第四章 多元线性回归模型 管理预测与决策课件

1、第四章第四章 多元线性回归模型多元线性回归模型2021-11-122内容提要内容提要第一节第一节 多元线性回归多元线性回归模型的建立及假定条件模型的建立及假定条件第二节第二节 最小二乘法最小二乘法第三节第三节 最小二乘估计量的特性最小二乘估计量的特性第四节第四节 可决系数可决系数第五节第五节 显著性检验与置信区间显著性检验与置信区间第六节第六节 预测预测第七节第七节 案例分析案例分析2021-11-124 假设被解释变量假设被解释变量y y是解释变量是解释变量x x1 1，x x2 2，x xk k和和随机误差项随机误差项u u的线性函数，表达式为：的线性函数，表达式为：u.22110kkxx

2、xy总体回归模型总体回归模型kkxxxye.)(22110总体回归线（方程）总体回归线（方程）一、基本概念一、基本概念2021-11-125 u210pxy)114. 0()003. 0()6 . 9(99. 0739. 0112. 07 .1162rpxy例例1 1： 其中其中:y=:y=在食品上的总支出在食品上的总支出; ; x= x=个人可支配收入个人可支配收入; ; p= p=食品价格指数食品价格指数; ; 用美国用美国1959-19831959-1983年的数据（单位：年的数据（单位：1010亿美元），亿美元），得到如下回归结果（括号中数字为标准误差）：得到如下回归结果（括号中数字为

3、标准误差）：2021-11-126上例中斜率系数的含义说明如下：上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升价格不变的情况下，个人可支配收入每上升1010亿亿美元（美元（1 1个个billionbillion），食品消费支出平均增加），食品消费支出平均增加1.121.12亿亿元（元（0.1120.112个个 billionbillion）。）。 收入不变的情况下，价格指数每上升一个点，食收入不变的情况下，价格指数每上升一个点，食品消费支出平均减少品消费支出平均减少7.397.39亿元（亿元（0.7390.739个个billionbillion）多元线性回归模型中斜率系

4、数的含义多元线性回归模型中斜率系数的含义2021-11-127 设（设（ x x1i1i，x x2i2i，x xkiki；y yi i），），i=1i=1，2 2，n n是对总体是对总体（ x x1 1，x x2 2，x xk k；y y）的）的n n次独立样次独立样本观测值，则：本观测值，则：nixxxyikikiii, 2 , 1u.221102021-11-128nknknnnkkkkuxxxyuxxxyuxxxy.2211022222121021121211101对于对于n n组观测值，即：组观测值，即：2021-11-129其矩阵形式为：其矩阵形式为：uxy121.nnyyyy) 1

5、(1212111.1.1.1knknnkkxxxxxxx1211) 1(10.nnkkuuuu其中：其中：2021-11-1210设样本（设样本（x x1i1i，x x2i2i，x xkiki；y yi i），），i=1i=1，2 2，n n），（），估计（k10k10.的估计值。残差项，拟合误差，是的估计值或估计量；ik10k10i22110,.,.,.ikikiiieexxxy样本回归模型样本回归模型2021-11-1211kikiiixxxy.22110样本回归线（方程）样本回归线（方程）其矩阵形式为：其矩阵形式为：xy 其中其中: :121.nnyyyy1) 1(10.kk2021-1

6、1-1212 多元线性回归模型在满足下列基本假设的情况多元线性回归模型在满足下列基本假设的情况下，可以采用普通最小二乘法（下，可以采用普通最小二乘法（olsols）估计参数。）估计参数。（1 1）零均值：）零均值：即随机误差项是一个期望值或平即随机误差项是一个期望值或平均值为零的随机变量。均值为零的随机变量。 e(e( ii) ) =0 i=1,2, =0 i=1,2, 则，则，y yii的期望值或平均值为：的期望值或平均值为： e(ye(yi i)=)= 0 0+ + 1 1x x1i 1i + + 2 2x x2i 2i + + + k kx xki ki i=1,2, i=1,2, 二、

7、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定2021-11-1213矩阵表达式为：矩阵表达式为：00.00)(.)()(.)(2121nnueueueuuueue2021-11-1214（2 2）同方差）同方差 对于解释变量对于解释变量x x1 1，x x2 2，x xk k的所有观测的所有观测值，随机误差项具有相同方差值，随机误差项具有相同方差。 varvar( ( ii)=e()=e( ii2 2) ) = = 2 2 i=1,2, i=1,2, 则，则，y yii与与 ii具有相同的方差：具有相同的方差： varvar( (y yii)=)= 2 2 i=1,2, i=1,2

8、, 2021-11-1215（3 3）无序列相关）无序列相关 covcov( ( i, i, j j)=)=e(e( ii j j)=)=0 0 ij iij i，j=1,2, j=1,2, 则，则，covcov( (y yi, i,y yj j)=)=e(e( ii j j)=)=0 02021-11-1216假设（假设（2 2）和（）和（3 3）矩阵表达式为：）矩阵表达式为：22222122212121212212221212121212111.00.0.00.0)(.)()(.)(.)()()(.)()(.,.,.)( )()()(nnnnnnnnnnnnnnnnueuueuueuueu

9、euueuueuueueuuuuuuuuuuuuuuueuuuuuueuueueuueueuvar方差方差- -协方差矩阵协方差矩阵2021-11-1217（4 4）解释变量）解释变量x x1 1，x x2 2，x xk k是确定性变是确定性变量，不是随机变量；并且解释变量与随量，不是随机变量；并且解释变量与随机误差项之间不相关。机误差项之间不相关。即即: : cov(x cov(xij ij ， j j)=0)=0 i=1,2, i=1,2,k; j= 1,2,1,2,n2021-11-1218（5 5） i i服从正态分布服从正态分布 iin(0, n(0, 2 2 ) i=1,2, )

10、i=1,2, ,n,n 则则y yiin(n( 0 0+ + 1 1x x1i 1i+ + 2 2x x2i 2i+ + k kx xki ki, , 2 2) ) i=1,2, i=1,2, ,n ,n2021-11-1220对于：对于：kikiiiiixxyyye.110残差为：残差为：k,.,10问题是选择问题是选择 ，使得残差平方和最小。，使得残差平方和最小。kikiiixxxy.22110ni,.,2 , 1ikikiiiexxxy.221102021-11-1221要使残差平方和要使残差平方和:2110210.),.,(kikiiikxxyeq0.,0,010kqqq为为最小最小，

11、则应有：，则应有：2021-11-12220)().(2.0)().(20) 1().(2110111011100kikikiikikikiikikiixxxyqxxxyqxxyq即：即：2021-11-1223ikikikikikiiiikikiiikikiyxxxxxyxxxxxyxxn21101121110110. 化简整理后我们得到如下化简整理后我们得到如下k+1k+1个方程（即个方程（即正规正规方程组方程组）：）：2021-11-1224)(xxxy即即:=2112111.kiikikiikiiikiixxxxxxxxxxnk.10ikiiinknkknyxyxyyyyxxxxxx.

12、 .1.111212111211按矩阵形式，上述方程组可表示为：按矩阵形式，上述方程组可表示为：yxxx正规方程组正规方程组 yx2021-11-1225的的olsols估计量估计量则参数的最小二乘估计值为：则参数的最小二乘估计值为： yxxx1)(2021-11-12261. 1.最小样本容量：最小样本容量：是指从最小二乘原理出发，欲得是指从最小二乘原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。限。n k+12. 2.满足基本要求的样本容量满足基本要求的样本容量 即样本容量必须不少于模型中解释变量的数即样本容量必须不少于

13、模型中解释变量的数目（包括常数项）。这就是最小样本容量。目（包括常数项）。这就是最小样本容量。 一般经验认为，当一般经验认为，当n 30或者至少或者至少n 3（k+1）时，才能满足模型估计的基本要求。时，才能满足模型估计的基本要求。 2021-11-1228一、线性性一、线性性证明：证明： 令令a=a=（x xx x）-1-1x x 由古典假定（由古典假定（4 4），），x x1 1，x x2 2，x xk k是非随机变是非随机变量，所以矩阵量，所以矩阵a a是一个非随机的（是一个非随机的（k+1k+1）n n阶阶常数矩阵。常数矩阵。ayyxxx1)(则：则：2021-11-1229uxxxu

14、xxxxxxxuxxxxyxxx11111)()()()()()()( 因为二、无偏性二、无偏性)()()()(11uexxxuxxxee证明：证明：2021-11-1230 这表明，这表明，ols估计量估计量 是无偏估计量。是无偏估计量。kkkeeee.)(.)()(.101010即：即： 2021-11-1231)(evar 这是一个（这是一个（k+1）(k+1)矩阵，其主对角线上元素矩阵，其主对角线上元素即构成即构成 var( ), 非主对角线元素是相应的协方差非主对角线元素是相应的协方差, 如下如下所示所示:为求为求var( ),我们考虑：我们考虑：三、最小方差性（有效性三、最小方差性

15、（有效性）2021-11-1232)(.),(),(.),(.)(),(),(.),()(1011010100kkkkkvarcovcovcovvarcovcovcovvar下面推导此矩阵的计算公式。下面推导此矩阵的计算公式。kkkke.110011002021-11-1233由上一段的结果，我们有：由上一段的结果，我们有：uxxx1)( 11uuxxxexxx11xxxuuxxxeuu11xxxxxxee121xxxixxxn211xxxxxx21xx因此：因此：2021-11-123421)() (xxcovvar 如前所述，我们得到的实际上不仅是如前所述，我们得到的实际上不仅是 的方差，

16、的方差，而且是一个方差而且是一个方差-协方差矩阵，为了反映这一事实，我协方差矩阵，为了反映这一事实，我们用下面的符号表示之：们用下面的符号表示之：211011010100)()(),(),(.),(.)(),(),(.),()(xxvarcovcovcovvarcovcovcovvarkkkkk展开就是：展开就是：2021-11-1235 记记 c=c=（x xx x）-1-1= =（c cijij） 则：则：kicxxvariiiii, 1 , 0)()(1, 121, 112kjijicxxcovjijiji, 1 , 0,)(),(1, 121, 112（最小方差性的证明略）（最小方差性

17、的证明略）2021-11-1236 对于对于y=xy=x+u+u 以及标准假设条件（以及标准假设条件（1 1）- -（5 5），普通最小二乘估计量是最佳线），普通最小二乘估计量是最佳线性无偏估计量（性无偏估计量（blueblue）高斯高斯- -马尔科夫定理马尔科夫定理2021-11-1237与一元线性模型相似，与一元线性模型相似， 2的无偏估计量是：的无偏估计量是：) 1() 1(222knyxyyknesei 我们在估计我们在估计0 0, , 1 1 , , , k k的过程中，失去了的过程中，失去了（k+1k+1）个自由度。）个自由度。四、四、 2 2的估计的估计2021-11-1238例

18、例2: 2: 企业管理费取决于两种重点产品的产量，线性企业管理费取决于两种重点产品的产量，线性回归模型是：回归模型是：y=y= 0 0+ + 1 1x x1 1+ + 2 2x x2 2+u+u年年 管理费用管理费用 a产品产量产品产量 b产品产量产品产量13352114385643245546样本数据为：样本数据为：2021-11-12395 . 25 . 185 . 115 . 485 . 47 .261097620129812581551525155641421651411531538131xxyxxxxy；解：2021-11-1240exxyyxxx2115 . 15 . 24:5 .

19、 15 . 2410976205 . 25 . 185 . 115 . 485 . 47 .26)(所以回归模型为2021-11-12415811. 15 . 275. 1)()(0917. 2175. 1)()(8356. 67 .2675. 1)()(75. 1355 .10610815 .10610976205 . 15 . 241332122111102xxsexxsexxseknyxyyyx1082yy的估计如下：随机扰动项的方差2021-11-1243对于一元线性回归模型：对于一元线性回归模型： y=y=0 0+1 1x+ux+u2221yyerii其中，其中，e ei i2 2

20、=残差平方和残差平方和我们有我们有: :一、多元样本决定系数一、多元样本决定系数r r2 22021-11-1244对于多元线性模型：对于多元线性模型：uxxykk.110tssesstssrssryyerii112222或我们可用同样的方法定义决定系数：我们可用同样的方法定义决定系数：2021-11-1245 二、总离差平方和的分解二、总离差平方和的分解2222)(ynyyynyyytssii22)()(ynyxyxyyynyyesstssrssyxyyyyeessiii)(222021-11-1246将上述结果代入将上述结果代入r2的公式，得到：的公式，得到：222ynyyynyxtssr

21、ssr决定系数决定系数r r2 2 的矩阵形式的矩阵形式 残差平方和的一个特点是，每当模型增加一个残差平方和的一个特点是，每当模型增加一个解释变量，并用改变后的模型重新进行估计，残差解释变量，并用改变后的模型重新进行估计，残差平方和的值会减小。由此可以推论，决定系数是一平方和的值会减小。由此可以推论，决定系数是一个与解释变量的个数有关的量：个与解释变量的个数有关的量： 解释变量个数增加解释变量个数增加eei i2 2减小减小r r2 2增大增大 这就给人一个这就给人一个：要使得模型拟合得好，就：要使得模型拟合得好，就必须增加解释变量。但是，在样本容量一定的情况必须增加解释变量。但是，在样本容量

22、一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少。所以用以下，增加解释变量必定使得自由度减少。所以用以检验拟合优度的统计量必须能够防止这种倾向。于检验拟合优度的统计量必须能够防止这种倾向。于是，实际中应用的统计量是在对进行调整后的。是，实际中应用的统计量是在对进行调整后的。 2021-11-12482r2r2r二、修正决定系数：二、修正决定系数：定义修正决定系数定义修正决定系数 （adjusted ）如下：）如下：) 1() 1(12ntssknessrtssknessn) 1() 1(1)1(1112rknn2021-11-1249q1.1.当当n n较大，较大，k k较小时，两者相差不大。较小

23、时，两者相差不大。 q2.2.当当n n不是很大，而不是很大，而k k又较大时，两者差别较明显；又较大时，两者差别较明显；q3.3.当样本容量一定时：当样本容量一定时： （1 1）当）当k1k1时，时， （2 2）仅当）仅当k=0k=0时，等号成立。即时，等号成立。即 （3 3）当）当k k增大时，二者的差异也随之增大。增大时，二者的差异也随之增大。 （4 4） 可能出现负值（无意义，取值为可能出现负值（无意义，取值为0 0） （当当r r2 2 k/fff ，拒绝，拒绝h h0 0；否；否则不拒绝则不拒绝h h0 0。f f值越大，值越大，方程的总体线性方程的总体线性关系关系越显著。越显著。

24、f检验的步骤2021-11-1255步骤如下：步骤如下： 1.1.建立假设建立假设 原假设原假设 h h0 0：1 1 = = 2 2 = = =k k= = 0 0 备择假设备择假设 h h1 1： i i不全为不全为0 0（i=1i=1，2 2，k k） 显然，当显然，当h h0 0成立时，即表示模型中被解释成立时，即表示模型中被解释变量与解释变量之间不存在显著的线性关系；变量与解释变量之间不存在显著的线性关系；当当h h1 1成立时，即表示模型的线性关系成立。成立时，即表示模型的线性关系成立。 注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中， f f检验与检验与t t检验一致检验一致 202

25、1-11-12562.2.在在h h0 0成立的条件下，构造统计量成立的条件下，构造统计量)1,()1/(/knkfknesskrssf 直观上看，回归平方和直观上看，回归平方和rssrss是解释变量整体对被解是解释变量整体对被解释变量释变量y y的线性作用的结果，如果的线性作用的结果，如果rss/essrss/ess的比值较大，的比值较大，则解释变量整体对则解释变量整体对y y的解释程度高，可以认为总体存在的解释程度高，可以认为总体存在线性关系；反之，总体可能不存在线性关系。线性关系；反之，总体可能不存在线性关系。因此因此, ,可可以通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。以通过该比值的大小

26、对总体线性关系进行推断。2021-11-1257 给定显著性水平给定显著性水平 ，查，查f f分布分布表，可得到临表，可得到临界值界值f f ( (k,n-k-k,n-k-1)1)，由样本求出统计量，由样本求出统计量f f的数值。的数值。 若若f f f f ( (k,n-k-k,n-k-1),1),则拒绝则拒绝h h0 0，即回归方程，即回归方程显著成立；显著成立； 若若f f f f ( (k,n-k-k,n-k-1), 1), 则接受则接受h h0 0，即回归方程，即回归方程不显著。不显著。3.3.计算，判断计算，判断2021-11-12581-f(k,n-k-1)ff(f)拒绝域拒绝域

27、显著水平显著水平的单侧的单侧 f f检验拒绝域检验拒绝域2021-11-1259例例4 4：在某模型中，在某模型中，k=2,n=16,k=2,n=16,给定给定=0.01,=0.01,查得查得0.010.01（2,13)=6.702,13)=6.70，而，而=28682.516.70,=28682.516.70,所以该所以该线性模型在线性模型在0.990.99的置信水平下显著成立。的置信水平下显著成立。2021-11-1260二、解释变量的显著性检验（二、解释变量的显著性检验（t t检验）检验） 方程的方程的总体线性总体线性关系显著关系显著 每个解释变量每个解释变量对对被解释变量的影响都是显著

28、的。被解释变量的影响都是显著的。 因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。以决定是否作为解释变量被保留在模型中。 这一检验是由对变量的这一检验是由对变量的t t检验完成的。检验完成的。2021-11-12611. .t统计量统计量 由于由于参数估计量的方差为：参数估计量的方差为： kicxxvariiiii, 1 , 0)()(1, 121, 112),(1, 12 iiiicn2021-11-1262因此，可构造如下因此，可构造如下t统计量：统计量： ii2i1,1 (1)()iitt n ksc 其中其中 2为随

29、机误差项的方差，在实际计为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替算时，用它的估计量代替: : 1122knkneiee2021-11-12632.t检验检验 建立原假设与备择假设：建立原假设与备择假设： h h1 1： i i 0 0 给定显著性水平给定显著性水平 ，可得到临界值，可得到临界值t t /2/2( (n-k-n-k-1)1)，由样本求出统计量由样本求出统计量t t的数值，通过：的数值，通过： |t|t| t t /2/2( (n-k-n-k-1) 1) 或或 |t|t| t t /2/2( (n-k-n-k-1)1)来拒绝或接受原假设来拒绝或接受原假设h h0 0，从而

30、，从而判定对应的解释变判定对应的解释变量是否应包括在模型中。量是否应包括在模型中。 h h0 0： i i=0=0（i=1,2i=1,2k k）2021-11-1264三、回归系数的置信区间三、回归系数的置信区间ii2i1,1 (1)()iitt n ksc 给定显著性水平给定显著性水平 ，可得到临界值，可得到临界值t t /2/2( (n-k-n-k-1)1),)1()1(22iiststknikni置信区间：置信区间：2021-11-1266 与一元线性回归模型的作法类似，预测指与一元线性回归模型的作法类似，预测指的是对各自变量的某一组具体值的是对各自变量的某一组具体值来预测与之相对应的因

31、变量值来预测与之相对应的因变量值y y0 0。当然，要进。当然，要进行预测，有一个假设前提应当满足，即行预测，有一个假设前提应当满足，即拟合的拟合的模型在预测期也成立模型在预测期也成立。 ).(020100kxxxx2021-11-1267点预测值由已给定的诸点预测值由已给定的诸x x值对应的回归值给出，即：值对应的回归值给出，即： 一、点预测一、点预测020210100.kkxxxy2021-11-1268预测误差可定义为：预测误差可定义为：000yye二、区间预测二、区间预测1.1.单个值的预测区间单个值的预测区间)(1 )()(1 )var(0)(0102022220102000xxxx

32、sesxxxxeeeeee则。代替未知，故用其中正态分布可以证明，证明略证明略2021-11-1269)(1,)(1010200102000xxxxtyxxxxtyyy的预测区间：的置信度为则，2021-11-12702.2.均值的预测区间均值的预测区间0102201020)()()var(xxxxsxxxxe则可以证明：)(,)()/()/(102010200000xxxxtyxxxxtyxyexye的预测区间：的置信度为与单个值预与单个值预测的区别测的区别证明略证明略2021-11-1272 经过研究，发现家庭书刊消费水平受家庭收经过研究，发现家庭书刊消费水平受家庭收入及户主受教育年限的影

33、响。入及户主受教育年限的影响。 y y家庭书刊消费水平（元家庭书刊消费水平（元/ /月）；月）； x x1 1家庭收入（元家庭收入（元/ /月）；月）； x x2 2户主受教育年限（年）户主受教育年限（年） 若经调查得到一家庭的收入水平为若经调查得到一家庭的收入水平为x x1 1=4000=4000， x x2 2=20=20，要求预测，要求预测y y0 0。iiiixxy221102021-11-1273yx1x21 14501027.282 2507.71045.293 3613.91225.8124 4563.41312.295 5501.51316.476 6781.51442.415

34、7 7541.8164198 8611.11768.8109 91222.11981.2181010793.21998.6141111660.82196101212792.72105.4121313580.82147.481414612.72154101515890.82231.414161611212611.81817171094.23143.416181812533624.6202021-11-1274例例4.1 4.1 ：某地区通过一个样本容量为某地区通过一个样本容量为722722的调查数据得的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为到劳动力受教育的一个回归方程为 r r2 2=0.21

35、4=0.214式中，式中，y y为劳动力受教育年数，为劳动力受教育年数，x x1 1为该劳动力家庭中兄弟姐为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，妹的个数，x x2 2与与x x3 3分别为母亲与父亲受到教育的年数。分别为母亲与父亲受到教育的年数。 （1 1）x x1 1是否具有预期的影响？为什么？若是否具有预期的影响？为什么？若x x2 2与与x x3 3保持不保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要x x1 1增加多少？增加多少？ （2 2）请对）请对x x2 2的系数给予适当的解释。的系数给予适当的解释。 （3 3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其

36、中一个的父）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为母受教育的年数为1212年，另一个的父母受教育的年数为年，另一个的父母受教育的年数为1616年，则两人受教育的年数预期相差多少？年，则两人受教育的年数预期相差多少？321210. 0131. 0094. 036.10xxxy 补充： 虚拟变量dummy variable2021-11-12761 1、定义、定义 许多经济变量是许多经济变量是可以定量度量可以定量度量的。但也有一些影的。但也有一些影响经济变量的因素响经济变量的因素无法定量度量无法定量度量。 为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提高为了在模型中能够反映这些因素

37、的影响，并提高模型的精度，需要将它们模型的精度，需要将它们“量化量化”。这种。这种“量化量化”通常是通过引入通常是通过引入“虚拟变量虚拟变量”来完成的。来完成的。 根据这些因素的属性类型，构造只取根据这些因素的属性类型，构造只取“0”0”或或“1”1”的 人 工 变 量 ， 通 常 称 为的 人 工 变 量 ， 通 常 称 为 虚 拟 变 量虚 拟 变 量 （ d u m m y d u m m y variablevariable），记为，记为d d。一、虚拟变量的概念及作用一、虚拟变量的概念及作用2021-11-1277性别性别d1男性男性0女性女性城市与农村城市与农村d1城市城市0农村农

38、村例：例： 0 非非 本本 科科 学学 历历 d= 1 本本 科科 学学 历历 一般地，在虚拟变量的设置中：一般地，在虚拟变量的设置中： 基础类型、否定类型取值为基础类型、否定类型取值为0 0； 比较类型，肯定类型取值为比较类型，肯定类型取值为1 1。学历学历2021-11-12782 2、模型中引入虚拟变量的作用、模型中引入虚拟变量的作用（1 1）可以描述和测量定性因素的的影响。）可以描述和测量定性因素的的影响。（2 2）能够正确反映经济变量之间的相互关）能够正确反映经济变量之间的相互关系，提高模型的精度。系，提高模型的精度。 （相当于将不同相当于将不同属性的样本合并，扩大了样本容量属性的样

39、本合并，扩大了样本容量）。）。 （3 3）便于处理异常数据。）便于处理异常数据。2021-11-1279二、虚拟变量的设置二、虚拟变量的设置1 1、虚拟变量的设置原则、虚拟变量的设置原则 （1 1）一个因素多个属性）一个因素多个属性 如果某定性因素有如果某定性因素有 m m 种互斥的属性类型种互斥的属性类型，在模型中引入，在模型中引入 m-1m-1 个虚拟变量。个虚拟变量。 如果不如此，如果不如此，m m个状态引入个状态引入m m个虚拟变量来个虚拟变量来表示，虚拟变量间会造成表示，虚拟变量间会造成完全多重共线性完全多重共线性。011td其他春季012td其他夏季013td其他秋季例例1 1：性

40、别有性别有2 2个互斥的属性，引用个互斥的属性，引用2-1=12-1=1个虚拟个虚拟变量；变量；例例2 2：文化程度分小学、初中、高中、大学、研文化程度分小学、初中、高中、大学、研究生究生5 5类，引用类，引用4 4个虚拟变量。个虚拟变量。例例3 3：已知冷饮的已知冷饮的销售量销售量y y除受除受k k种定量变量种定量变量x xk k的的影响外，还受影响外，还受春、夏、秋、冬四季春、夏、秋、冬四季变化的影响，变化的影响，要考察该四季的影响，只需引入要考察该四季的影响，只需引入三个虚拟变量三个虚拟变量即即可：可：2021-11-1281则冷饮销售量的模型为：则冷饮销售量的模型为：在上述模型中，若

41、再引入第四个虚拟变量：在上述模型中，若再引入第四个虚拟变量：ttttktkttdddxxy332211110014td其他冬季则冷饮销售模型变量为：则冷饮销售模型变量为：tttttktkttddddxxy44332211110完全多重共线性完全多重共线性2021-11-1282（2 2）多个因素多个属性）多个因素多个属性 k个定性变量，每个变量有个定性变量，每个变量有mi个属性类型（个属性类型（i=1，2，k） 虚拟变量个数为：虚拟变量个数为：kiim1) 1(（3 3）虚拟变量在模型中，可以作解释变量，也可）虚拟变量在模型中，可以作解释变量，也可以作因变量。以作因变量。2021-11-128

42、32 2、虚拟变量的引入方式、虚拟变量的引入方式 虚拟变量作为解释变量引入模型有两种基本虚拟变量作为解释变量引入模型有两种基本方式：方式：加法方式加法方式和和乘法方式乘法方式。2021-11-1284例：例：研究女性在工作中是否受到歧视，设研究女性在工作中是否受到歧视，设y y表表示年薪，示年薪，x x表示工作年限，建立如下虚拟变量表示工作年限，建立如下虚拟变量模型模型：udxy210 0 女女 性性 d = 1 男男 性性 其中：其中：（1 1）加法方式）加法方式作用：作用：改变截距水平。改变截距水平。 2021-11-1285 y 男性 女性 0+2 0 x 对估计结果应用对估计结果应用t

43、检验：检验：若若2 2显著异于显著异于0 0，则说明存在性别歧视；，则说明存在性别歧视；若若2 2不显著异于不显著异于0 0，则说明不存在性别歧视；，则说明不存在性别歧视；2021-11-1286（2）乘法方式 用虚拟解释变量与其他解释变量相乘作为新的用虚拟解释变量与其他解释变量相乘作为新的解释变量，以达到调整模型斜率系数的目的。解释变量，以达到调整模型斜率系数的目的。 例例：不同的家庭结构，家庭消费支出的不同的家庭结构，家庭消费支出的mpc可可能会发生变化。能会发生变化。ttttotuxdaxbby)(11有适龄子女有适龄子女0无适龄子女无适龄子女其中其中，d d2021-11-1287y

44、有适龄子女 无适龄子女 b0 x ttottotuxbbuxabby11)(上式相当于下列两式：上式相当于下列两式：a a是否显著是否显著可以表明斜率在可以表明斜率在不同家庭结构下是否变化。不同家庭结构下是否变化。2021-11-1288（3）一般方式（混合方式） 当截距与斜率发生变化时，则需要同当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入时引入加法与乘法加法与乘法形式的虚拟变量。形式的虚拟变量。2021-11-1289此式等价于下列两式：此式等价于下列两式：ttttttuxyuxy)()(112010男性：女性：例：例：如果男性与女性就业者的初始年薪和年薪增如果男性与女性就业者的初始年薪和年薪增加

45、速度都有差异，则可以将加速度都有差异，则可以将加法模型加法模型和和乘法模型乘法模型结合起来。结合起来。ttttttudxdxy2110d1男性男性0女性女性2021-11-1290（4）分段线性回归 在经济发生转折时期，可通过建立临界指标的虚拟变量在经济发生转折时期，可通过建立临界指标的虚拟变量模型来反映。模型来反映。 例如例如：进口消费品数量进口消费品数量y主要取决于国民收入主要取决于国民收入x的多少，的多少，中国在改革开放前后，中国在改革开放前后，y对对x的回归关系明显不同。的回归关系明显不同。 这时，可以这时，可以t*=1979年为转折期，以年为转折期，以1979年的国民收入年的国民收入xt*为临界值，设如下虚拟变量：为临界值，设如下虚拟变量：01td*tttt则进口消费品的回归模型可建立如下：则进口消费品的回归模型可建立如下：ttttttdxxxy)(*2102021-11-1291ols法得到该模型的回归方程为:则两时期进口消费品函数分别为：则两时