高三数学一轮复习阶段性测试题(三)：导数及其应用1

1、阶段性测试题三（导数及其应用）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。第1卷（选择题共60分）、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。）（2011烟台调研）三次函数f（x）=mx3-x在（一00, +oo ）上是减函数，则 m的取值范围是（A.m<0C.m< 0答案A解析f' （x）=3mx2-1,由条件知f(x)W 0 在( 8,+ 0° ）上恒成立,m<0A= 12m W0,1- m<0,故选 A.2.（文）（2011山东淄博一中期末）曲

2、线y=1x3+x在点134 .4处的切线与坐标轴围成的三角 3形面积为（A. 11B.9C.32D.3答案解析，曲线y=1x3+x在点(1, 4)处的切线斜率 k=y' *1= 1 + 1 = 2, 334一一 .k = 2,切线万程为 y-=2(x- 1),即 6x 3y 2= 0,3令x= 0得y=一多,令y=0得x=3（理）（2011辽宁沈阳二中检测）由曲线xy=1,直线y=x, y= 3所围成的平面图形的面积为()32A. 6B. 2ln3C. 4+ln3D . 4ln3答案D_ c 11c解析如图，平面图形的面积为3 y-y dy= 2y2- lny|3 = 4-ln3.1

3、y点评本题考查定积分求曲边形的面积，关键是根据定积分的几何意义把求解的面积归 结为函数在区间上的定积分，再根据微积分基本定理求解.在把曲边形面积转化为定积分时，可以以x为积分变量、也可以以 y为积分变量，如果是以 x为积分变量，则被积函数是以 x为 自变量的函数，如果是以 y为积分变量，则被积函数是以 y为自变量的函数.本题如果是以 x 为积分变量，则曲边形ABC的面积是 一 4" + 4"一"拄,不如以y为积分变量简明.3.（文）（2011陕西咸阳模拟）已知函数f（x） = ax21的图像在点 A（1, f（1）处的切线l与直1线8x y+2=0平行，若数列f的

4、前n项和为Sn,则S2010的值为（）20101005A.2011B.201140202010C.4021D.4021答案D解析(x)=2ax,f(x)在点A处的切线斜率为f (1)=2a,由条件知2a=8,a=4, 1. f(x)= 4x2 1 ,Jf n1 111 _14n2-1-2n-1 2n+ C 2 2n- 1 2n+ 1的前n项和Sn='+工+f 1 f 2-14 -1 1 1 1_ 11_L_L2 1 -3 +2 35 + + 2 2n1- 2n+1_1_J_n _ S _20102 1 -2n+ 1 2n+1'-&010=4021.(理)(2011 辽宁

5、丹东四校联考)设函数 f(x) = ax2+b(aw 0),若 3f(x)dx= 3f(x°),则 xo=()0B. 2D. 2A. 小C.班答案C解析3f(x)dx= 3(ax2 + b)dx00=；ax3+ bx 3= 9a+ 3b.3由 3f(x)dx= 3f(X0)得，9a+3b=3ax2+3b, 0，x2=3,xo= f3.4.(文)(2011山西太原调研)曲线y=x3-3x2+1在点(1, 3)处的切线与坐标轴所围成 的封闭图形的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 5答案A解析y' |x=-1 = (3x26x)|x=-1 = 9, .切线方程为 y+3=9(

6、x+1),即 9x y+6=0,令 x=0 得 y = 6,令 y= 0 得 x= - 1，所求面积 S=；X6X'|=2,故选 A. 323(理)(2011宁夏银川一中检测)求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是()A.S=1(x2 x)dxB.S=1(x- x2)dx00C.S=1(y2-y)dyD.S=1(y-Vy)dy00答案B分析根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.解析两函数图象的交点坐标是 (0,0), (1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在0,1上，x>x2,故函数y=x2与y=x所围成图形的面积 S= 1 (x- x2)dx. 0

7、5. (2011福州市期末、河北冀州期末)已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y= ln(x+ 2) x当x= b时取到极大值 c,则ad等于()A. - 1B. 0C. 1D. 2答案A分析利用导数可求b、c,由a、b、c、d成等比数列可得 ad=bc.解析y' = 九一1,令 V, = 0 得 x=1,当一2<x<1 时，y' >0,当 x>1 时，y' <0,.b=- 1, c=ln(1 + 2)(1)=1, . ad = bc= 1,故选 A.6. (2011黄冈市期末)设aC R,函数f(x) = ex+a e-x的导函数是f

8、' (x),且f' (x)是奇函数，3若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是2,则切点的横坐标为()ln2A . "2-B . ln2ln2C. ln2D.答案C解析(x)=ex ae-x为奇函数，a=1,设切点为 P(x°, y°),则 f' (xo)=exoe 3xo= exo= 2, . xo= ln2.一_ 1 c7. (2011日照倜研)下列图象中，有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a21)x+1(aC R, aw。)3的导数f' (x)的图象，则f(1)的值为()B.D.7C.3答案B解析F(x)=x2+2ax+a21

9、,其图象为开口向上的抛物线，故不是第一个图；第二个图中，a = 0, f' (x)=x21,但已知 aw0,故 f' (x)的图象为第三个图，.f' (0)=0, . . a= ±1,又其对称轴在y轴右边，a = - 1, -f(x) = 1x3-x2+1, - (-1)=-,故选 B. 338. (2011潍坊一中期末)设1 (x)是函数f(x)的导函数，将y=f(xDy=f' (x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()答案D解析A中，当f(x)为二次函数时，f' (x)为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A可以是正确的，同理

10、 B、C都可以是正确的，但D中f(x)的单调性为增、减、增，故 f' (x)的值应为正负正，因此D 一定是错误的.9. (2011北京学普教育中心)若函数f(x) = 2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k- 1, k+1)内不是单调函数，则实数 k的取值范围是()3A. 1, +00)B. 1, 2)C. 1,2)D, |, 2)答案B解析因为f(x)定义域为(0, +8), f (x)=4x-,由f' (x)=0,得x=.据题意， X21k 1<2<k+ 1k- 1 >0解得1Wk<|,选B.10. (2011江西吉安质检)已知曲线方程f(x)=s

11、in2x+2ax(aC R),若对任意实数 m,直线I： x+ y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线，则a的取值范围是()A. ( 8, 1)U(1,0)B. ( 8, 1)U(0, +8 )C. (-1,0)U(0, +8)D. aCR 且 a” aw1答案B解析若存在实数 m,使直线I是曲线y = f(x)的切线，= f' (x) = 2sinxcosx+ 2a=sin2x + 2a, 方程 sin2x+ 2a=1 有解， 1<a<0,故所求 a 的取值范围是( 8, 1)U(0, 十 "选 b.11. (2011彭州中学月考)若关于x的不等式x3-3x2-

12、9x+2>m对任意xC2,2恒成立， 则m的取值范围是()A.(巴7B.( 8, 20C.( 8,0D, 12,7答案B解析令 f(x)=x3-3x2-9x+ 2,则 f ' (x) = 3x2 6x9,令 f ' (x)=0 得 x=1 或 x= 3(舍去).,. f(-1)=7, f(-2)=0, f(2) = 20.，f(x)的最小值为f(2) = 20,故mW20,综上可知应选 B.12. (2011蚌埠二中质检)定义在R上的函数f(x)满足f(4) = 1, f' (x)为f(x)的导函数，已知函数y=f' (x)的图象如图所示.若两正数a, b

13、满足f(2a+b)<1,则的a+2取值范围是（）11_1 ,A. 3，2B. 8, 2 U(3,+8)1C. 2, 3D. (8, 3)答案C解析由 y=f' (x)的图象知，x>0 时，f' (x)>0, x<0 时，f' (x)<0,，y=f(x)在(一巴 0)上单调递减，在(0, +00)上单调递增，两正数a, b满足f(2a+b)<1且f(4)=1,，2a+b<4, 如图，吐2表示点A(-2, 2)与线段BC上的点连线的斜率，其中 B(2,0), C(0,4),a+2. kAB=!，kAc=3, a>0 , b&g

14、t;0, . . !<<<3.22 a + 2第n卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13. （2011四川广元诊断）曲线y=xex+ 2x+ 1在点（0,1）处的切线方程为 .答案y=3x+1解析v' =ex+xex+2, y' |x=0= 3, .切线方程为 y- 1 = 3（x- 0）,即 y=3x+1.14. （文）（2011广东省高州长坡中学期末）函数f（x）= 1+ log2x,f（x）的反函数为g（x）,则g' （2）答案21n2解析由 y= 1+ 1。92*得*= 2y1,

15、，f(x)的反函数为 g(x) = 2x 1, . .g' (x)=2x 1|n2, . . g' (2) = 2ln2.(理)(2011辽宁沈阳二中检测)如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=x+8,则 f(5)+f' (5) =.答案2解析f(5) + f' (5) = (5+8)+(1)=2.15. (文)函数y=11x3ax2 + x 2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是答案一,1)U(1, +oo )解析y =x22ax+1,若函数在 R上单调，应有y' > 0恒成立， 4a2 4W 0,，a2w 1, .1<a&

16、lt;1,因此所求a的取值范围是(一8, 1)U(1, +oo).(理)(2011安徽巢湖质检)定积分2|3-2x|dx=1答案21 1解析2|3 2x|dx= 2 21.5(2x-3)dx = 2(x2 3x)|2.5= 2 ><4=2.116. (2011湖南长沙一中期末)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(aw0),定义：设f(x) 是函数y=f(x)的导数y=f' (x)的导数，若方程f" (x) = 0有实数解xO,则称点(x°, f(x。)为函数 y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对

17、称中心；且拐点就是对称中心.”请你将这一发现为条件，求34+ g 2011 +g 2011(1)函数f(x) = x3-3x2+3x对称中心为 (2)若函数13 12、_51 ntt 12g(x)= 3x 2x+3x12+1，人g 2011 +g20112010+ g 2011 =.答案(1)(1,1) (2)2010解析(1)f' (x)=3x26x+ 3, f (x) = 6x-6,令 6x6=0 得 x=1, f(1) = 1, f(x)的对 称中心为(1,1).(2)令 h(x) = ：x3 12+3x k(x)=-, h' (x)=x2-x+ 3, h(x) = 2x

18、1,由 2x-1 32121X-2=0得x=2, h2g 2T 22+3C，1.，h(x)的对称中心为 2, 1 ,，h(x)+h(1x) = 2,122011' 20111 .20102011.12k(x)+k(1 xF，丽,20102011.又k(x)的对称中心为 了0 ,122010g 2011 + g 2011 + + g 201112201012011 + h 2011 + + h 2011 + k 2011k -2- + k I010 =2010. 20112011三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) .一一1。17.(本小题满分

19、12分)(又)(2011山西太原调研)已知函数f(x) = §x3ax2+(a21)x+b(a, bCR),其图象在点(1, f(1)处的切线方程为x+y3=0.(1)求a, b的值；(2)求函数f(x)的单调区间，并求出 f(x)在区间 2,4上的最大值.解析(1)f' (x)=x22ax+a21,. (1, f(1)在 x+ y3=0 上，. . f(1) = 2,. (1,2)在 y=f(x)上，2=1-a+a2- 1+ b, 3又 f' (1) = - 1, a2-2a+1=0,解得 a= 1, b= |-.3(2)f(x) = 1x3 x2 + |,(x)

20、= x22x,33由f' (x)= 0可知x= 0和x= 2是f(x)的极值点，所以有x( 8,0)0(0,2)2(2, +°° )f (x)十0一0十f(x)1极大值4极小值所以f(x)的单调递增区间是(一8, 0)和(2, +8 ),单调递减区间是(0,2). f(0) = 8, f(2)=3, f(-2)=-4, f(4) = 8, 33在区间2,4上的最大值为8.(理)(2011淄博期末)定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：f(x) 在(0,1)上是减函数，在(1, +8)上是增函数；，(x)是偶函数；f(x)在x=0处的切线

21、与直 线y= x+2垂直.(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)设g(x)=lnx mx,若存在实数xC1, e,使g(x)<f' (x),求实数m的取值范围.解析(1)f' (x)=3ax2+2bx+c, f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,十)上是增函数,f' (1)=3a+2b+c= 0由f' (x)是偶函数得：b = 0又f(x)在x=0处的切线与直线 y=x+2垂直，f' (0) = c= 1由得：a = g，b=0, c= 1,即 f(x)= ：x3x+3. 33(2)由已知得：存在实数xC 1 , e,使lnx-m<x2-

22、1x即存在 x 1 , e,使 m>xlnx x3+x设 M(x) = xlnxx3+x xC 1 , e,则 M' (x)= lnx 3x2+ 2设 H(x)=lnx 3x2+2,则 H' (x)=-6x= 1 - 6x xx. xC1, e, .H' (x)<0,即 H(x)在1, e上递减于是，H(x)WH(1),即 H(x)<- 1<0,即 M' (x)<0 M(x)在1 , e上递减，M(x)>M(e) = 2e-e3于是有m>2e- e3为所求.18.(本小题满分12分)(2011四川资阳模拟)函数f(x)

23、= ax3 6ax2+3bx+b,其图象在x = 2 处的切线方程为 3x+y-11 = 0.(1)求函数f(x)的解析式；一一，1 .一一 .(2)若函数y=f(x)的图象与y = 3f (x)+5x+ m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；(3)是否存在点P,使得过点P的直线若能与曲线y=f(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由.解析(1)由题意得 f' (x)=3ax212ax+3b, f' (2) = - 3 且 f(2) = 54a b = 1,即解得 a=1)b= 3)f(x)= x36x2+9x+1

24、6a+7b=5,12a-24a+3b=-3,8a-24a+6b+b = 5, 3.(2)由 f(x)=x36x2+9x+3 可得，f' (x)=3x2 12x+ 9, 3f' (x) + 5x+m = 3(3x212x+ 9) + 5x+ m= x2+ x+ 3+ m,则由题意可得x3 6x2+ 9x+ 3 = x2+ x+ 3+ m有三个不相等的实根，即g(x)= x3- 7x2+8x m的图象与x轴有三个不同的交点，g1 (x)=3x2-14x+ 8=(3x-2)(x-4),则 g(x), g' (x)的变化情况如下表.2 OO-323M 434(4, 十00)g&

25、#39; (x)十0一0十g(x)7极大值极小值1/1则函数f(x)的极大值为g 2 =68- m,极小值为g(4) = 16m.32 7y=f(x)的图象与y = 3f' (x) + 5x+ m的图象有三个不同交点，则有g2=6-m>0, g 327解得16Vm<67.g 4 = 16 m<0,(3)存在点P满足条件. f(x) = x36x2+9x+3, . f' (x)= 3x212x+9 = 3(x 1)(x-3),由 f' (x) = 0,得 xi=l, x2=3.当 x<1 时，f' (x)>0;当 1<x<

26、3 时，f' (x)<0;当 x>3 时，f' (x)>0.可知极值点为 A(1,7), B(3,3),线段AB中点P(2,5)在曲线y=f(x)上，且该曲线关于点 P(2,5)成中心对称.证明如下：.f(x) = x3-6x2+ 9x+3, . f(4x) = (4 x)3 6(4x)2 + 9(4 x)+3= -x3 + 6x2-9x+ 7, f(x) + f(4-x)= 10,上式表明，若点 A(x, y)为曲线y=f(x)上任一点，其关于 P(2,5)的对称点A(4 x,10y)也 在曲线y=f(x)上，曲线y=f(x)关于点P(2,5)对称.故存在点

27、 P(2,5),使得过该点的直线若能与 曲线y = f(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等.19.(本小题满分12分)(2011烟台调研)已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点 M(1,4),曲 线在点M处的切线恰好与直线 x+9y=0垂直，(1)求实数a、b的值；(2)若函数f(x)在区间m, m+ 1上单调递增，求 m的取值范围.解析(1) .f(x)= ax3+ bx2 的图象经过点 M(1,4), a+ b= 4.f (x)=3ax2+2bx,则r= 3a+2b,由条件 f' (1) ( 9) = - 1,即 3a+ 2b=9,由式解得a= 1, b= 3.

28、(2)f(x)=x3+3x2, f' (x)=3x2+6x,令 f' (x)=3x2+6x> 0 得 x> 0 或 xw2, ' f(x)的单调递增区间为(一00, - 2和0 , +°° )由条件知 m> 0或m+1w 一 2,. . m> 0 或 m< 3.1 + alnx 20.(本小题满分12分)(2011厦门期末)已知函数f(x)=一(aCR). x若函数f(x)在x= 1处取得极值，求实数 a的值；(2)在(1)条件下，若直线y=kx与函数y=f(x)的图象相切，求实数 k的值.,.1 + alnx解析(1)

29、f(x)=-，f' (x) =ax x 1 + alnx a i a1nxx2函数 f(x)在 x= 1 处取得极值，. f' (1)=a 1 = 0,. a = 1经检验，a=1时，函数f(x)在x= 1处取得极值.,-1 + lnx1nx(2)由(1)可知，a= 1 , - f(x)=-，f (x) = - -2, xx设切点A xo,气詈1nxo . k= f (xo)= 一 -2r1 + 1nxo又 k koA=x21 + 1nxo1nxox2x0，1. . exo=e-2,k=.21.(本小题满分12分)(2011华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知函数f

30、(x)=x3+ax2+b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+ y=0平行.(1)求常数a, b的值；(2)求函数f(x)在区间0, m上的最小值和最大值(m>0).解析(1)f' (x)=3x2+2axf' (1)=3+2a= 3, a=- 3f(1) = a+ b+1 = 0,b= 2.(2)f(x)=x33x2+2, f' (x)=3x26x令 f' (x)=0 得,xi=0, x2=2,当 x<0 或 x>2 时，f' (x)>0,当 0<x<2 时，f' (x)<0,.f(x)增区间为(一8

31、, 0)和(2, +8),减区间为(0,2),f(0) = 2,令 f(x) = x33x2+2= 2 得 x= 0 或 x= 3. .f(0)=f(3) = 2,当0WmW2时f(x) min = f(m)= m3 3m2 + 2f(x) max=f(0) = 2当2<mW3时f(x) min = f(2) = - 2f(x) max= f(0) = 2当m>3时f(x) min = f(2) = 2f(x) max= f(m) = m3 3m2+ 2.22.(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)=x33ax23a2+a(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若曲线y = f(x)上有两点A(m, f(m)、B(n, f(n)处的切线都与y轴垂直，且函数 y= f(x) 在区间m, n上存在零点，求实数 a的取值范围.解析(1)f' (x)=3x26ax=3x(x 2a).令 f' (x)=0,得 x=0, x2=2a列表如下：x(00 , 0)0(0,2a)2a(2a, +00 )f' (x)十0一