解析的概念与C-R方程ppt课件

1、 Department of Mathematics第二章第二章 解析函数解析函数第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念 与与C-R 条件条件第二节第二节 初等解析函数初等解析函数第三节第三节 初等多值函数初等多值函数 Department of Mathematics第一节、解析函数的概念与第一节、解析函数的概念与 柯西柯西黎曼条件黎曼条件一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分0 ( )wf zz设函数在点 的某邻域内有定义,若极限0000000()()( )()limlimlimzzzzf zzf zf zf zwzzzz 000( )( )(), z zf zzdwf zf

2、zdz存在且有限,则称函数在 处可导，此极限值称为函数的导数，记为，或即1.定义定义2.1，zzfzzfzfz)()(lim)( 0000在定义中应留意在定义中应留意:0(0).zzz 即的方式是任意的00,zzDz即在区域 内以任意方式趋于时 比值. )( , )( 可可导导在在区区域域内内就就称称我我们们内内处处处处可可导导在在区区域域如如果果函函数数DzfDzf00()().f zzf zz都趋于同一个数0()(|) ( z0)wfzzoz 00()( )fzzw f zz称为函数 =在 处的微分，记为2.微分微分0( ),wf zz若在 可导 则00()()dwfzz fzdz =注注

3、:可导与可微等价可导与可微等价.例例1 .Im)(的的可可导导性性讨讨论论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方 zyxyo0z0 y0 xzzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于虚虚轴轴的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy 0,z 当点沿不同的方向使时极限值不同.Im)(在在复复平平面面上上处处处处不不可

4、可导导故故zzf xyoz0 y0 x二.解析函数的概念及其简单性质00( ) ( )f zzf zz称在 处解析； 是指在 的某邻域内处处可导，( )( )( )f zDf zDf zD如果函数在区域 内处处可微，则称为区域 内的解析函数，或称在区域 内解析.( )( )f zDf zDG称在闭区域 内解析,是指在包含 的区域 内解析1.定义定义2.2注注1注注2区域D内的解析函数也称为D内的全纯函数或正那么函数根据定义可知根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.2. 奇点的定义奇点的定义000( ) , ( ) ( ).f zzzf zz

5、f z如果函数在不解析 但在的 任一邻域内总有的解析点,则称为的奇点 但是但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念的概念. 即函数在一点处可导即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.定义定义2.31wz如0z 奇点为u注1、一个函数在一个点可导，显然它在这个点延续；但反之不成立.u注2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个部分概念，而解析性是一个整体概念；u注3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反

6、之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；u注4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；3.求导法那么则上解析在区域和如果,)()(Dzgzf上解析，并且有域在区、Dzgzgzfzgzfzgzf)0)()()()()()()()( )()()( )()()( )( )()(zgzfzgzfzgzfzgzfzgzf2( )( )( )( )( )( )( )fzfz g zfz gzg zg z ( )( )0wf zDfz设函数在区域 内解析，且，又反函数1( )( )zfww存在且为连续，则有：( )( )()f zDwgGf DG设函数在区域 内解析，函数在区域 内解析

7、，又，)( )( )()( zfzfgzfgzh( ( )( )wg f zh z则复合函数在D内解析，并且有：反函数求导法那么()11( )( )( ( )zwwfzfw复合函数求导法那么u利用这些法那么，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论根本一样。注注例例2 5223( ).41zzf zz求的解析区域及导函数解解52( )23,( )41P zzzQ zz在全平面解析( )( )0,( )( )P zQ zf zQ z故当时解析,2( )0,410,Q zz 由即有1,2zi 1( )2zif z 故在全平面除点的区域内解析,且525222(23) (41

8、)(23)(41)( )(41)zzzzzzfzz42522(101)(41)(23)(8 )(41)zzzzzz6422224104241(41)zzzzz二、Cauchy-Riemann方程2.1 ( )( , )( , )f zu x yiv x yDDzxiy定理设函数在区域 内有定义，且在 内点可微,则必有1,( , )xyxyu uv vx y、偏导数在点处存在;2( , )( , )( , )-u x yv x yx yCR、和在点满足柯西 黎曼方程(简称方程）：xvyuyvxu 1.可微的必要条件证明( )( , )( , )f zu x yiv x yzxiy设在处可微，那那

9、么么000()( )( )limlimxzyf zzf zui vfzzxi y =，存在存在0,0yx 当时,0( )lim(xuvfzixx )，存在存在,( , )xxu vx y故在点处存在;且( )xxfzuiv0,0 xy 同理当时,0( )lim(yuvfzi yy )，存在存在,( , )yyuvx y故在点处存在;且( )yyfzviu( , ),xyyxx yuv uv 从而在点处有:注:定理条件是必要而非充分的证证, )( xyzf 因为因为0, , vxyu所所以以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(),

10、 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在点柯西黎曼方程在点 z. 0 0 )( 不不可可导导西西黎黎曼曼方方程程但但在在点点满满足足柯柯在在点点证证明明函函数数 zzxyzf例例3 , 趋趋于于零零时时沿沿第第一一象象限限内内的的射射线线但但当当kxyz 0)0()( zfzf iyxxy ,1ikk , 变变化化随随k , 0)0()(lim 0不不存存在在故故 zfzfz . 0 )( 不可导不可导在点在点函数函数 zxyzf2.可微的充要条件2.2 ( )( , )( , )( )f zu x yiv x yDf zDzxi

11、y定理设函数在区域 内有定义，则在 内一点可微的充要条件是1( , ), ( , )( , )u x y v x yx y、二元函数在点可微;2( , )( , )( , )-u x yv x yx y、和在点满足柯西 黎曼方程.,( )f zzxyi上述条件满足时在点的导数可以表为下列形式之一( )uvxxfzivvyxiuuxyivuyyi(2.7)证证(1) 必要性必要性., )( , ),(),()( 可可导导内内一一点点在在且且内内定定义义在在区区域域设设yixzDzfDyxivyxuzf 0, yixz则则对对于于充充分分小小的的,)()()()( zzzzfzfzzf 有有, 0

12、)(lim 0 zz 其其中中,)()( viuzfzzf 令令,)(ibazf , )(21 iz viu 所以所以)(iba )(yix )(21 i )(yix )()(1221yxyaxbiyxybxa , 21yxybxau 于于是是.12yxyaxbv , 0)(lim 0 zz 因因为为100lim yx所以所以200lim yx, 0 , ),( ),( ),( 可可微微在在点点与与由由此此可可知知yxyxvyxu. , xvyuyvxu 且满足方程且满足方程(2) 充分性充分性. )()( zfzzf),(),(),(),(yxvyyxxviyxuyyxxu , viu 由于

13、由于 , ),( ),( ),( 可可微微在在点点与与又又因因为为yxyxvyxu, 21yxyyuxxuu 于是于是, 43yxyyvxxvv )4 , 3 , 2 , 1( , 0lim 00 kkyx 其其中中 )()( zfzzf因因此此.)()(4231yixiyyviyuxxvixu )()(zfzzf )(yixxvixu.)()(4231yixi , , 2xvixvyuyvxu 由由柯柯西西黎黎曼曼方方程程 zzfzzf)()( xvixu.)()(4231zyizxi , 1, 1 zyzx因为因为, 0)()(lim42310 zyizxiz zzfzzfzfz)()(l

14、im)( 0所所以以.xvixu . ),(),()( 可可导导在在点点即即函函数数yixzyxivyxuzf 证毕证毕3.可微的充分条件2.3 ( )( , )( , )( )f zu x yiv x yDf zDzxiy推论设函数在区域 内有定义，则在 内一点可微的充分条件是2( , )( , )( , )-u x yv x yx y、和在点满足柯西 黎曼方程.1,( , )xyxyu uv vx y、偏导数在点处连续;4.解析的充要条件2.4 ( )( , )( , )f zu x yiv x yD定理函数在区域 内解析的充要条件是1( , ), ( , )u x y v x yD、二元

15、函数在区域 内可微;2( , )( , )-u x yv x yD、和在区域 内满足柯西 黎曼方程.xvyuyvxu 5.解析的充分条件2.5 ( )( , )( , )f zu x yiv x yD定理函数在区域 内解析的充分条件是1,xyxyu u v vD、偏导数在区域 内连续;2( , )( , )-u x yv x yD、和在区域 内满足柯西 黎曼方程.xvyuyvxu ( )uvvvuuvuxxyxxyyyfziiii且注:柯西-黎曼方程是复变函数在一点可微的主要条件例例4 2( ).f zz讨论的解析性222|wzxy因，2 ,uxx(0,0)R只有在点处C方程成立，解解220,

16、uxyv所以，且 2 ,uyy0, 0vvxy( )0f zz 所以仅在可导，0( )zf z在处，不可导。( )f z因此，在整个复平面上，不解析。例例5 222( )2; f zxyxxyiy i函数在复平面上何处可导?何处解析?解解222,2,uxyxvxyy记则21,2 ,2 ,22 .uuvvxyyxyxyxy 1 , , 2y 仅当时 满足柯西黎曼方程1( ),2f zy 故函数仅在直线上可导.从而在复平面内不解析,-u vC R在全平面连续 故在全平面可微 但由方程2122 , 22 ;xxyyy 1 ,2y 得( )(cossin )xf zeyiy,sin,cosyevyeu

17、xx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx , .uvuvxyyx 且四个偏导数四个偏导数均延续均延续 . ,)(处处处处解解析析在在复复平平面面内内处处处处可可导导故故zf( )(cossin )( ).xfzeyiyf z且指数函数指数函数例例6 ( )cossinxxf zeyiey证明函数在全平面解析,并求其导数.证明证明例例7 解解? )( , , , , ),()( 2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dyc

18、xxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所所求求例例8. )( , )( 内内为为一一常常数数区区域域在在则则内内处处处处为为零零在在区区域域如如果果DzfDzf 证证xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常常数数常常数数所所以以 vu . )( 内内为为一一常常数数在在区区域域因因此此Dzf参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明: . , )( 则则以以下下条条件件彼彼此此等等价价内内解解析析在在区区域域如如果果Dzf(1) ( ); f z 恒数; 0)()2( zf ;)( )3(常常数数 zf ;)( )4(解析解析zf ;)(Re )5(常数常数 zf ;)(Im )6(常数常数 zf(7) arg ( ). f z 常数例例9 9. , , ),( ),( 0,)( , )( 2121为为常常数数其其中中必必相相互互正正交交与与那那末末曲曲线线族族且且为