信号与系统课件 第八章 z变换、离散时间系统的z域分析

1、本章主要讨论：本章主要讨论：Z变换的定义、收敛域、性质；变换的定义、收敛域、性质；利用利用z变换解差分方程；变换解差分方程；利用利用z平面零极点的分布研究系统的特性平面零极点的分布研究系统的特性；与傅氏变换和拉氏变换的关系。与傅氏变换和拉氏变换的关系。一一z变换的导出变换的导出抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换离散信号的离散信号的z变换变换s( )( )( )Tx tx tt( )()() ()nnx ttnTx nTtnT对对 取拉氏变换取拉氏变换s( )x tss( )( )() ()nXsL x tLx nTtnT)(stxDA/)(nxk数字滤波器)(ngkAD/)(tg)(tp)(

2、txOt( () )txsTT2( () ) ( () )nTtnTx On( ( ) )nx1 2( )s()()()esnTnnXsx nT LtnTx nT js其中 e sTz 引入复变量，为连续变量se( )|( )( )sTnznXsx n zX z( ) x nz对任一信号的（双边） 变换式为( )( )nnX zx n z()( )x nTx n，将表示为( )( )nnX zx n z21012( 2)( 1) (0)(1)(2)( )znzxzxzxzxzxzx n z 的正幂的负幂( ( ) )的幂级数的幂级数是是1 zzX( ( ) )的位置的位置指出指出中的中的幂幂

3、nxnn ( ( ) )nx 级数的系数是级数的系数是二对二对z变换式的理解变换式的理解说明说明0( )( ),nnX zx n zz单边 变换0 nz 的负幂级数构成右边序列1 nz 的正幂级数构成左边序列若双边序列取单边若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序变换，或对因果信号（有起因序列）列） 存在的序列取存在的序列取z z变换变换 0n z变换的定义 变换变换双边双边变换变换单边单边nnnnznxzXzznxzXz)()()()(0( ( ) )的生成函数。的生成函数。为为某些文献中也称某些文献中也称数）；数）；的幂级数（亦称罗朗级的幂级数（亦称罗朗级复变量复变量)(1nxzXz

4、 典型序列的z变换一单位样值函数一单位样值函数 0 001)(nnn 1)()( nnznzX 二单位阶跃序列二单位阶跃序列 0001)(nnnu1 z1111)(1321 zzzzzzzXnO)(n 1nO)(nu11 2 3三斜变序列的三斜变序列的z z变换变换？， 0)()()(nnnzzXnnunx已知已知 1 11)(10 zzznuZnn1101 1nnzzz对 式两边，对求导21011)1(1)( zznnn两边同时乘以两边同时乘以z-1 ，可得，可得 1 z( ( ) ) 20)1( zzznnnuZnn（用间接方法求）（用间接方法求）指数序列指数序列( )( )nx na u

5、 nza( )0nnnX za z111zazza1 1右边序列右边序列( )()2. 1nx na un 左边序列zzaza()1( )nnnX za zmn 令()1111mmma zaza z五正弦与余弦序列五正弦与余弦序列 ( () )( ( ) )nun0cos ( () )2eecos 00jj0nnn 因为因为( )00jjee nzZu nz 1z 单边余弦序列单边余弦序列 () ( )()0000jj20cos1 cos2ee2 cos1z zzzZ n u nzzzz所以同理同理() ( )0000jj20sin1 sin2 jee2 cos1zzzL n u nzzzz收

6、敛域的定义收敛域的定义讨论几种情况讨论几种情况一收敛域的定义一收敛域的定义收敛的所有收敛的所有z 值之集合为收敛域。值之集合为收敛域。( )( )nnX zx n z ( ) ROCnnx n z 即满足的区域（）对于任意给定的序列对于任意给定的序列x(n) ，能使，能使ROC: Region of convergence不同的不同的x(n)的的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的同的z 变换，故在确定变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。变换时，必须指明收敛域。二讨论几种情况二讨论几种情况1有限长序列的收敛域12( ),x nnnn2右边序列的收敛

7、3左边序列的收敛4双边序列的收敛( )( )0nx na u nn ()( )11nx na unn ( )0nx nbnb 2132( )( )( )nnnn nnX zx n zx n z122,3nn 2101230( 2)( 1)(0) (1)(2)(3)zzxzxzxzxzxzxz 常数所以，收敛域为所以，收敛域为 的的z平面。平面。 例8-3-1 z02 2右边序列的收敛右边序列的收敛( )( )nx na u n1001( )lim1nnnnnnnaazX za zazz1azaz当，即时收敛( )11zX zazazzaROC：例8-3-21 0( )30 0nnx nzn求信

8、号的 变换的收敛域。2311113(3 )(3 )zzz 若该序列收敛，则要求若该序列收敛，则要求113 z00011( )( )33nnnnnnnX zx n zzz即收敛域为：即收敛域为： 13z )Re(z)Im(jz0313左边序列的收敛( )zX zza()( )11nx na unn ()1( )nnnX za zmn 令()111( )1mmma zX zaza z1zzaa当，即时收敛ROC: za例8-3-30 0( )1 02nnx nzn求信号的 变换的收敛域。1232222zzzzz111111( )( )222nnnnnnnnnnzX zx n zzz收敛域为：收敛域

9、为： 12z所以2z )Re(z)Im(jz024 4双边序列的收敛双边序列的收敛( )0nx nbnb ()()()11111nnb unbunzzbzb ( ) nzb u nzbzb1 01bbb若1ROC:bzb则( )( )()00 1nnnnx nb u nb un 或n( ( ) )nbnx 10 b1n( ( ) )nbnx 1 b1例8-3-4103( )102nnnx nnROC:123z)Re(z)Im(jzO23 / 1四总结四总结x(n)的收敛域（的收敛域（ROC）为）为 z 平面以原点为中心平面以原点为中心 的圆环；的圆环； ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；

10、内不包含任何极点（以极点为边界）；有限长序列的有限长序列的ROC为整个为整个 z 平面平面 （可能除去（可能除去z = 0 和和z = ）；）；右边序列的右边序列的ROC为为 的圆外；的圆外；1zR左边序列的左边序列的ROC为为 的圆内；的圆内；2zR 双边序列的双边序列的ROC为为 的圆环。的圆环。12RzR部分分式展开法部分分式展开法幂级数展开法幂级数展开法围线积分法围线积分法留数法留数法一部分分式展开法一部分分式展开法( ) (1)nna u nzazza unzaza 变换的基本形式1z变换式的一般形式 zRz包括包括收敛域收敛域右边序列右边序列因果序列因果序列, , zkr 为了保证

11、处收敛，其分子多项式的阶次不能大于分母多项式的阶次 即必须满足。kkkkrrrrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX 112210112210)()()( )1etu ts拉氏变换的基本形式：2求逆z变换的步骤( ( ) )为真分式为真分式zzx z 提出一个( ) x zzz查反变换表查反变换表 再部分分式展开再部分分式展开 3 3极点决定部分分式形式极点决定部分分式形式 NmmmzzzAAzX10)(0,)()()()()( 22110 nzAzAzAnAnxnNNnn 对一阶极点对一阶极点NNNmmmzzAzzAzzAzAzzAzAzzX 2211010)(000 0bAza

12、极点的系数( )() mmmmz zX zAzzzzz极点的系数NNzzzAzzzAzzzAAzX 22110)( 所以所以( ) X z 的极点也可分为一阶极 点和高阶极点。例8-4-1221)( zzzzzX)()2(2)()(nununxn ( ( ) ) ( ( ) )nun122 ( ( ) )。求求，已知已知nxzzzzzX, 2:ROC)2)(1()(2 ( )X zz除以( ) X zz将展开为部分分式( ( ) )21 zBzAzzX2211)( zzzzX所以所以1(1)1(1)(2)zzAzzz 同理：同理：B2 z部分分式乘以)2)(1()( zzzzzX查表查表收敛域

13、与原函数的对应221)( zzzzzX2z 右右右右)()2(2)()(nununxn 12z右左右左)1()2(2)()( nununxn1z 左左左左)1()2(2)1()( nununxnO zRe zImj12高阶极点（重根）高阶极点（重根） sjjijzzzBzX1)()( 设设BsjddzzzX zzjsjsjisz zi1()!()( )例8-4-2zBzBzBzzzzX32212)1(1)1(1)( ( () )( () )11111222 zzzzB( () )( () )1 111dd)!12(11221 zzzzzB( () )111023 zzzzB2 ( )11(1)

14、zzX zzz所以( )( )( )( )x nu nnu nn ( ( ) )。求求nxzzzX, 1,)1(1)(2 2,1,2sj这里izzsijsjsjzzXzzzjsB )()(dd)!(1二幂级数展开法二幂级数展开法 2101221012zxzxzxzxzx)()()()()(kkkkrrrrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX 112210112210)()()(z z变换式一般是变换式一般是z的的有理函数有理函数，可表示为：，可表示为： 直接用长除法进行逆变换直接用长除法进行逆变换( ( ) )( ( ) ) nnznxzX( )x n级数的系数就是序列（是一个（是

15、一个z z 的幂级数）的幂级数）1幂级数展开法2 2右边序列的逆右边序列的逆z z变换变换( ) X zz将以的降幂排列 2100)2()1()0()()(zxzxzxznxzXnn3左边序列的逆z变换 3211 )3()2()1()()(zxzxzxznxzXnn( ) X zz将以 的升幂排列例8-4-3012 ( )(0) (1)(2)X zxzxzxz因为( ( ) ) , 4, 3, 2, 1, 0 nx所以所以( ( ) )( ( ) )。，求，求已知已知nxzzzzzX1122 nzz收敛域在圆外，故是右边序列，一定是形式，采用 的降幂排列：z122 zz 43214 3 2 z

16、zzz12 zz12 z21242 zz212 3 zz321363 zzz3234 zz432484 zzz4345 zz( )00 x因为长除结果无常数项，则。例8-4-4( ( ) ) 11, 2, 3, 4, nnx所以所以( ( ) )1211222 zzzzzzzzXz221zz 4324 3 2 zzzz322 zzz 322zz 432242zzz 432 3zz 543363zzz 5434zz 654484zzz 6545zz 主要内容线性线性位移性位移性序列线性加权序列线性加权序列指数加权序列指数加权初值定理初值定理终值定理终值定理时域卷积定理时域卷积定理z z域卷积定理

17、（自阅）域卷积定理（自阅）一线性一线性a,b为任意常数。为任意常数。 ( () ) ( () ) ( () )212121 )()()()( )()( )()( RzRzbYzaXnbynaxZRzRzYnyZRzRzXnxZyyxx 则则若若ROC：一般情况下，取二者的一般情况下，取二者的重叠重叠部分部分),min(),max( 2211yxyxRRzRR 即即某些线性组合中某些某些线性组合中某些零点与极点相抵消零点与极点相抵消，则收敛域可能扩，则收敛域可能扩大。大。( (表现为叠加性和均匀性）表现为叠加性和均匀性） )()(nuanxnaz )1()(nuanynaz ( ( ) ) nn

18、ynx)()(例8-5-1零极点相消，收敛域扩大为整个零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。平面。( )zX zza( )aY zza( )( )1X zY z二位移性二位移性1.1.双边双边z变换变换2.2.单边单边z变换变换(1) 左移位性质左移位性质(2) 右移位性质右移位性质nO)(nx4nO)2( nx4nO)2( nx411 211 211 2 原序列不变，只影响在时间轴上的位置。原序列不变，只影响在时间轴上的位置。处处收敛域：只会影响收敛域：只会影响 zz, 0( ( ) ) )()()()(zXzmnxZzzXnxZznxm 变换为变换为的的，则其右移位后，则其右移位后变换为变换

19、为的双边的双边若序列若序列1 1双边双边z变换的位移性质变换的位移性质 )()(zXzmnxZzm 变换为：变换为：同理，左移位后的同理，左移位后的2 2单边单边z变换的位移性质变换的位移性质nO( ( ) )nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 O 11 O 11 ( () ) ( ( ) ) ( () ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) ,的长度有所增减。的长度有所增减。较较nunxnumnxnumnx 若若x(n)为双边序列，其为双边序列，其单单边边z变换为变换为 )()(nunxZ(1)(1)左移位性质左移位性质 )()()( zXnunxZ

20、 若若 10)()()()( mkkmzkxzXznumnxZ则则为正整数为正整数其中其中m( () ) ( ( ) )( ( ) )01zxzzXnxZ ( () ) ( ( ) )( ( ) )( ( ) )10222zxxzzXznxZ (2)(2)右移位性质右移位性质 )()()( zXnunxZ 若若 1)()()()( mkkmzkxzXznumnxZ则则为正整数为正整数其中其中m( ( ) )，则，则时，时，注意：对于因果序列注意：对于因果序列00 nxn() ( )( )mZ x nm u nzX z而而左左移位序列的移位序列的单单边边z变换变换不变不变。( () ) ( (

21、) )( () )111 xzXznxZ( () ) ( ( ) )( () )( () )21212 xxzzXznxZ七时域卷积定理七时域卷积定理 ( () ) ( () ) )()()(*)( )()( )()( 2121zHzXnhnxZRzRnhZzHRzRnxZzXhhxx 则则已知已知),min(),max(2211hxhxRRzRR 收敛域：收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分一般情况下，取二者的重叠部分即即描述：描述：两序列在两序列在时时域中的域中的卷积卷积的的z变换等效于在变换等效于在z域中域中两序列两序列z变换的变换的乘积乘积。注意：注意：如果在某些如果在某些线性组合线性

22、组合中某些中某些零点与极点相抵零点与极点相抵消消，则收敛域，则收敛域可能扩大可能扩大。例8-5-7。求求，)()()(,)()(),()(nhnxnynubnhnuanxnn ( () )azazzzX )( () )bzbzzzH )()()()()( 2bzazzzHzXzY 所以所以max( , )za b收敛域：解：解：a bO( ( ) )zRe( ( ) )zImj收敛域收敛域由由Y(z)求求y(n) bzbzazazbazY1)( 因为因为 )()(1)( nubbnuaabanynn 所以所以( () )(111nubabann 2( )()()zY zza zb 描述离散时间

23、系统的数学模型为差分方程。求解差分描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：时域方法时域方法第七章中介绍，烦琐第七章中介绍，烦琐z变换方法变换方法差分方程经差分方程经z变换变换代数方程；代数方程；可以将时域卷积可以将时域卷积频域（频域（z域）乘积；域）乘积；部分分式分解后将求解过程变为查表；部分分式分解后将求解过程变为查表；求解过程自动包含了初始状态。求解过程自动包含了初始状态。8.7 用z变换解差分方程一应用一应用z

24、变换求解差分方程步骤变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行对差分方程进行单边单边z变换变换（移位性质移位性质）；(2)由由z变换求出响应变换求出响应Y(z) ；(3) 求求Y(z) 的反变换，得到的反变换，得到y(n) 。 )()()( zXnunxZ 若若 1)()()()( mkkmzkxzXznumnxZ则则为正整数为正整数其中其中m右移位性质右移位性质( () ) ( ( ) )( () )111 xzXznxZ( () ) ( ( ) )( () )( () )21212 xxzzXznxZ例8-7-1(原教材例7-10(2)求系统的完全响应。求系统的完全响应。若边界条件若边界条件

25、达式为达式为已知系统的差分方程表已知系统的差分方程表, 1)1()(05. 0)1(9 . 0)( ynunyny( ( ) )( ( ) )( () ) 105. 019 . 01 zzyzYzzY( ( ) )( () )( () )( () )9 . 019 . 09 . 0105. 02 zzyzzzzY解：解：方程两端取方程两端取z变换变换( )0.050.9(1)(0.9)0.9Y zzzzzz45. 0 5 . 021 AA( )0.50.4510.9zzY zzz( ( ) )( () )( () )0 9 . 045. 05 . 0 nnyn( )1210.9Y zAAzzz

26、( )0.050.9(1)(0.9)0.9Y zzzzzz例8-7-2 ( ( ) )( () )( ( ) )( () )1121 LTIS nxnxnyny的差分方程为的差分方程为( )( )()( )112 2nx nu nyy n，求。解解: :( ( ) )( ( ) )( () ) ( ( ) )( ( ) )( () )112111 xzXzzXyzYzzY( ( ) )( ( ) )( ( ) )( () )0112111 zzXzYzzY方程两边取方程两边取z变换变换代入边界条件代入边界条件( ( ) )( ( ) )nunynn 212123 所以所以整理为整理为( ( )

27、 ) 212123212123 211111121zzzzzzzzzzzzY( ( ) )( ( ) )( ( ) )( () )0112111 zzXzYzzY( )12zX zz例8-7-3解：解：已知系统框图已知系统框图列出系统的差分方程。列出系统的差分方程。求系统的响应求系统的响应 y(n)。 （1） 列差分方程，从加法器入手列差分方程，从加法器入手( ( ) )( () )( () )( () )( ( ) )nynynynxnx 22131( ( ) )( () )( () )( ( ) )( () )12213 nxnxnynyny所以所以E1( ( ) )nxE1E12 3 (

28、 ( ) )ny ( ( ) )( () )( ( ) )( ( ) ) , 010,0002yynnnxn ( () )( () )452,211 yy( ( ) )( ( ) )( () ) ( ( ) )( () )( () ) 21213121 yyzzYzyzYzzY( () )( () )( ( ) )1 01221 xzzzzz（3）差分方程两端取）差分方程两端取z变换，利用右移位性质变换，利用右移位性质（2）( () )( () )( ( ) )( ( ) )由方程迭代出由方程迭代出用用变换求解需要变换求解需要用用0,1,2,1yyyyz ( )()()( )()31221y

29、ny ny nx nx n( ( ) )( () )( ( ) )( ( ) ) , 010,0002yynnnxn( )( )()( )( )1302110yyyxxa.由激励引起的零状态响应由激励引起的零状态响应( ( ) ) 2123121zs zzzzzY( )()()()2zs222222zzzYzzzz( )()()( )zs12nynnu n( )( )()( )()()12113121222zzY zz Y zyz Y zz yyzzz( () )( () )452,211 yy2,)()(2 aazaznunan( ( ) ) ( () )( () )( () )221312

30、231121zi yyyzzzzY( ( ) )( () )( () )( () )1223121zi zzzzzzzzzY( )()()zi32210nnynn b.由储能引起的零输入响应由储能引起的零输入响应( )()()()()21222 0nnny nnn( ( ) )( () )( () )( () )22112221212 zBzBzAzzzzY()()()()2121d22222 1 ! d12Bzzzzz ( ( ) )( () )2222212 zzzzzY所以所以( ( ) )( () )2222212 zzzzzzzY( )()()()()21222 0nnny nnn2

31、, 221 BA( ( ) )( () )( () )2212 zzzzY( )( )()( )()()12113121222zzY zz Y zyz Y zz yyzzz( () )( () )452,211 yy由方程解由方程解y(n)表达式可以得出表达式可以得出y(0)=0, y(1)=0，和已知条，和已知条件一致。件一致。验证( )()()()()21222 0nnny nnn二差分方程响应二差分方程响应y(n)的起始点确定的起始点确定( ( ) )( () )( () )2212 zzzzY全全响应响应y(n)根据根据输入输入信号信号加上加上的时刻定的时刻定对因果系统对因果系统y(n

32、)不可能出现在不可能出现在x(n)之前之前观察观察Y(z)分子分母分子分母的幂次的幂次分母分母高高于分子的于分子的次数次数是响应的是响应的起点起点 ( )2 ny n从开始有不为零的值 。三差分方程解的验证三差分方程解的验证( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 解答是正确的解答是正确的两种迭代结果相同两种迭代结果相同解的表达式迭代出解的表达式迭代出原方程迭代出原方程迭代出,2,1,02,1,0yyyyyy8.8 离散系统的系统函数单位样值响应与系统函数单位样值响应与系统函数系统函数的零极点分布对系统特性的影响系统函数的零极点分布对系统特性

33、的影响确定单位样值响应确定单位样值响应稳定性稳定性因果性因果性一单位样值响应与系统函数一单位样值响应与系统函数1.1.定义定义2.2. h(n)和和H(z)为一对为一对z z变换对变换对( ( ) )( ( ) )( ( ) ) NkkkMrrrzazbzXzYzH00( ( ) ) ( ( ) )zHnhZ ( () )( () ) MrrNkkrnxbknya001 1定义定义线性时不变离散系统由线性常系线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为数差分方程描述，一般形式为 ( ( ) )( ( ) ) MrrrNkkkzbzXzazY00( ( ) )( ( ) )( ( )

34、) NkkkMrrrzazbzXzYzH00 所以所以( () )( () )021 xx( () )( () )021 yy激励为因果序列激励为因果序列系统处于零状态系统处于零状态上式两边取上式两边取z变换得变换得 只与系统的差分只与系统的差分方程的方程的系数、结构系数、结构有有关，描述了系统的关，描述了系统的特特性。性。 ( ( ) )zH( ( ) )数。数。离散时间系统的系统函离散时间系统的系统函： zH2 h(n)和和H(z)为一对为一对z变换变换( ( ) ) ( ( ) )zHnhZ ( )( )( )( )( )( )zsynh nx nY zH zX z系统的零状态响应：系统

35、的零状态响应：( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ) zHZnhnhzH1: 求求由由系统系统)(n )(nh例8-8-1( ( ) )( () )( () )( ( ) )( () )12213 nxnxnynyny， ( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( () )121123 zzXzYzzYzzY则则( ( ) )( ( ) )( ( ) )zXzYzH 解：解：求系统的零状态响应求系统的零状态响应在零状态条件下，对差分方程两边取单边在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换变换已知离散系统的差分方程为：已知离散系统的差分方程为：激励激励( ( )

36、 )( () )( ( ) )( ( ) )( ( ) )。及零状态响应及零状态响应求系统函数求系统函数nyzHnunxnzs ,2 X( ( ) )( ( ) )( ( ) )2222 zzzzzzzXzHzY( ( ) )( () )( () )( ( ) )nunnyn21 zs 所以所以( () )( () )( () )22112311211 zzzzzzzzz二二系统函数的零极点分布对系统特性的影响系统函数的零极点分布对系统特性的影响1.1.由零极点分布确定单位样值响应由零极点分布确定单位样值响应2.2.离散系统的稳定性离散系统的稳定性3.3.系统的因果性系统的因果性( ( ) )

37、( ( ) )( ( ) )( ( ) )的特性的特性确定单位样值响应确定单位样值响应的零极点分布情况，的零极点分布情况，所以可以从，所以可以从因为因为nhzHzHnh一单位样值函数一单位样值函数( )1n二单位阶跃序列二单位阶跃序列1 z( )1zu nz( )nza u nza三指数序列三指数序列四单位斜变序列四单位斜变序列2( )(1)znu nzza(1)nza unza za正弦与余弦序列正弦与余弦序列 ()0000jjjj0ee( e)( e)cos22 n nnnnnrrr nr()00jj0ee cos2 n n n( )00jj( e)enzZru nzr zr() ( )(

38、)0000jj20cos1 cos2ee2 cos1z zzzZ n u nzzzz() ( )000jj1 cos2eenzzZ r n u nzrzr OzRezjIm1 1 极点位置与极点位置与h(n)形状的关系形状的关系( () )( )( 1 1 )4()( 1)( )3()( 1 1 )2()( )10( )1(02221二阶极点二阶极点nnuzzppnubbzzbbpnuzzpnuaazzaapnn j4j4j44(1) e (01) 2cos( ) 4(2) e 2cos( )4(3) e (1) 2cos( ) 4nnnpaaau nnpu nnpbbbu n减幅振荡等幅振荡

39、增幅振荡j22e 2cos( )2npu n3j43j43j4343 (1) e (01) 2cos( ) 43 (2) e 2cos( )43 (3) e (1) 2cos( ) 4nnnpaaau nnpu nnpbbbu n减幅振荡等幅振荡增幅振荡( )()( )jj(1) e (01) 2cos ( ) 21( )(2) e1 2cos ( ) nnnpaaaau nau npu n 减幅振荡等幅振荡()( )()j 1( )(3) e (1) 2cos ( ) 21( )nnnnu npbbbbu nbu n 增幅振荡s平面平面z平面平面极点位置极点位置h(t)特点特点极点位置极点位

40、置h(n)特点特点虚轴上虚轴上等幅等幅单位圆上单位圆上等幅等幅原点时原点时 左半平面左半平面衰减衰减单位圆内单位圆内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅( ( ) )stu10 ( ( ) )1 zznu利用利用zs平面的映射关系平面的映射关系1 z2 2离散系统的稳定性离散系统的稳定性( )nh n 对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的（定是有界的（BIBO)。(2)(2)稳定性判据稳定性判据(1)定义：定义：判据判据1 1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。可和。判据判

41、据2 2：对于对于因果因果系统，其稳定的充要条件为：系统，其稳定的充要条件为： H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内位圆在内: 。 1 , aaz(3)连续系统和离散系统稳定性的比较 ( ( ) ) tthd( ( ) ) nnh连续系统连续系统离散系统离散系统系统稳定的充系统稳定的充要条件要条件极点极点H(s)的极点全的极点全部在左半平面部在左半平面H(z)的极点全部的极点全部在单位圆内在单位圆内收敛域收敛域含虚轴的右半含虚轴的右半平面平面含单位圆的圆含单位圆的圆外外临界稳定的极临界稳定的极点点沿虚轴沿虚轴单位圆单位圆3系统

42、的因果性系统因果性的判断方法：系统因果性的判断方法：z域：域： 收敛域在圆外收敛域在圆外 输出不超前于输入输出不超前于输入( ( ) )( ( ) ) ( ( ) )nunhnh ：时域时域例8-8-2( ( ) )( () )( () )( ( ) )( () )1224. 012 . 0 nxnxnynyny( ( ) )( () )( () )( ( ) )( () )1224. 012 . 0 nxnxnynyny下面方程所描述的系统是否为因果系统？下面方程所描述的系统是否为因果系统？ 解：解：输出未超前于输入，输出未超前于输入，所以是因果系统。所以是因果系统。例8-8-3解：解：(

43、( ) )( ( ) )。，判断因果性，稳定性，判断因果性，稳定性系统系统nunh LTI( ( ) ) nnh不稳定系统不稳定系统( ( ) )( ( ) ) 0, 00, 1nnnunh从时域判断从时域判断因果系统因果系统( ( ) )1 :ROC 1 zzzzH，从从z域判断域判断极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆不稳定（边不稳定（边界稳定）。界稳定）。 h(n)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。 例8-8-4LTILTI系统，系统， ，判断因果性、稳定性。，判断因果性、稳定性。 ( )()()0.5nh nun

44、注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。( )()()()1h n231( )()()1120.521122nnnnnzzH zzzzz从时域判断：从时域判断：( ) nh n 所以不稳定不稳定从从z域判断：域判断：收敛域收敛域 ，极点在处，极点在处 ，12z 12z 是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。从时域判断：从时域判断： 不是因果系统不是因果系统 ()1,00,0nunn三补充三补充1两个加法器情况下，列差分方程两个加法器情况下，列差分方程2如何由如何由H(z)列

45、系统的差分方程列系统的差分方程 )()1(4)()()1(3 . 0)(nynwnwnwnwnx )()(4)()()(3 . 0)(11zYzWzzWzWzWzzX3 . 03373403 . 04)()()()()( zzzzzXzWzWzYzH所以所以例8-8-5解：解：分别取分别取z变换变换系统框图如下，求系统框图如下，求H(z),h(n)。 1 z( ( ) )nx( ( ) )ny43 . 0 )1()3 . 0(337)()()3 . 0(337)(340)( nunnunnhnn方法：设中间序列方法：设中间序列w(n)列差分方程列差分方程( )w n()1w n例8-8-6)(

46、4)()(3 . 0)( 11zXzzXzYzzY 所以所以)1(4)()1(3 . 0)( nxnxnyny。，列出系统的差分方程，列出系统的差分方程已知已知3 . 04)( zzzH解：解： 分子分母同除以分子分母同除以z的最高次幂的最高次幂)()(3 . 0141)(11zXzYzzzH 画出系统的框图为：画出系统的框图为：使用多个加法器节省了延时单元。使用多个加法器节省了延时单元。1 z 1 z3 . 04( ( ) )nx( ( ) )ny 一定义一定义OTT2T3tT ( ( ) )( ( ) )ttxT O123n1 ( ( ) )nx nnnTnTxnTtnTxFttxFTje

47、)()()()()()( ), x nTx nT令DTFT:Discrete-time Fourier transform为研究离散时间系统的频为研究离散时间系统的频率响应作准备，从抽样信率响应作准备，从抽样信号的傅里叶变换引出：号的傅里叶变换引出： ( ( ) ) ( () )nnTXnxFnxttxFjjee)()()( ()( )jjjee( )enznXX zx n( ( ) )( ( ) ) nnznxzXje ,1,zzz令即单位圆上的 变换 2周期为周期为()jje( )ennXx nsResImjO)j(W W s虚轴虚轴zRezImjO 1 )e(j z单位圆单位圆( ( )

48、 ) ( () )( ( ) )( () ) ( ( ) )( () )XnxXnxXnxnnndee21eIDTFTdeeDTFTjjjjj 二傅氏变换、拉氏变换、二傅氏变换、拉氏变换、z z变换的关系变换的关系1.1. 三种变换的比较三种变换的比较2.2.频率的比较频率的比较3.3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换4.z平面单位圆上的平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换变换即为序列的傅氏变换（DTFT）1 1四种变换的比较四种变换的比较( ( ) )tx 连续信号连续信号jsj esTjzre变换名变换名称称傅里叶变傅里叶变换换拉普拉拉普拉斯变换斯变换z

49、 z变换变换信号类信号类型型变量变量离散时间傅离散时间傅里叶变换里叶变换( () )nTx 离散信号离散信号je( ) x n对于离散序列：( )()esnTsnXsx nT拉氏变换 nnTzsT,e( )( ) nnzX zx nz变换jez ,TnTnW ()( )jjeennXx nDTFT()()ej nTsnXjx nT WW FT变换sjW( )( )() ()Tnx t tx nT tnT2 2频率的比较频率的比较模拟角频率模拟角频率 ，量纲：弧度，量纲：弧度/ /秒；秒；数字角频率数字角频率 ，量纲：弧度；，量纲：弧度； 是周期为是周期为 的周期函数的周期函数关系：关系： Tj

50、e23 3s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换sj, 0 ( () )( ( ) )ssHHjj 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的离散时间傅氏变换（DTFT）zzje, 1 ( () )( ( ) )zzXXjej 例：求例：求 的的DTFTDTFT1|anuanhnWWWWjnnjnnjnaeaeeaH11)()(0a=3/4，a=-3/4时，时，hn对信号起什么作用？对信号起什么作用？( )()( )jjDTFTeednnx nXx nWWWWcos2316911)sin43()cos431 (1| )(|221HWWjeH4311)(1a=-3/4时时W

51、WjeH4311)(2WWWWcos2316911)sin43()cos431 (1| )(|222Ha=3/4时时02| )(|1WHW02| )(|2WHW93nxn02 ()jX eDTFT11sin(21)/ 2()sin(/ 2)jNX e1N 求如图所示信号的求如图所示信号的DTFTDTFT。25225552222222(1)()1()()5sin()2sin()2jjjj njnjjjjjjjeeX eeeeeeeeee94tnjTnntnjnetxTcectx00)(1)(0 dtetxXdeXtxtjtj )()()(21)( W W W W Nnnk jkNknk jken

52、xNcecnx00)(1)(21 ()2() j njnnx nXedXx n eWWWWW DFSDTFTCFSCTFTWWkkNkcX)/2(2)(10101NnnkNknkWnxNkXWkXnxDFTnnncX)(2)(095 ntjnnTectx0)( dtetxTcTtjnTn00)(10 dejtxtj)(21)( dtetxjtj )()(nnncX)(2)(0)(1tGTtA02/ 2/ A 202 CTFT02T 0TA 20 nt0T 2/0T2/A)(txCFS)(X0/2TA00t0T 2/0T2/A)(txCTFTCFS、CTFT、DFS、DTFT、DFT的关系的关系

53、96nN1N 01W1210 NNc10NcDFSnxNkNNck/2)2/sin(2/) 12sin1WWWnxn02 )(WXDTFT1) 2/sin( 2/) 12sin)(1WWWNX1N nN1N 01WNNc12210DTFTnx)/2()2/sin(2/) 12sin2)(1NkNXkWWWN22NnnNjkkNknNjkkenxNcecnx)/2()/2(1WWkkNkcX)/2(2)(WWWWWnjnnjenxXdeXnx)()(212W0Nc10NckXDFT1, 1 , 0/2)2/sin(2/) 12sin1WWWNkNkNNckXknxn011N 10)(10)(22

54、1NnnjkNknjkNNenxkXekXNnx n=0,1,2, N-1 k=0,1,2, N-18.10 离散时间系统的频率响应特性离散系统频响特性的定义离散系统频响特性的定义频响特性的几何确定法频响特性的几何确定法一离散系统频响特性的定义一离散系统频响特性的定义( ( ) )nx( ( ) )nyzs( ( ) )zH离散系统离散系统稳定的因果稳定的因果( ( ) )nxnO( () )1sinnA 1A( ( ) )nyzsnO( () )2sinnB 2B正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系系统

55、对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的统的频率响应频率响应特性。特性。由系统函数得到频响特性由系统函数得到频响特性()( )()( )jjjjeeeeHH zHz()jeH( )离散时间系统在单位圆上的离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性统的频率响应特性: :：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性( () )DTFT)(ej的的即即nhH ( () )。为周期函数，其周期为为周期函数，其周期为为周期函数，所以为周期函数，所以2 e ejjH 例8-10-1已知离散时间系统已知离散时间系统的框图如右图，求的框图如右图，求系统频率响应特性

56、。系统频率响应特性。1 z 2121( ( ) )nx( ( ) )ny解：解：( ( ) )( ( ) )( () )15 . 05 . 0 nxnxny( ( ) )( ( ) )( ( ) )zXzzXzY15 . 05 . 0 ( ( ) )( ( ) )( ( ) )15 . 05 . 0 zzXzYzH系统的差分方程系统的差分方程设系统为零状态的，方程两边取设系统为零状态的，方程两边取z z变换变换系统函数系统函数系统的频率响应特性系统的频率响应特性( () )( ( ) )( () )2j2j2j2jjeje2cos22eee5 . 0e15 . 0ej zzHH幅频特性幅频特性相频特性相频特性( () )2cosej H( ( ) )2 ( ( ) )( ( ) )( ( ) )15 . 05 . 0 zzXzYzH频率响应特性曲线频率响应特性曲线O22 2( () )j 图图 (1) 幅频特性曲线幅频特性曲线图图 (2) 相频曲线相频曲线O22 ( ( ) )Hje1离散系统（数字滤波器）的分类离散系统（数字滤波器）的分类O( ( ) )Hje带通带通Oc( ( ) )Hje低通低通O( ( ) )Hje高通高通O(