高中数学 第四章 导数及其应用章末质量评估 湘教版选修22

1、第四章 导数及其应用章末质量评估(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1若当 1，则f(x0)等于()a. b. c d解析 f(x0)f(x0)1，f(x0).答案：d2(2011·重庆)曲线yx33x2在点(1,2)处的切线方程为()ay3x1 by3x5 cy3x5 dy2x解析y3x26x，y|x13，切线方程为y23(x1)，即y3x1.答案a3函数yxcos xsin x在下面哪个区间内是增函数()a. b.c. d.解析yxsin x，当x(，2)时，y0，则函数yxcos xsin x在区间(，2)内是增函数答案b4某汽车启动阶段的路程函

2、数为s(t)2t35t22，则t2秒时，汽车的加速度是()a14 b4 c10 d6解析v(t)s(t)6t210t.a(t)v(t)12t10.当t2时，a(2)241014.答案a5 (1cos x)dx等于()a b2 c2 d2解析 (1cos x)dx(xsin x) 答案d6函数f(x)(0<x<10)()a在(0,10)上是增函数b在(0,10)上是减函数c在(0，e)上是增函数，在(e,10)上是减函数d在(0，e)上是减函数，在(e,10)上是增函数解析由f(x)，令f(x)>0，得0<x<e；令f(x)<0，得e<x<10.答

3、案c7函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()a0<f(2)<f(3)<f(3)f(2)b0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)c0<f(3)<f(2)<f(3)f(2)d0<f(3)f(2)<f(2)<f(3)解析f(2)、f(3)是x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f(3)f(2)，f(3)f(2)为图象上x为2和3对应两点连线的斜率，所以选b.答案：b8已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()a1 b2 c1 d2解析设切点坐标是(x0，x01)，依题意有由此得x010，x01，a2

4、，选b.答案b9已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()a1a2 b3a6ca1或a2 da3或a6解析f(x)3x22axa6，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以0，即4a24×3×(a6)0，即a23a180，解得a6或a3.答案d10(2011·全国)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()a. b. c. d1解析y2e2x，y|x02.切线方程为y22(x0)，即2xy20.它与yx的交点为p，所以面积s×1×.答案a二、填空题(每小题5分，共25分)11若dx6

5、，则b_.解析dx2ln x2ln b26.ln b4，be4.答案e412过点p(1,2)且与曲线y3x24x2在点m(1,1)处的切线平行的直线方程是_解析易求y6x4，y|x12.所求直线的斜率k2.所求直线的方程为y22(x1)，即2xy40.答案2xy4013要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的长为_，宽为_，高为_时，可使表面积最小解析设两边分别为x cm、2x cm，高为y cm.v2x2y72，y，s2(2x22xyxy)4x26xy4x2.s8x，令s0，解得x3.答案3 m6mm14设函数f(x)x3x22x5，若对任意x

6、1,2有f(x)<m成立，则实数m的取值范围是_解析由题意知m大于f(x)在x1,2上的最大值，求得f(x)maxf(2)7，所以m>7.答案m>715若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析f(x)3ax2，f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)0有解，即3ax20有解，3a，而x>0，a(，0)答案(，0)三、解答题(本大题共6小题，满分75分)16(本小题满分13分)已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处有极小值1.(1)求a、b；(2)求f(x)的单调区间解(1)由已知，可得f(1)13a2b1，又f(x)3x26ax2

7、b，f(1)36a2b0.由解得(2)由(1)得函数的解析式为f(x)x3x2x.由此得f(x)3x22x1.根据二次函数的性质，当x<或x>1时，f(x)>0；当<x<1时，f(x)<0.因此，在区间和(1，)上，函数f(x)为增函数；在区间上，函数f(x)为减函数17(本小题满分13分)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积解(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.又f(x)2x2，所以a1，b2.所以f(x)x22xc.又

8、方程f(x)0有两个相等实根，即x22xc0有两个相等实根，所以44c0，即c1.故f(x)x22x1.(2)依题意，所求面积为s (x22x1)dx.18(本小题满分 13分)一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，求该物体在 s6 s间的运动路程解v(t)由变速直线运动的路程公式，可得sv(t)dt2tdt2dtdtt22t(m)所以物体在 s6 s间的运动路程是 m.19(本小题满分12分)(2011·浙江文)设函数f(x)a2ln xx2ax，a>0.求f(x)的单调区间；求所有实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立解f(x)a2ln xx2ax，其中x>0

9、，所以f(x)2xa.由于a>0，由f(x)>0知0<x<a，由f(x)<0知x>a.所以，f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)由题意知f(1)a1e1，即ae.由知f(x)在1，e内递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立只要ae.20(本小题满分12分)已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xr)，其中ar.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)当a时，求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切

10、线的斜率为3e.(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2.由a知，2aa2.以下分两种情况讨论若a>，则2a<a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若a<，则2a>a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)

11、a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.21(本小题满分12分)(2011·辽宁)设f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过点p(1,0)，且在p点处的切线的斜率为2.求a，b的值；证明：f(x)2x2.解f(x)12ax.由题意知即解得a1，b3.证明由知f(x)xx23ln x.f(x)的定义域为(0，)设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.由g(x)>0知0<x<1，由g(x)<0知x>1.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减所以g(x)在(0，)上的最大值为g(1)0，所以g(x)0，即f(x)2x2.6edbc3191f23