数理方程4PPT课件

1、数 学 物 理 方 程主讲：王主讲：王 正正 斌斌E_mail: E_mail: BBS: BBS:科技教育科技教育/ /物理研究物理研究 答疑：周二下午答疑：周二下午3 3：30305 5：0000，教，教2 2605605室室南京邮电大学南京邮电大学 、 数理学院、应用物理系数理学院、应用物理系第1页/共50页第四章、特殊函数常微分方程第四章、特殊函数常微分方程勒让德方程勒让德方程 贝塞尔方程贝塞尔方程 勒让德多项式勒让德多项式贝塞尔函数贝塞尔函数在球坐标系解三类偏微分方程：在球坐标系解三类偏微分方程：在柱坐标系解三类偏微分方程：在柱坐标系解三类偏微分方程：第2页/共50页拉普拉斯方程的一

2、般形式为02 u1 1、在球坐标系下，表示为： 02u0sin1sinsin112222222ururrurrr( , , )( ) ( , )u rR r Y 解：设分离变量形式的试探解解：设分离变量形式的试探解代入方程得到一、勒让德方程的导出第3页/共50页2222222sin0sinsinYRRYRYrrrrrr(1)l l0) 1(sin1sinsin10) 1(2222YllYYRlldrdRrdrd2222111sinsinsinRYYrR rrYY 第4页/共50页式中第一个方程为欧勒型常微分方程,解得 11( )llR rCrDr第二个方程为球函数方程，对该方程继续做分离：(

3、, )( )( )Y 2221sin) 1(sinsinddlldddd代入球函数方程得到0sin) 1(sinsin0222lldddddd第5页/共50页式中第一个方程由自然边界条件)()2(构成本征值和本征函数2 (0,1,2, )( )cossinmmAmBm 第二个方程可以改写为 0sin) 1(sinsin122mlldddd令cosxsindddxdddx ddx 2211sinsin(1)sinsindddddxddxdddxdxddxdx第6页/共50页01) 1()1 (222xmlldxdxdxd22222(1)2 (1)01ddmxxl ldxdxx 该方程称为该方程称

4、为l阶连带勒让德方程或阶连带勒让德方程或阶缔合勒让德方程。阶缔合勒让德方程。l如果球坐标的极轴为对称轴 222(1)2(1)0ddxxl ldxdx 阶勒让德方程l第7页/共50页在柱坐标系下解在柱坐标系下解 拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：02u01122222zuuu2222220d RdRd ZR dR dZ dz nbnannnnnsincos, 2 , 1 , 0,2分离变量得分离变量得二、贝塞尔方程的导出( , , )( ) ( ) ( )uzRZ z 第8页/共50页n n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程22222()0 d RdRxxxnRdxdx22221()00d RdRnRZdZd(

5、1) (1) 0情况。作代换x，则得 (2) (2) 0情况。作代换x，则得 0)(22222RnxdxdRxdxRdxn n阶虚宗量贝塞尔方程阶虚宗量贝塞尔方程第9页/共50页三、亥姆霍兹方程(a)(a)、三维波动方程为: :022uautt)()(),(rvtTtru设分离变量解为: :代入方程，并移项得到： 222kvvTaT 00 0 sincos)(02222vkvkDtCkkatDkatCtTTakT得Helmholtz Equation第10页/共50页（b)b)、三维输运方程为：022uaut分离时间变量和空间变量，得： )()(),(rvtTtru代入方程，并移项得到 ：22

6、2kvvTaT2 222220( )0 k a tTk a TT tCevk v得Helmholtz Equation第11页/共50页在球坐标系下解亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程：022vkv在球坐标系下的形式为： 0sin1sinsin1122222222vkvrvrrvrrr分离变量，得： ),()(),(YrRrv) 1(sin1sinsin11222222llYYYYrkdrdRrdrdR第12页/共50页0)1(0) 1(sin1sinsin1222222RllrkdrdRrdrdYllYY0)1(222222RllrkdrdRrdrRdr展开得球球 贝贝 塞塞 尔尔 方方 程程)(2

7、)( xyxrRkrx0)(2212222ylxdxdyxdxydx21l阶贝塞尔方程 第13页/共50页在柱坐标系下解亥姆霍兹方程：利用柱坐标系的Laplace方程的表达式可得柱坐标系Helmholtz方程的表达式:011222222vkzvvv分离变量，得： )()()(),(zZRzv0100222222 RkddRdRdZZ代入原方程得： 第14页/共50页记常数22 k，也即22k，那么上面第三个方程可以写成：222210d RdRnRdd对自变量做变换 ，那么上式变成 x2222110d RdRnRdxx dxx该式即为n阶Bessel方程。第15页/共50页幂级数展开定义：各项均

8、为幂函数kkzza)(0的无穷级数： 20201000)()()(zzazzaazzakkk称为以0z为展开中心的幂级数。其中 ,100aaz都是复常数。1 1、达朗贝尔判别法：若1|lim|lim010101zzaazzazzakkkkkkkk则幂级数绝对收敛。 敛散性： 2、根值判别法：若1|lim0kkkkzza，则幂级数绝对收敛； 第16页/共50页泰勒(Taylor)(Taylor)级数展开洛朗(Laurent)(Laurent)级数展开 幂级数展开泰勒(Taylor)级数展开可展开为幂级数称为泰勒展开系数。泰勒(Taylor)定理：若)(zf在Rzz|0内解析，则在此圆内，)(zf

9、00)()(kkkzzazf，其中lkkkkzfdzfia!)()()(210)(10l为圆周Rz|0，且展开唯一。(要多精确有多精确) 解析：若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导，则称f(z) 在z0点解析。第17页/共50页几个基本初等函数的泰勒展开式： |,! 2102zkzkzzzekkkz1|,11102 zzzzzzkkk3521210( 1)sin( 1),|3!5!(21)!(21)!kkkkkzzzzzzzkk 1|,) 1() 1(32)1ln(11132 zkzkzzzzzkkkkk解析函数：若函数f(z)在区域B上每一点都解析，则称f(z)是区域B上的解析函数。第1

10、8页/共50页洛朗(Laurent)级数展开 洛朗(Laurent)定理：设)(zf在环形区域102|RzzR则对环域上任一点 , z)(zf可展为幂级数kkkzzczf)()(0，其中lkkdzfic10)()(21一周的任一闭合曲线。洛朗展开也是唯一的。 的内部单值解析，积分路径为位于环域内按逆时针方向绕内园洛朗(Laurent)级数展开方法：将待展开式分解为奇异项和非奇异项，然后将非奇异项展开为Taylor级数，再和非奇异项合并第19页/共50页特殊函数方程的级数解法 熟悉的特殊函数：在球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行分离变量，得到连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞

11、尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数； 未知的特殊函数：在其它坐标系对其它数学物理偏微分方程进行分离，还会出现其它各种各样的特殊函数方程。 级数解法：就是在某个任选点0 x的邻域上，把待求的解表示为系数为待定的级数，代入原方程以逐个确定系数。第20页/共50页常微分形式常微分形式：线性二阶常微分方程线性二阶常微分方程22( )( )0d wdwp zq z wdzdz方程的常点方程的常点：常微分方程中系数常微分方程中系数 和和 在选定的点在选定的点 的邻域中是解析的，的邻域中是解析的， 则则 点点 称为方程的常点。称为方程的常点。)(zp)(zq0z0z222(1)2(1)0ddxxl ldxdx

12、22222()0 d RdRxxxnRdxdx0001() ()w zCw zC第21页/共50页一、常点邻域上的级数解一、常点邻域上的级数解该解可以表示为此邻域上的该解可以表示为此邻域上的泰勒级数泰勒级数的形式的形式:00)()(kkkzzazw求解步骤求解步骤：把展开级数代入方程，合并同幂项，令合并后的各：把展开级数代入方程，合并同幂项，令合并后的各系数分别为零系数分别为零,找到系数之间的递推关系，最后用已给的初值来找到系数之间的递推关系，最后用已给的初值来确定各个系数。确定各个系数。方程的奇点方程的奇点：常微分方程中系数常微分方程中系数 和和 在选定的点在选定的点 的邻域中是的邻域中是

13、或或 的奇点，则的奇点，则 点点 称为方程的奇点。称为方程的奇点。)(zp)(zq0z0z)(zp)(zq第22页/共50页0) 1(2)1 (2 yllyxyx 22110) 1()( )( )(kkkkkkkkkxkkaxykxaxyxaxy泰勒级数形式及其导数泰勒级数形式及其导数为为化简之后得到化简之后得到0)1() 1() 1)(2(002kkkkkkxllkkaxkka(1) 勒让德方程在勒让德方程在 的级数解的级数解00 x第23页/共50页要使各幂次合并后的系数分别为零，则得到系数的递推公式为要使各幂次合并后的系数分别为零，则得到系数的递推公式为kkkakklklkakkllkk

14、a) 1)(2() 1)() 1)(2() 1() 1(2 ! 4) 3)(1)()(2 ( 34) 3)(2 (! 2) 1)(02402allllallaalla ! 5) 4)(2)(1)(3 ( 45) 4)(3 (! 3) 2)(1 (13513allllallaalla第24页/共50页kxkkllllllklkxllllxllxy2420)!2 () 12() 3)(1()(2 ()42)(22 ( ! 4) 3)(1)()(2 (! 2) 1)(1)(12531)!12 ()2() 4)(2()1)(3 ()32)(12 ( ! 5) 4)(2)(1)(3 (! 3) 2)(1

15、 ()(kxkkllllllklkxllllxllxxy其中其中 为偶次幂，是偶函数，为偶次幂，是偶函数， 为奇次幂，是奇函数。为奇次幂，是奇函数。)(0 xy)(1xy第25页/共50页(2) 解的收敛半径解的收敛半径由系数的递推公式可以得到由系数的递推公式可以得到2(2)(1)lim|/| lim()(1)nnnnnnRa an l n l )(0 xy)(1xy因此级数因此级数 和和 收敛于收敛于 ，而发散于，而发散于 。1|x1|x由于由于 阶勒让德方程中阶勒让德方程中 ,所以其解是收敛的。所以其解是收敛的。lcosx(3) 解在解在 的收敛性的收敛性1x根据高斯判别法可以证明，级数解

16、根据高斯判别法可以证明，级数解 和和 在在是发散的。是发散的。)(0 xy)(1xy1x21(1)(1)lim11(1)(1)nnnllnn第26页/共50页（4）解退化为多项式）解退化为多项式nl2若若 ，而从，而从 项起所有系数含有项起所有系数含有 项均为零项均为零22 nx)2 (ln若再取若再取 ，那么，那么 01a0)(1xy解为只含偶次幂的解为只含偶次幂的 l 阶多项式阶多项式)(00 xya选取适当的选取适当的 得到一个特解，得到一个特解，称为称为 l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式0a21ln若若 ，而从，而从 项起所有系数含有项起所有系数含有 项均为零项均为零23nx(21 )

17、nl 若再取若再取 ，那么，那么 00a0( )0y x 解为只含奇次幂的解为只含奇次幂的 l 阶多项式阶多项式)(00 xya选取适当的选取适当的 得到一个特解，得到一个特解，称为称为 l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式1a第27页/共50页(5) 自然边界条件自然边界条件定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离变量法得到的定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离变量法得到的勒让德方程在勒让德方程在 也必须为有限的成为勒让德方程的也必须为有限的成为勒让德方程的自然自然边界条件边界条件。因此，勒让德方程与自然边界条件构成本征值问。因此，勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题，其本征值是题，其本征

18、值是l(l+1)(l为零或正整数为零或正整数)，所以本征函数为，所以本征函数为l阶勒阶勒让德多项式。让德多项式。1x第28页/共50页二、奇点邻域上的级数解二、奇点邻域上的级数解 0)( 0)1 (12222222ynxxyyxyxndxdyxdxyd（1 1）n n 阶贝塞尔方程在阶贝塞尔方程在 的邻域上的解的邻域上的解 00 x1100()(1)kkss ksaxya sxa ssxkx21100(1)(1)()(1)kss kskx ya sksk xa s sxa ssx 22120022)(ksksskkskxaxaxaxaxyx0011( )ss kks kskka xa xy x

19、a xa x第29页/共50页222121200( )s kssskkkknan y xna xnaxnaxx代入代入Bessel 方程，合并同类项得：方程，合并同类项得： 0)() 1()(22221122022kskkkssxaanksxansxans比较等式两边系数，可得一系列方程：比较等式两边系数，可得一系列方程：2212200222222(1)2)0000)kksnaasssknaannaa第30页/共50页022nsnsns21 ,第二个方程 00) 1(1122aann2222222()0 ()()kkkkkas kn aas knaas k n s k n 2)2(1kkakk

20、nans1(1) 、先取、先取，递推公式成为 第31页/共50页0 21)() 2)(1( !1) 1( 2) 2)(1( ! 214) 42(103 ) 32(1 2) 1( ! 112) 22(1120220424130202kkkkaaknnnkaannanaanaanana因此贝塞尔方程的一个特解为:kknxknnnkxnnxnxaxy242012)()2)(1( !1) 1( 2)2)(1( ! 212) 1( ! 111)(第32页/共50页该级数的收敛半径为:)2(lim|/|lim2knkaaRkkkk通常取： 012(1)nan!) 1( nnn为整数，则若因此只要 有限，级

21、数就是收敛的。 x此时把这个解称为n阶第一类贝塞尔函数，记为：)(xJn201( )( 1)! (1) 2nkknkxJ xkn k 第33页/共50页ns1(2)、再取、再取，递推公式成为 200312420420212111 0(2 2 )21!(1)2(3 2 )311 (4 2 )42!(1)(2)211( 1) 0!(1)(2)()2kkkkbbbbbnnnbbbnnnbbbknnn k 222222k221()0() 1 1b()()() 2kkkkkks kbbs k n s k nk kn bbbnbs kn 第34页/共50页kknxknnnkxnnxnxbxy242022)

22、()2)(1( !1) 1( 2)2)(1 ( ! 212)1 ( ! 111)(因此贝塞尔方程的另一个特解为:该级数的收敛半径为: :)2(lim|/|lim2knkbbRkkkk因此只要 有限，级数就是收敛的。通常取x012(1)nbn 第35页/共50页此时把这个解称为- -n n 阶第一类贝塞尔函数，记为： )(xJn022) 1(!1) 1()(kknknxknkxJ因此，n n阶贝塞尔方程的通解就是两个特解的线性叠加 ：)()()(21xJCxJCxynn可证明，当可证明，当n n为整数时，为整数时， 与与 线性相关，而当线性相关，而当n n不为整数不为整数时，他们线性无关。时，他

23、们线性无关。( )nJ x( )nJx第36页/共50页贝塞尔方程对应 ns1的特解为： 022) 1(!1) 1()(kknknxknkxJ022)!( !1)1(kknkxknk贝塞尔方程对应ns1的特解为： 022) 1(!1) 1()(kknknxknkxJ只要nk ，则1kn 是负整数 负整数的 函数为无限大 证明证明: :当当n n为整数时，为整数时， 与与 线性相关线性相关( )nJx( )nJx第37页/共50页nkknknxknkxJ22) 1(!1) 1()()() 1( 2)!( !1) 1() 1( 2) 1()!(1) 1()(0202xJxnllxlnlxJnnll

24、nlnllnnln当 n 为整数时，第二个特解实际上是和第一个特解线性相关的)()()(21xJCxJCxynn不能表示为不能表示为n阶阶Bessel方程的解方程的解第38页/共50页若取 ：nCnCcsc ,ctg21 代入通解中可以得到另外一个特解 ，该特解可以作为n n阶贝塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数: : ( )cos( )( )sinnnnJ xnJxY xn因此n n阶贝塞尔方程的通解还可以写成 ：12( )( )( )nny xC JxC Y x不论不论n是否为整数，贝塞尔方程的通解都可以用上式表示！是否为整数，贝塞尔方程的通解都可以用上式表示

25、！当当n n为整数时，还需要另外一个线性无关的特解为整数时，还需要另外一个线性无关的特解 ！第39页/共50页（2 2）在 的邻域上求解 阶贝塞尔方程： 00 x120)(22122 yxyxyx0223121212)(!1) 1()()(kkkxkkxJxy122111102222( 1)!()(1)( )2kkkxk kk1 ( )2解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得第40页/共50页12122020202102( 1)( )(21( 1)1( )2!(21)(21)5 3 12( 1)( )2 (22)4 2 (21)(21)5 3 12( 1)(

26、)()!21)! kkkkkkkkkkkkkxkkkxxk kkxxkxkxk122 ( )sinJxxx3521210( 1)sin( 1), | |3!5!(21)!(21)!kkkkkzzzzzzzkk 第41页/共50页xxxJcos2)(21同理，可求得另外一个特解：同理，可求得另外一个特解：因此方程的通解为)()()(212121xJCxJCxy由此可以推广到半奇数)(21l阶贝塞尔方程的求解 )()()()(212121xJCxJCxyll根据根据Bessel函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶Bessel函数。函数。第42页/共50页)() 1()(xJxJnnnn n为偶数时，为偶数时， 为偶函数为偶函数)( xJnn n为奇数时，为奇数时， 为奇函数为奇函数)( xJn022) 1(!1) 1()(kknknxknkxJ第三类贝塞尔函数：汉克尔（HankelHankel）函数)()()()1(xjYxJxHnnn)()()()2(xjYxJxHnnnBesselBessel函数的奇偶性函