偏导数在几何上的应用ppt课件

1、小结小结 思索题思索题 作业作业 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线第九节第九节 偏导数在几何上的偏导数在几何上的运用运用第八章第八章 多元函数微分法及其运用多元函数微分法及其运用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 1. 空间曲线的方程为参数方程设空间曲线的方程设空间曲线的方程( )( )( )( ) ,rr tt it jt kt物理意义:( )r t表示物体的即时速度.几何意义:( )r t表示曲线的切向量.偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tzztyytxx(1)式中

2、的三个函数均可导式中的三个函数均可导.M.),(0000tttzzyyxxM 对对应应于于;),(0000ttzyxM 对对应应于于设设M Oxyz阐明几何意义偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用调查割线趋近于极限位置调查割线趋近于极限位置 xxx0t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t MM 割线割线 的方程为的方程为MM ,000zzzyyyxxx yyy0zzz 0切线的过程切线的过程Oxyz偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程)()()(000000tzzztyyytxxx 切向量切向量法平面法平面0)()

3、()(000000 zztzyytyxxtx切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量.过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.MM Oxyz000(),(),()Txtytzt偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用设曲线直角坐标方程为设曲线直角坐标方程为,)()(100000 xzzzxyyyxx . 0)()()(100000 zzxzyyxyxx法平面方程为法平面方程为2. 空间曲线的方程为空间曲线的方程为曲线的参数方程是曲线的参数方程是由前面得到的结果由前面得到的结果,在在M(x0, y0, z0)处处,令令)(),(xzzxyy )()(xzzxyyxx切

4、线方程为切线方程为x为参数为参数,两个柱面两个柱面的交线的交线)()()(000000tzzztyyytxxx 偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用.0处的切线与法平面方程处的切线与法平面方程在在 t: 求曲线求曲线 ttuezttyuuex301cossin2dcos解解2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty tez33 , 1)0( x, 2)0( y3)0( z切线方程切线方程322110 zyx法平面方程法平面方程0)2(3)1(2 zyx0832 zyx)()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000 zztzyytyxxtx例

5、例1即即,0时时当当 t偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用例例2 在抛物柱面在抛物柱面 与与 的交线上的交线上, 求对应求对应 的点处的切向量的点处的切向量.x为参数为参数,于是于是 , 1 x,12xy xz24 212xz 26xy 21 x解解 22126xzxyxx所以交线上与所以交线上与21 x对应点的切向量为对应点的切向量为: T1, 6,12.交线的参数方程为交线的参数方程为取取偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用设空间曲线方程为设空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzyxF3.空间曲线的方程为空间曲线的方程为确定了隐函数确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组此曲线

6、方程仍可用方程组 两边分别对.)()( xzzxyy )()(xzzxyyxx,0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxF表示表示.)x求全导数求全导数:两个曲面两个曲面的交线的交线偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用 xydd 利用利用2.结果结果, 0dddd xzGxyGGzyxzyzyGGFFxzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000 xzzzxyyyxx 两边分别对,0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxFx求全导数求全导数 0dddd xzFxyFFzyx)()(100000 xzzzxyyyxx ddzx偏导数在几何

7、上的运用偏导数在几何上的运用. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程为法平面方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切线方程为切线方程为,0),(0),( zyxGzyxF在点在点 M(x0, y0, z0)处的处的偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用解解的的在在点点求求曲曲线线)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 例例3 切线方程和法平面方程.法一法一 直接用公式;8),(222 zyxzyxF令令222),(zyxzyxG ,2xFx ,2yFy ;2zFz ,2xGx

8、 ,2yGy .2zGz 偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程法平面方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切线方程切线方程偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用切线方程切线方程 1x0dd2dd22 xzzxyyx33dd0 Pxy0dd0 Pxz 法二法二 将所给方程的两边对x求导的的在在点点求求曲曲线线)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切线方程和法平面方程.法平面方程法平面方程0)2(0)3(33)1(1 zyx. 0633

9、 yx xzzxyyxdd2dd22 3 y2 z133 0偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用设曲线设曲线)(),(),(tzztyytxx 证证)()(txXtx 因原点)0 , 0 , 0(0)()()()()()( tztztytytxtx即即0 于是于是 )()()(222tztytx证明此曲线必在以原点为证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点的法平面都过原点,在任一点在任一点中心的某球面上中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为曲线过该点的法平面方程为),(),(),(tztytx故有故有)()(tyYty )()(tzZtz 0 C)()()(222tztytx 在法平面上,

10、任取曲线上一点任取曲线上一点0)()()(000000 zztzyytyxxtx偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线回想二元函数的部分线性化:设函数00( , )(,),f x yxy在点可微00000000,( , )(,)(,)(,)xyf x yf xyfxyxxfxyyy则表示一个平面进一步调查曲面( , )zf x y与平面00000000(,)(,)(,)xyzf xyfxyxxfxyyy的关系.偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用引见用间隔来定义曲线的切线的概念.从而引出用间隔来定义的切平面的概念.本人看书.偏导数在几何上的运用

11、偏导数在几何上的运用yxzO 0),( zyxF 今在曲面今在曲面上任取一条上任取一条1. 设曲面设曲面的方程为的方程为0),( zyxF的情形的情形隐式方程隐式方程),(000zyxM ,),(000 zyxM 函数函数),(zyxF的偏导数在该点延续且不同的偏导数在该点延续且不同 时为零时为零. ,0tt )(),(),(000tztytx 且且点点M 对应于参数对应于参数 不全为零不全为零.过点过点M 的曲线的曲线,设其参数设其参数方程为方程为),(),(),(tzztyytxx 偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用000 ( ),( ),( ),Tx ty tz tyxzO 0),

12、( zyxF),(000zyxM T 由于曲线由于曲线在曲面在曲面上上, 所以所以, 0)(),(),( tztytxF 在恒等式两端对在恒等式两端对t 求全导数求全导数, 并令并令,0tt 那么那么得得 )(),(0000txzyxFx 假设记向假设记向量量000000000 ( , , ), ( , , ), ( , , ),xyznF x y z F x y z F x y z 曲线曲线在点在点M处切线的方向向量记为处切线的方向向量记为 那么那么式可改写式可改写成成, 0 Tn即向量即向量 Tn与与垂直垂直. . 0)(),()(),(00000000 tzzyxFtyzyxFzyn偏导

13、数在几何上的运用偏导数在几何上的运用 由于曲线由于曲线是曲面是曲面上过点上过点M的恣意一条的恣意一条曲线曲线,一切这些曲线在点一切这些曲线在点M的切线都与同一向量的切线都与同一向量垂直垂直, 因此这些切线必共面因此这些切线必共面,称为曲面称为曲面在点在点M的的nyxzO 0),( zyxF),(000zyxM n过点过点M且垂直于切且垂直于切法线法线, ,又是法线的方向向量又是法线的方向向量.向量向量n称为曲称为曲法向量法向量. .切平面切平面,由切线构成的这一由切线构成的这一平面平面,平面的直线称为曲面平面的直线称为曲面在在点点M的的面面在点在点M的的n偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运

14、用000000000 ( , , ),( , , ),( , , )xyznF x y zF x y zF x y z曲面在曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量处的法向量:切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 所以曲面所以曲面上在点上在点M的的偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用例4. 证明曲面(,)0f xaz ybz上恣意一点处的切平面都与直线xyzab平行,其中f具有延续偏导数,且, a b为

15、常数.偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用2. 曲面方程形为曲面方程形为 的情形的情形),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为, 0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令,xxfF . 1 zF,yyfF 或或,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx , 1xynff显式方程显式方程000000000 ( , , ), ( , , ), ( , , )xyznF x y z F x y

16、z F x y z偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用 例例5过过上所有点处的切平面都上所有点处的切平面都证明曲面证明曲面xyxez .一定点一定点 证证,),(000是曲面上任一点是曲面上任一点设设zyx0000 xyexz 那么法向量那么法向量为为切平面方程为切平面方程为0)()()()1(000000000 zzyyexxexyxyxy),(yxfz , , 1 xynf f,)1(0000 xyexy n,00 xye1 偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用0)1()1(000000000000000 zyexexyzyexexyxyxyxyxy0 0)()()()1(0000

17、00000 zzyyexxexyxyxy, 0)1(000000 zyexexyxyxy所以这些平面都过所以这些平面都过00 0 xyxez 原点原点.过过上所有点处的切平面都上所有点处的切平面都证明曲面证明曲面xyxez .一定点一定点偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用04222 zyxyxz与与平平面面曲曲面面平行的切平面的方程是平行的切平面的方程是( ).542 zyx偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用 例例6 证证, 0)().( aufczbyfaxz可可微微证证明明曲曲面面)均均为为常常数数、cb的一切切平面都与一常向量的一切切平面都与一常向量平行平行.那么曲面在任一点

18、处的法向量那么曲面在任一点处的法向量:,azczbyfaxzyxF )(),(令令那那么么,A nAbczbyfbcczbyfbcb )()(, 0 即即nA 所以所以,一切的切平面均与一切的切平面均与),(bcab 常向量常向量平行平行.0),(: zyxF曲曲面面方方程程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M处的法向量处的法向量:1)( czbyf c n),(czbyfb ,ab取取, c b偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用 例例7 0523zyxzyx8522222 zyx 证证85222),(22 zyxzyxF令令过直线过直线L的平面束方程为的平面束方程为523 zyx即

19、即05)1()2()3( zyx 其法向量为其法向量为)1, 2,3( ,4xFx 2 zF,4yFy 0)( zyx 求过直线求过直线L且与曲面且与曲面相切之切平面方程相切之切平面方程.偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用设曲面与切平面的切点为设曲面与切平面的切点为),(000zyx那那么么过直线过直线L的平面束方程其法向量为的平面束方程其法向量为,4xFx 2 zF,4yFy ,85222),(22 zyxzyxF tyx 21424300 05)1()2()3(000 zyx 8522202020 zyx, 3, 121 tt因此因此7, 321 )1, 2,3( 偏导数在几何上的运

20、用偏导数在几何上的运用过直线过直线L的平面束方程为的平面束方程为523 zyx0)( zyx 故故所求切平面方程为所求切平面方程为7, 321 523 zyx0)(3 zyx或或523 zyx0)(7 zyx即即526 zyx或或56510 zyx偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz 由于曲面在由于曲面在M处的切平面方程处的切平面方程:全微分的几何意义全微分的几何意义,),(),(00的全微分的全微分在点在点yxyxfz 表示表示处处的的在在点点曲曲面面),(),(000

21、zyxyxfz 切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量.切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff 或或)1,( yxff法向量法向量 ,若若表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的并假定法向量的方向是向上的,即使得它与即使得它与z 轴的正向所成的角轴的正向所成的角 是锐角是锐角, 那么法向量那么法向量的的方向余弦为方向余弦为nn) 1 ,(yxff 偏导数在几何上

22、的运用偏导数在几何上的运用由于由于(第三个分量为负第三个分量为负), 求旋转抛物面求旋转抛物面 在恣意点在恣意点P(x, y, z)处向上的法向量处向上的法向量(即与即与z轴夹角为锐角轴夹角为锐角的法向量的法向量).122 yxz解解, 1),(22 yxyxf而而Pyxff)1,( )1,2 ,2( yx).1 ,2,2(yx 为向下的法向量为向下的法向量故向上的法向量应为故向上的法向量应为:偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用轴旋转一周轴旋转一周绕绕由曲线由曲线yzyx 0122322)2, 3, 0(解解12233222 yzx令令12323),(222 zyxzyxF)2,3,0(),(zyxFFF )26, 34, 0( )3, 2, 0(51 )2,3,0()6 ,4 ,6(zyx )3, 2, 0(51n|0nnn 得到的旋转面在点得到的旋转面在点处的指向外侧的处的指向外侧的单位法向量为单位法向量为( ).旋转面方程为旋转面方程为偏导数在几何上的运用偏导数在几何上的运用空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法