2022年初三数学一轮复习专题测试20 全等三角形的辅助线问题

1、内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线2022年初三数学一轮复习专题测试20 全等三角形的辅助线问题专题20 全等三角形的辅助线问题（满分：100分 时间：90分钟）班级_ 姓名_ 学号_ 分数_一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1如图，点是正方形内一点，则的长为（ ）ABCD【答案】C【分析】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可得到结论【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形，故选C2如图，在四边形ABCD中，ADBC，若DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分ABC，则

2、以下的命题中正确的个数是（ ）BC+AD=AB ； 为CD中点AEB=90°； SABE=S四边形ABCDA1B2C3D4【答案】D【分析】在AB上截取AF=AD证明AEDAEF，BECBEF可证4个结论都正确【详解】解：在AB上截取AF=AD则AEDAEF（SAS）AFE=DADBC，D+C=180°C=BFEBECBEF（AAS）BC=BF，故AB=BC+AD；CE=EF=ED，即E是CD中点；AEB=AEF+BEF=DEF+CEF=×180°=90°；SAEF=SAED，SBEF=SBEC，SAEB=S四边形BCEF+S四边形EFAD=S

3、四边形ABCD故选D3如图，A¢B¢CABC，点B¢在AB边上，线段A¢B¢，AC交于点D若A40°，B60°，则A¢CB的度数为( )A100°B120°C135°D140°【答案】D【分析】利用全等三角形的性质即可解答.【详解】解：已知A¢B¢CABC，则A¢C B¢=ACB=180°-A-B=80°，又因为CB=C B¢，且B=60°，故三角形C B¢B是等边三角形，B¢

4、CB=60°，故A¢CB=60°+80°=140°，答案选D.4如图，已知ABC中，ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）AB5CD【答案】D【分析】过A作ADl3于D，过C作CEl3于E，得到AD=3，CE=4，根据AAS可证明，可求出BE=AD=3，根据勾股定理求出BC的长，进而求出AC的长即可【详解】过A作ADl3于D，过C作CEl3于E，由题可得，AD=3，CE=4，ADl3，CEl3，ADB=ABC=CEB=90

5、°，DAB+ABD=90°，ABD+CBE=90°，DAB=CBE，又AB=BC，AD=BE=3，CE=4，在中，AB=BC，ABC=90°，故选：D5如图AB=7，AC=3，则中线AD的取值范围是： ( )A4<AD<11B2<AD<5.5C2<AD<5D4<AD<10【答案】C【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明ABD和ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解【详解】解：如图，延长A

6、D到E，使DE=AD，AD是BC边上的中线，BD=CD，在ABD和ECD中，ABDECD（SAS），CE=AB，AB=7，AC=3，7-3AE7+3，即4AE10，2AD5故选：C6如图，在中，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接以下结论：；其中正确的是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据旋转变换的性质判断；根据全等三角形的判定定理判断；根据SAS定理判断；根据全等三角形的性质、三角形的三边关系判断【详解】解：ADC绕点A顺时针旋转90°得AFB，ADCAFB，正确；EA与DA不一定相等，ABE与ACD不一定全等，错误；FAD90°，DAE45

7、°，FAEDAE45°，在AED和AEF中，AEDAEF，正确；ADCAFB，BFCD，BEBFDEBEDCDE，错误；故选：D7如图，在四边形中，是的平分线，且若，则四边形的周长为（ ）ABCD【答案】B【分析】在线段AC上作AF=AB，证明AEFAEB可得AFE=B，AEF=AEB，再证明CEFCED可得CD=CF，即可求得四边形的周长【详解】解：在线段AC上作AF=AB，AE是的平分线，CAE=BAE，又AE=AE，AEFAEB（SAS），AFE=B，AEF=AEB，ABCD，D+B=180°，AFE+CFE=180°，D=CFE，AEF+CEF=

8、90°，AEB+CED=90°，CEF=CED，在CEF和CED中,CEFCED（AAS）CE=CF，四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，故选：B8如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，旋转角的度数是（ ）A110°B90°C70°D20°【答案】B【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，BAD=，由旋转的性质推出，求出FAE=BAD=，即可得到答案【详解】四边形ABCD是正方形，AB=AD，BAD=，由旋转得，FAB=EAD，FAB+BAE=EAD+BAE，FAE=BAD=，旋

9、转角的度数是，故选：B9已知ABC，AB=4，AC=2，BC边上的中线AD长度可能是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】画出示意图，根据倍长中线证明全等，再结合三角形的三边关系分析即可【详解】如图所示，AD为BC边上的中线，BD=CD，延长AD至E，使得AD=DE，连接CE，则ADB=CDE，AB=CE=2，则在ACE中，即：，B选项符合要求，故选：B10如图，已知：，则（ ）ABC或D【答案】B【分析】连接，可证，根据全等三角形对应角相等可以得到，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解【详解】连接，如图，在与中，故选：B二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11

10、在ABC中，AB=6，AC=4，AD是边BC的中线，则中线AD的长度取值范围是_【答案】1AD5【分析】延长AD到E，使ADDE，连接BE，证ADCEDB，推出EBAC，根据三角形的三边关系定理求出即可【详解】解：延长AD到E，使ADDE，连接BE，AD是ABC的中线，BDCD，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），EBAC4，AB6，2AE10，1AD5故答案为：1AD512如图，在四边形中，若，则点到的距离是_【答案】4【分析】作DEBC交BC延长线于E,作DFAB，垂足为F，证明四边形BFDE是矩形，得到DF=BE，证明ABCCED，得到AB=CE=3，问题得解【详解】解：作DEB

11、C交BC延长线于E,作DFAB，垂足为F，,四边形BFDE是矩形，DF=BE，DEBE,B=E=90°，BAC+ACB=DCE+ACB=90°，BAC=DCE，又，ABCCED，AB=CE=3，DF=BE=BC+EC=4故答案为：413如图，P是等边三角形ABC内一点，APB，BPC，CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是_【答案】2：3：4【分析】将APB绕A点逆时针旋转60°得APC，显然有APCAPB，连PP，证APP是等边三角形，PP=AP，所以PCP的三边长分别为PA，PB，PC；由APB：BPC：CP

12、A=5：6：7，设APB=5xº，BPC=6xº，CPA=7xº，5x+6x+7x=360，x=20，得到APB=100°，BPC=120°，CPA=140°，这样可分别求出PPC=40°，PPC=80°，PCP=60°即可【详解】如图，将APB绕A点逆时针旋转60°得APC，显然有APCAPB，连PP，AP=AP，PAP=60°，APP是等边三角形，PP=AP，PC=PB，PCP的三边长分别为PA，PB，PC，APB+BPC+CPA=360°，APB：BPC：CPA=5：6

13、：7，设APB=5xº，BPC=6xº，CPA=7xº，5x+6x+7x=360，18x=360，x=20，APB=100°，BPC=120°，CPA=140°，PPC=APC-APP=APB-APP=100°-60°=40°，PPC=APC-APP=140°-60°=80°，PCP=180°-（40°+80°）=60°，PPC：PCP：PPC=40°：60°:80°=2：3：4故答案为：2：3：414已知

14、，于点，于点，下面四个结论：；.其中正确的是_ (填序号)【答案】【分析】根据三角形内角和定理即可判断；由同角的余角相等，得到ACD=CBE，根据AAS判断；由CE=AD，即可判断；由CE=AD，BE=CD，即可判断；然后得到答案.【详解】解：如图，于点，于点，故正确；,，故正确；CE=AD，BE=CD，故错误；，故正确；正确的选项有：；故答案为：.15如图，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，则的长为_【答案】6【分析】延长GE交CB的延长线于M只要证明AEGBEM，推出AG=CM=2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题【详解】如图，延长交的延长线于M四边形是正方形，在和中

15、，又，故答案为：6三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点D、点E、点F.求证为定长,即可完成证明；（2）（面积法）过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.因为，所以，因此，得到.进而，得到，因此，即AD平分.【详解】（1） 已知：等边如图三角形ABC，P为

16、三角形ABC内任意一点，PDAB, PFAC, PEBC,求证：PD+PE+PF为定值.证明：如图：过点A作，垂足为点G，分别连接AP、BP、CP.， 又BC=AB=ACAG=PE+PF+PD,即定长.等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（2）过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.，又AD=AD，即AD平分.17（1）如图，在四边形中，点是的中点，若是的平分线，试判断，之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，转化在一个三角形中即可判断，之间的等量关系_；（2）问题探究：如图，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平

17、分线，试探究，之间的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）；（2），理由详见解析.【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得，于是，进一步即得结论；（2）延长交的延长线于点，如图，先根据AAS证明，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.【详解】解：（1）.理由如下：如图，是的平分线，.点是的中点，又，（AAS），.故答案为：.（2）.理由如下：如图，延长交的延长线于点.，又，（AAS），是的平分线，.18如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE, （1）求证：AEB=ADC；（2

18、）连接DE，若ADC=105°，求BED的度数【答案】（1）证明见解析；（2）BED=45°.【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质知BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知DAE=60°，AE=AD，从而得EAB=DAC，再证EABDAC可得答案；（2）由DAE=60°，AE=AD知EAD为等边三角形，即AED=60°，继而由AEB=ADC=105°可得试题解析：（1）ABC是等边三角形，BAC=60°，AB=AC线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，DAE=60°，AE=ADB

19、AD+EAB=BAD+DACEAB=DAC在EAB和DAC中，EABDACAEB=ADC（2）如图，DAE=60°，AE=AD，EAD为等边三角形AED=60°，又AEB=ADC=105°BED=45°19（问题提出）学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究（深入探究）第一种情况：当B是直角时，ABCDEF（1）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90°，根据 ，可以知道RtABCRtDEF第二种情况：当B是钝角时，ABCDEF（2）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是钝角，求证：ABCDEF第三种情况：当B是锐角时，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，请你