( )0( )( )( )0B AD ClABlCDllllf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dz其中，沿割线两条边上的积分值相互抵消，故：2-3 不定积分不定积分0210/21( )( )( )( )( )( )( ),( )( )( )()( )lZZZZf zBBlf z dzzF zfdF zBFzf zF zf zfdF zF z由柯西定理可知：若函数在单通区域上解析，则沿 上任一路径 的积分值只跟起点与终点有关,而与路径无关,因此当起点 固定时,这个不定积分就定义了单值函数,记作：若在 上解析,且则是

8、的一个原函数。0nliIdzlln 例：计算下式积分： (z- )分析：若 不包含 点，则积分值为零，若包含 点，则当n0时，被积函数在 所围区域内仍解析，只有当时才成为奇点，现做一圆将 点包围，圆心为 ，半径为C，则在圆周上，z- =Re2021(1)021(1)020()()0(1)(1)2(1)(2)nlniniCninini nni nIzdzR edReR eRe idiRedIiRednIidin 01022112lllldzzdzizdzizdziz综上所述:(1)n=-1且不包围a点时,则也可以写成(2)n=-1且包围a点时,则即()01020()121()1()02nlllnlzdzdzizldzizlzdzi(3)n-1,则也可以写成总结起来：不包围包围（n-1）2-4 柯西公式柯西公式( )( )lflf zf zdzz -若（z）在闭单通区域B上解