数项级数及审敛法2PPT课件

1、1nnu若若,0nu则称则称为为正项级数正项级数 .的收敛（发散）问题归结为数列的收敛（发散）问题归结为数列1nnunS的收敛（发散）问题。的收敛（发散）问题。次都直接用定义去判断级数收敛与否，除在少数次都直接用定义去判断级数收敛与否，除在少数场合外，往往是很困难的。因此，需要简单易行场合外，往往是很困难的。因此，需要简单易行的判敛法。的判敛法。如果数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数如果数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数.级数级数对于同号级数，只需研究正项级数对于同号级数，只需研究正项级数.如果每如果每但在具体应用中，但在具体应用中，一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法

2、第1页/共47页1nnu定理定理 1. 正项级数正项级数收敛收敛部分和序列部分和序列nS),2, 1(n有界有界 .若若1nnu收敛收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列部分和数列nSnS有界有界, 故故nS1nnu从而从而又已知又已知故有界故有界.单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛.证证: “ ”“ ”1nnu对于正项级数对于正项级数nnuuus 21由于由于11nnnuss可见部分和数列单调增加。可见部分和数列单调增加。趋于无穷或有趋于无穷或有极限极限单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.此定理是本节诸判敛法的理论基础此定理是本节诸判敛法的理论基础.其部分和其部分和ns发

3、散发散趋向趋向.收敛准则收敛准则第2页/共47页. 21121121121121收敛收敛证明级数证明级数 nnn证证nns2112112112 n2121212 n211 例例1该正项级数的部分和为该正项级数的部分和为:, 1 所以原级数收敛所以原级数收敛. . 有界，有界，故故ns211)211(21n 第3页/共47页 正项级数的收敛或发散，直观看，正项级数的收敛或发散，直观看， 可以说决定于可以说决定于其其通项趋于通项趋于0的快慢的快慢.若通项趋于若通项趋于0足够快足够快，那么正项级数那么正项级数收敛收敛. 若通项趋于若通项趋于0不够快或不趋于不够快或不趋于0，那么正项级数，那么正项级数

4、发散发散. 但是，什么是趋于但是，什么是趋于0足够快或不够快？因为快慢足够快或不够快？因为快慢是相对的是相对的. 将它将它和已知是收敛或发散的正项级数的通项和已知是收敛或发散的正项级数的通项来比较，来比较，即可知道趋于即可知道趋于0足够快或不够快足够快或不够快 .第4页/共47页,Zn,nnvu 都有都有定理2 (比较审敛法)设设,1nnu1nnv且存在且存在,ZN对一切对一切,Nn 有有(1) 若级数若级数1nnv则级数则级数1nnu(2) 若级数若级数1nnu则级数则级数1nnv证证:设对一切设对一切和令nSn则有则有收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也发散也发散 .分别表示两个级数

5、的部分和分别表示两个级数的部分和, 则有则有nnvu 是两个是两个正项级数正项级数, 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨故不妨第5页/共47页(1) 若级数若级数1nnv则有则有nn lim因此对一切因此对一切,Zn有有nS由定理由定理 1 可知可知,1nnu则有则有(2) 若级数若级数1nnu,limnnS因此因此,limnn显然不是有界数列。这说明级数显然不是有界数列。这说明级数1nnv也发散也发散 . 也收敛也收敛 .发散发散, ,收敛收敛,级数级数nnuuus 21), 2, 1(nnnvvv21第6页/共47页注：怎样使用比较审敛法？注

6、：怎样使用比较审敛法？当需要判别一个当需要判别一个正项级数正项级数如果能把它的（从某项起的）各项如果能把它的（从某项起的）各项nu适当的放大适当的放大， 1nnu使放大后的级数是使放大后的级数是已知收敛的正项级数已知收敛的正项级数时时，那么就，那么就可判断可判断是收敛的；如果能把是收敛的；如果能把的（从的（从 1nnu 1nnu某项起的）各项某项起的）各项nu使缩小后的级数使缩小后的级数1nnv那么就可判断那么就可判断 1nnu是否收敛时，是否收敛时，是已知发散的正项级数是已知发散的正项级数，是发散的。是发散的。适当的缩小（保持非负），适当的缩小（保持非负），第7页/共47页 21ln1)2(

7、;2)1(4)1(:nnnnn正项级数的收敛性正项级数的收敛性用比较审敛法判别下列用比较审敛法判别下列,252)1(4nnn 因为因为例例2 1,25nn收敛收敛而而解解.数收敛数收敛故由比较审敛法知原级故由比较审敛法知原级)1(,ln0 xx nn1ln1 21nn发散发散 ,故原级数发散故原级数发散 .（2）对于任何对于任何 x1,都有都有则对于则对于 任何任何 自然数自然数2 n,ln0nn ，有，有( )ln1( )10(1)1 ln10f xxxfxxf 第8页/共47页例3. 3. 讨论 p p 级数pppnpnn13121111(常数常数 p 0) 的敛散性的敛散性. 2) 若若

8、,1p因为对一切因为对一切,Zn而调和级数而调和级数11nn由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数11npnn1发散发散 .发散发散 ,pn1解解: 1) 若若,1pnnn13121111原级数为原级数为调和级数发散调和级数发散 .第9页/共47页oyx. 1 p设设)1(1 pxyp1234由图可知由图可知,d11 nnppxxn npxx1d1)11(1111 pnp.111 p ,有界有界即数列即数列ns.级数收敛级数收敛则则 Ppppnns131211 nnppxxxx121dd13)1111pxpn pppnpnn13121111 .,1;,1发散发散时时当当收敛收敛时时当当

9、级数级数ppP小结小结第10页/共47页重要参考级数重要参考级数: :, ZN若存在若存在,Nn 对于一切对于一切,1)1(nun , )1(1)2( pnupn.1收敛收敛则则 nnu;1发散发散则则 nnu几何级数、几何级数、 p- -级数和调和级数级数和调和级数. .常用方法常用方法: :如，判定下列级数的敛散性如，判定下列级数的敛散性 12311nn、 1212nn、 113nn、第11页/共47页证明级数证明级数1) 1(1nnn发散发散 .证证: 因为因为2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数而级数111nn21kk发散发散根据比较审敛法可知根据比较审敛法可知,

10、所给级数发散所给级数发散 .例4.4.第12页/共47页定理3. (比较审敛法的极限形式),1nnu1nnvlvunnn lim则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu证证: 据极限定义据极限定义, 0对,ZN存在lnnvu)(l设两正项级数设两正项级数满足满足(1) 当当 0 l 时时,时当Nn (l可以代表普通实数，也可以代表 ）第13页/共47页nnnvluvl)()(, l取由由定理定理 2 可知可知与1nnu1nnv同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散

11、;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 当当l = 时时,ZN存在,时当Nn ,1nnvu即即nnvu 由由定理定理2可知可知, 若若1nnv发散发散 , ;1也收敛则nnu(1) 当当0 l 时时,(2) 当当l = 0时时,由由定理定理2 知知1nnv收敛收敛 , 若若.1也发散则nnu第14页/共47页第15页/共47页的敛散性的敛散性. nnn1lim例5. 判别级数11sinnn的敛散性的敛散性 .解解: nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例例6. 判别级数判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn

12、1根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nnnn11sin)1ln(21n21n221)11ln(nn 第16页/共47页第17页/共47页说明：用比较判敛法来判断正项级数的敛散性，虽说明：用比较判敛法来判断正项级数的敛散性，虽然有时是很方便的，但使用比较判敛法需要另外找到一然有时是很方便的，但使用比较判敛法需要另外找到一个适当的正项级数作为比较级数。在实践上，找到这样个适当的正项级数作为比较级数。在实践上，找到这样一个级数，往往不是一件轻而易举的事。一个级数，往往不是一件轻而易举的事。 能否不必另外寻找（至少是表面上不必另外寻找）能否不必另外寻找（至少是表面上

13、不必另外寻找） 比较级数，而从级数本身判断它是否收敛？比较级数，而从级数本身判断它是否收敛？第18页/共47页定理定理4 . 比值审敛法比值审敛法 ( Dalembert 判别判别法法)设设 nu为正项级数为正项级数, 且且,lim1nnnuu则则(1) 当当1(2) 当当1时时, 级数收敛级数收敛 ;或或时时, 级数发散级数发散 . (3)当当 时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散.1 ,为有限数时为有限数时当当 , 对于任意小的正数对于任意小的正数, 0 N存在存在,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即证明：证明：第19页/共47页 原级数原级数收敛收敛.

14、.,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111收敛收敛而级数而级数 mNmur,11收敛收敛所以所以 NnnmmNuu)(1Nnuunn ,1时或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此因此所以级数发散所以级数发散.Nn 当时时(2) 当当nnuu11nuNu从而从而 (1),公比公比 r1的等比级的等比级数数 第20页/共47页比值审敛法的优点比值审敛法的优点: : 不必找参考级数不必找参考级数. . 几点注意几点注意: :,11发散发散级数级数 nn,112收敛收敛而级数而级数 nn，其其1 时比值

15、审敛法失效；时比值审敛法失效；当当11. 例如例如, ,. 1 其其2.2.条件是充分的条件是充分的, ,而非必要而非必要 3. 3. 极限不存在时，级数未必发散极限不存在时，级数未必发散 1limnnnuu121.2nnn （）比如，级数4. 4. 时，级数发散。时，级数发散。 11nnuu0limnnu此时第21页/共47页.2)12(1)2(;10!)1(11 nnnnnn：判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性解解例例7 7),( n)1(!1010)!1(11nnuunnnn 因为因为101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn第22页/共47页)2()22()12(2)12(

16、limlim1 nnnnuunnnn因为因为, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, , 改用比较审敛法改用比较审敛法. .,12)12(12nnn 因为因为,112收敛收敛所以级数所以级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn.2)12(1)2(1nnn第23页/共47页 limn例8. 讨论级数)0(11xxnnn的敛散性的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理根据定理4可知可知:,10时当 x级数收敛级数收敛 ;,1时当 x级数发散级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x第24页/共47页 limn例9. 讨论级数 1)( !nnnen的敛散性的

17、敛散性 .解解: nnnuu1lim1)1( ! )1( nnennnen)( !1)11(lim)1(lim nnnnnenne,)11(的是单调增加且趋于但enn 则对于任何则对于任何n,均有均有nnnnnuuneuu 11, 1)11(即即.)( !1发散级数nnnen 0lim nnu第25页/共47页一般的，当正项级数的一般项nu是因子的乘积形式且是因子的乘积形式且nu中含有中含有nncnn, !时，用比值法较方便。时，用比值法较方便。,1, 1lim11时时且且当当 nnnnnuuuu比值法失效；比值法失效；).0lim( nnu发发散散级级数数,11时时当当 nnuu如何使用比值

18、审敛法判别正项级数的敛散性？如何使用比值审敛法判别正项级数的敛散性？第26页/共47页则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛收敛 , 且其和且其和 ,1uS 其余项满足其余项满足.1nnur,2, 1,0nun设二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法第27页/共47页证证: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(12

19、22543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列是单调递增有界数列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim0nu2故S ,lim,12SSSnnn 若若对对于于数数列列，且且SSnn 2lim.limSSnn 则则（第一章习题1-2第6题结论）故级数收敛于故级数收敛于S, 且且,1uS :的余项nSnnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu第28页/共47页收敛收敛收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:nnn10) 1(10410310

20、2101)31432收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散发散收敛收敛收敛收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 第29页/共47页定义定义: 对任意项级数对任意项级数,1nnu若若若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则称原级则称原级111) 1(nnn,!1)1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛收敛 ,1nnu数数1nnu为条件收敛为条件收敛 .均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如

21、：绝对收敛绝对收敛 ；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛 .三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛第30页/共47页定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法根据比较审敛法显然显然,0nv1nnv收敛收敛,收敛收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛也收敛)(21nnuu 且且nv,nu收敛收敛 , 令令第31页/共47页定理7表明：.11必定收敛收敛，则级数如果级数nnnnuu上述定理的作用：任意项级数敛散性问题正项级数敛散性问题使得一大类级数的收敛判定问题，转化为正项级数的收敛问题 .第32页/共47页例10. 10. 证

22、明下列级数绝对收敛 : :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证证: (1),1sin44nnn而而141nn收敛收敛 ,14sinnnn收敛收敛因此因此14sinnnn绝对收敛绝对收敛 .第33页/共47页(2) 令令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.第34页/共47页例11. 11. 判别下列级数的敛散性，如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 : :1111111)1()3(ln)1()2(;)0()1()1(nnnnnpnnn

23、nnpnnn51151315121511) 4(32第35页/共47页解解:时时，1)1 p故级数条件收敛.因此原级数绝对收敛 .)0()1()1(11 pnnpn 1111)1(npnpnnn收敛，收敛，级数级数 11npn时时，10)2 p发发散散，级级数数 11npn满足满足而交错级数而交错级数 11)1(npnnLeibnitz 判别法，即, ),2,1()1(11 nnnpp.01limlim pnnnnu且且第36页/共47页 11ln)1()2(nnnn解解:；）0lnlimlim1 nnunnn满足：满足：交错级数交错级数 11ln)1(nnnn,1lnlim nnnn发散，故

24、发散，故而而 11nn.ln1发散发散 nnn 111lnln)1(nnnnnnn因此原级数非绝对收敛 .第37页/共47页:ln)(2xxxf ）考虑函数）考虑函数,ln1)(2xxxf , 0)( xfex时时，上单调减少，上单调减少，在在),ln)( exxxf单调减少，单调减少，时，时，从而当从而当nnunnln3 满足Leibnitz 判别法，所以原级数条件收敛. 111)1()3(nnnn解解:所以原级数发散.111)1(lim nnnn第38页/共47页nn51151315121511)4(32分析：这是交错级数，但不满足 ，无法用Leibniz判别法.1 nnuu故加括号后级数

25、发散，故加括号后级数发散， ）（）（）（）（nn5115131512151132发散，发散，由于由于 11nn收收敛敛，而而 151nn所以原级数发散.解解: 加括号加括号第39页/共47页其和分别为其和分别为 *定理定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. ( P265 定理定理9 )说明说明: 证明参考证明参考 P265P268, 这里从略这里从略.*定理定理9. ( 绝对收敛级数的乘法绝对收敛级数的乘法 ).S则对所有乘积则对所有乘积 jivu1nnw按按任意顺序任意顺序排列得到的级数排列得到的级数也绝对收敛也绝对收敛,设级数设级数1nnv1nnu与与都绝对收敛都绝对收敛,S其和为其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. (P267 定理定理10) 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质绝对收敛级数与条件收敛级数具