高等数学竞赛例题选讲汇总

1、201 1 年高等数学竞赛例题选讲精品资料高等数学竞赛例题选讲一、一元微积分（A组考，B组考）例 1 （8 分）、设？Skip Record If.?,试讨论该函数在 ？Skip Record If.?内的可 导性.解：当？Skip Record If.?时,?Skip Record If.?, 1注意到？Skip Record If.?,由夹逼定理得 当？Skip Record If.?时,?Skip Record If.?； 1同理，当？Skip Record If.?时,?Skip Record If.?1显然，当？Skip Record If.?时,?Skip Record If.?可

2、导, 1而?Skip Record If.?时,因?Skip Record If.?, ?Skip Record If.?, 2所以，?Skip Record If.?在？Skip Record If.?时不可导，同理，?Skip Record If.?在?Skip Record If.?时也不可导. 2例 2 （8 分）、设？Skip Record If.?在?Skip Record If.?处具有二阶导数,且有 ?Skip Record If.?, 求？Skip Record If.?. 解：因?Skip Record If.?其中?Skip Record If.?-1贝"Ski

3、p Record If.? 1于是，?Skip Record If.? 2?Skip Record If.?2故？Skip Record If.?. 2例 3 （8 分）、?Skip Record If.?确定了 ?Skip Record If.?,求？Skip Record If.?. 解：?Skip Record If.?时,?Skip Record If.?1由？Skip Record If.?知？Skip Record If.? 2由？Skip Record If.? 知?Skip Record If.? 3?Skip Record If.?.2 例 4 （8 分）、设？Skip Re

4、cord If.?为？Skip Record If.? 的原函数，当?Skip Record If.? 时，?Skip Record If.?,且？Skip Record If.?,?Skip Record If.?,求？Skip Record If.?解：?Skip Record If.? =?Skip Record If.?2?Skip Record If.? ?Skip Record If.? ?Skip Record If.? 2?Skip Record If.?,故？Skip Record If. ?Skip Record If.?-2?Skip Record If.?. -2例 5

5、 （8 分）、计算？Skip Record If.?.解（法一）：设?Skip Record If.?,贝U原式二?Skip Record If？?Skip RecordIf.?3=?Skip Record If.?=?Skip Record If.?, 2而？Skip Record If.?1故 原式二?Skip Record If.?-2 解（二）: 原式=?Skip Record If.? =?Skip Record If.?4=?Skip Record If.?=?Skip Record If.?, 2移项整理得，原式=?Skip Record If.?2 例 6 （8 分）、已知？S

6、kip Record If.?是函数？Skip Record If.?的一个原函数,求 ?Skip Record If.?.解:由题意有?Skip Record If.?-2原式？Skip Record If.?Skip Record If.?3?Skip Record If.?=?Skip Record If.?3例 7 （8 分）、设？Skip Record If.?在?Skip Record If.?内可导，?Skip Record If.?,其反函数为？Skip Record If.?,且满足?Skip Record If.?, （1）求？Skip Record If.?； （2）求？

7、Skip Record If.?. 解：（1）将？Skip Record If.?Skip Record If.?代入？Skip Record If.?,易得 ?Skip Record If.?2（2）令？Skip Record If.?,则有？Skip Record If.?3上式两端关于？Skip Record If.?求导，注意至U ?Skip Record If.?,有？Skip Record If.?2将？Skip Record If.?代入上式，解出?Skip Record If.?.1例 8 （8 分）、已知？Skip Record If.?,且？Skip Record If.?

8、,求？Skip Record If.?解：?Skip Record If.?Skip Record If.?2 ?Skip Record If.?Skip Record If.?2?Skip Record If.?Skip Record If.?2 则？Skip Record If.?Skip Record If.?故？Skip Record If.?. 2例 9 （8 分）、若？Skip Record If.?求？Skip Record If.?与?Skip Record If.?.解：令？Skip Record If.?,则？Skip Record If.?2故有?Skip Record

9、If.?1?Skip Record If.?Skip Record If.?3由上述两式解之得?Skip Record If.? ?Skip Record If.?.-2例 10 （8 分）、（1）证明：？Skip Record If.?（2）利用（1）计算？Skip Record If.?.证明：（1）左？Skip Record If.?Skip Record If.?3移项得？Skip Record If.?Skip Record If.?1（2）原式？Skip Record If.? 1?Skip Record If.?1又？Skip Record If.?2故原式？Skip Recor

10、d If.?. 1例11 （8分）、求曲线？Skip Record If.?与？Skip Record If.?轴所围成图形的面积？Skip Record If.?.解：?Skip Record If.?Skip Record If.?-3?Skip Record If.? ?Skip Record If.?3?Skip Record If.?Skip Record If.?.2 例 12 （10 分）、某函数？Skip Record If.?满足？Skip Record If.?,其所示曲线与一条单调递增的直线？Skip Record If.?在第一象限有唯一交点?Skip Record I

11、f.?,其中？Skip Record If.?.现记曲线？Skip Record If.? 与直线？Skip Record If.?围成的平面区域绕？Skip Record If.?轴旋转一周形成的旋转体体积为 ？Skip Record If.?,而它们与直线？Skip Record If.? 围成的平面区域绕？Skip Record If.?轴旋转 一周形成的旋转体体积为 ？Skip Record If.?,试确定？Skip Record If.?之值，使？Skip Record If.? 达到最小. 解：由题意知？Skip Record If.?1 ?Skip Record If.?1?S

12、kip Record If.? ?Skip Record If.?1?Skip Record If.?2令？Skip Record If.?1由？Skip Record If.?知？Skip Record If.?于?Skip Record If.?上单调递增,- 1于是，?Skip Record If.?时，有？Skip Record If.?1令?Skip Record If.?,得唯一驻点？Skip Record If.?-1由极值的第一充分条件易知 ?Skip Record If.?,即？Skip Record If.?时， ?Skip Record If.? 达到最小.1例 13 （

13、8 分）、就参数？Skip Record If.?,讨论曲线？Skip Record If.?与？Skip Record If.?交点的个数.解：令？Skip Record If.?即？Skip Record If.?,考虑方程？Skip Re cordIf.?1令?Skip Record If.?,1则？Skip Record If.? 及 ？Skip Record If.?1故？Skip Record If.? 有唯一驻点？Skip Record If.?,由可知？SkipRecord If.?是？Skip Record If.?的最小值. 1又注意到?Skip Record If.? 1

14、方程有两解，曲线有两个交点.方程有一解，曲线有一个交点.方程无解，曲线没有交点.当？Skip RecordIf.?时,1当？Skip RecordIf.?时,1当？Skip RecordIf.?时,1例 14 （8 分）、设当？Skip Record If.?时,方程？Skip Record If.?有且仅有一个 根，求？Skip Record If.?的取值范围.解：设？Skip Record If.?,当？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?为减函数- 2又？Skip Record If.?Skip Record If.?=?Skip Record If.

15、?, ?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?,故？Skip Record If？满足题意2当？Skip Record If.?,令？Skip Record If.?,得唯一驻点？Skip Record If.?,由?Skip Record If.?知其为极小点,2若?Skip Record If.?原方程或无解或有两解，仅当 ？Skip Record If.?Skip Record If.?时有且仅有一个根，综上所述，?Skip Record If.?的取值范围为？Skip Record If.?及？Skip RecordIf.?.2

16、例15 （10分）、求使得不等式？Skip Record If.?对所有的正整数？Skip Record If.?都成立的最小的数?Skip Record If.?.解：由?Skip Record If.?解得?Skip Record If.?2令？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?2记？Skip Record If.?,由？Skip Record If.?得？Skip Record If.?,于是？Skip Record If.?从而？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?单调减3注意到？Skip Record If.?,有

17、？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?,则？Skip Record If.?,而？Skip Record If.?,故？Skip Record If.?最小值为?Skip Record If.?.3例 16 （8 分）、设？Skip Record If.?, （?Skip Record If.?）,求？Skip Record If.?.解：?Skip Record If？则数列有下界, 4又？Skip Record If.?,故数列单调减少，易得 ？Skip Record If.?.4例 17 （10 分）、设数列？Skip Record If.?、?Skip

18、 Record If.? 满足?Skip Record If.?, ?Skip Record If.?, ?Skip Record If.? ?SkipRecord If.?,请问？Skip Record If.?、?Skip Record If.?收敛吗？若收敛，求？Skip Record If.?;若发散，说明理由.答：？Skip Record If.? WJ?Skip Record If.?, ?Skip Record If.? 单减有下界2根据单调有界定理知?Skip Record If.? 收敛，1令？Skip Record If.?,在？Skip Record If.?两边取极限得

19、？Skip RecordIf.?,有？Skip Record If.?2先考虑 ？Skip Record If.? ?Skip Record If.?Skip RecordIf.?Skip Record If.?3故？Skip Record If.?,从而？Skip Record If.? 收敛.2例 18 （8 分）、？Skip Record If.?在？Skip Record If.?上由拉格朗日中值定理得中值?Skip Record If.?,求？Skip Record If.?.解：由拉格朗日中值定理得 ？Skip Record If.?,即？Skip Record If.?-3故？S

20、kip Record If.? ?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?.-5二、多元微分学（A组考，B组考）例 1 （8 分）、证明：？Skip Record If.?在？Skip Record If.? 连续.证明：令？Skip Record If.?,则？Skip Record If.?2而？Skip Record If.?2因？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?-2由夹逼定理知：？Skip Record If.?Skip Record If.?,原题得证.2例 2 （8 分）、设？Skip R

21、ecord If.? 连续，？Skip Record If.?,讨论?Skip Record If.?在?Skip Record If.?处的可微性.解：?Skip Record If.?,且？Skip Record If.?2若？Skip Record If.?,因？Skip Record If.?不存在,故?Skip Record If.?不存在，从而?Skip Record If.?在？Skip Record If.?处不可微-1若？Skip Record If.?,则？Skip Record If.?,同理?Skip Record If.?1因？Skip Record If.?,有？S

22、kip Record If.?2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5精品资料故？Skip Record If.?即？Skip Record If.?在?Skip Record If.?处可微. -2例3 （8分）、设工四=。，试确定常数 戊，使 班 ！.dxdy 办力解：=瞋产8 +皿/", 二=琥3皿皿）取dy 72一 武尸一 3：,产L I/二I/丁 dxdy 斗/-3由 =0 , 可得 +工=我/寸（曰一 1） = 口 = 值 二.-3例 4 （8 分）、设？Skip Record If.?二阶偏导数连续，且？Skip RecordIf.?, ?Skip Record

23、 If.?, ?Skip Record If.?,求？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?, ?Skip Record If.?（?Skip Record If.?表示？Skip Record If.?对？Skip Record If.? 的一阶偏导数，其他类推）.解：等式?Skip Record If.? 两端对 x 求导,彳导？Skip Record If.?, ?SkipRecord If.?3这两个等式，对 x 求导得？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?-2由已知条件得？Skip Record If.?,故解得？Sk

24、ip Record If.?, ?SkipRecord If.?.3例 5 （8 分）、设？Skip Record If.?,若？Skip Record If.?为连续函数，求？Skip Record If.?.解：?Skip Record If.?2?Skip Record If.?1?Skip Record If.?2?Skip Record If.?,由对称性知？Skip Record If.?2故？Skip Record If.?.1例 6 （10 分）、已知？Skip Record If.?具有二阶导数，且？Skip RecordIf. .? , ?Skip Record If.?

25、由？Skip Record If.? 所确定，设？Skip Record If.?,求？Skip Record If.?解：在？Skip Record If.? 中，令？Skip Record If.?得？Skip RecordIf.?.1而由？Skip Record If.? 两边对？Skip Record If.? 求导得 ？Skip RecordIf.? 1再对？Skip Record If.? 求导得 ？Skip Record If.?1将？Skip Record If.?代入上面两式得？Skip Record If.?2?Skip Record If.?, 1?Skip Record

26、 If.?2将？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?, ?Skip Record If.? 代入上面两式得？Skip Record If.?Skip Record If.?-2例 7 （10 分）设？Skip Record If.?在?Skip Record If.?内二阶可导,?SkipRecord If.?满足？Skip Record If.?, 若？Skip Record If.?求？Skip Record If.?的函数解析式.解：?Skip Record If.?1?Skip Record If.?2同理？Skip Record If.?1代入？Sk

27、ip Record If.?得？Skip Record If.?,即?Skip Record If.?-3?Skip Record If.?,由?Skip Record If.?彳#?Skip Record If.?于是？Skip RecordIf.?1?Skip Record If.?故？Skip Record If.?.1例 8 （10 分）、已知函数？Skip Record If.?的全微分？Skip RecordIf.?,并且？Skip Record If.?.求？Skip Record If.?在椭圆域？SkipRecord If.?上的最大值和最小值.解：？Skip Record

28、If.?,于是？Skip Record If.?, 2再由？Skip Record If.?,得 C=2,故？Skip Record If.?1令？Skip Record If.?得可能极值点为（0,0），且？Skip Record If.?1 再考虑其在边界曲线？Skip Record If.?上的情形：令拉格朗日函数为?Skip Record If.?, 1解 ?Skip Record If.?1得可能极值点为？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?,且？SkipRecord If.? ?Skip Record If.?, 2可见？Skip Record I

29、f.? 在区域？Skip Record If.?内的最大值为3,最小值为-2.2例 9 （10 分）、当？Skip Record If.? 时，求函数？Skip Record If.? 在条 件？Skip Record If.?上的最大值,并证明对任意的正实数？Skip RecordIf.?成立不等式？Skip Record If.?.解：令?Skip Record If.?Skip Record If.?1有？Skip Record If.?2由？Skip Record If.?,得？Skip Record If.?2代入？Skip Record If.?,得?Skip Record If.

30、?及？Skip Record If.?1可知最大值为？Skip Record If.?1即 ?Skip Record If.?Skip Record If.?,亦即?Skip Record If.?2令？Skip Record If.?,于是？Skip Record If.?.2三、空间解析几何（A组考，B组不考）例 1 （8 分）、设非零向量？Skip Record If.?,求证：?Skip Record If.?.解：左?Skip Record If.?Skip Record If.?右.8例 2 (8 分)、在已知平面?Skip Record If.?: ?Skip Record If

31、.?内,求一直线 ?Skip Record If.?通过已知直线？Skip Record If.?： ?Skip Record If.?与已知平面?Skip Record If.?的交点且垂直于已知直线？Skip Record If.?.解：联立方程组?Skip Record If.?易得？Skip Record If.?与?Skip Record If.?之交点?Skip Record If.?2?Skip Record If.?的方向向量为?Skip Record If.?, 2可求得过?Skip Record If.?点且与已知直线？Skip Record If.?垂直的平面？SkipR

32、ecord If.?方程为?Skip Record If.?.2由题意知，所求直线？Skip Record If.?应为平面？Skip Record If.?与平面？SkipRecord If.?的交线,其方程为?Skip Record If.?. 2例 3 (8 分)、(1)求空间曲线？Skip Record If.?: ?Skip Record If.? ?Skip Record If.?在?Skip Record If.?面的投影曲线？Skip Record If.?的方程;(2)求以？Skip Record If.?为准线，母线与向量？Skip Record If.?=?SkipRec

33、ord If.?平行的柱面方程.解：(1)对？Skip Record If.?,消？Skip Record If.?得投影柱面方程?SkipRecord If.?, 1故投影曲线?Skip Record If.?的方程为?Skip Record If.?2(2)在所求柱面取？Skip Record If.?由题意必有？Skip Record If.?,使得？Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?2有？Skip Record If.?化简得柱面方程?Skip Record If.?.3例4 （8分）求以直线？Skip Record If.

34、?为对称轴，半径？Skip Record If.?的圆柱面方程.解：在圆柱面上任取一点 ？Skip Record If.?,过点？Skip Record If.?且垂直于轴 的平面为?Skip Record If.?2轴方程的参数式为?Skip Record If.?代入平面方程得？Skip Record If.?1故该平面和轴的交点为 Mi?Skip Record If.?1则？Skip Record If.?的长等于半径?Skip Record If.?-1 故由距离公式得?Skip Record If.?.3例 5 （8 分）设？Skip Record If.? 可微，求证：曲面？Ski

35、p Record If.? 的 所有切平面都通过定点.证明：由题意知，？Skip Record If.? Record If.?,故曲面过任一点？Skip Record If.?If.?(？Skip Record If.?注意到向量？Skip Record If.?,?Skip Record If.?, ?Skip切平面的法线向量可选为？Skip Record )(？Skip Record仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9If.?)而？Skip Record If.?在曲面上，故？Skip Record If.?也在曲面上，原题得证.(?Skip Record If.?)例6 （8

36、分）求证：在曲线？Skip Record If.? 的切线中，与平面？SkipRecord If.?平行的切线有且仅有一条.证明：曲线的切向量为？Skip Record If.?,若其与？Skip Record If.? 垂直，则？Skip Record If.?令？Skip Record If.? If.?Skip Record If.? 知？Skip Record If.? 1 又？Skip Record If.?立.22,贝U?Skip Record If.?,且？Skip Record-3在？Skip Record If.?内有且仅有一个非零根,则此根不满足？Skip Record I

37、f.?,故原命题成例 7 （8 分）若点？Skip Record If.? 是光滑曲面？Skip Record If.? 上与原 点距离最近的点，试证：过点？Skip Record If.?的法线必定通过坐标原点.证明：考察条件极值问题 ？Skip Record If.?-1精品资料构造辅助函数？Skip Record If.?, 1按题意？Skip Record If.?在点？Skip Record If.?达到条件极小值，必满?Skip Record If.? 于是向量？Skip Record If.? 与曲面？Skip RecordIf.? 在点？Skip Record If.? 处的法

38、向量？Skip Record If.? 平行，- -5 故曲面？Skip Record If.?在点？Skip Record If.?处的法线通过通过原点.1例 8 （8 分）求函数？Skip Record If.? 在点？Skip Record If.?处沿？SkipRecord If.? 的方向导数，其中？Skip Record If.?为？Skip Record If.?过？Skip Record If.?处的内法向量.解：？Skip Record If.?-3令？Skip Record If.?,贝U?Skip Record If.?可取？Skip Record If.?,-2故?Sk

39、ip Record If.?.3例9 （8分）设？Skip Record If.?确定了修急函数?Skip Record If.?,求该隐函数 在点？Skip Record If.?处方向导数的最大值?Skip Record If.?.解：当？Skip Record If.?时,?Skip Record If.?1设？Skip Record If.?Skip Record If.?1则？Skip Record If.?,于是？Skip Record If.?3故？Skip Record If.?Skip Record If.?.3四、多元积分学（A组考，B组仅考二重积分）例 1 （7 分）计算

40、？Skip Record If.?,其中？Skip Record If.?,且？Skip Record If.?均为常数.解：积分区域D为?Skip Record If.?与？Skip Record If.?的公共部分。取极坐标?Skip Record If.?例 2 （8 分）设？Skip Record If.?,求？Skip Record If.?.解：将区域D分成三块：?Skip Record If.?2贝 U 原式?Skip Record If.?2?Skip Record If.?2?Skip Record If.? ?Skip Record If.? . 2例 3 （8 分）设？S

41、kip Record If.?求？Skip Record If.?,其中？Skip Record If.?.解：记区域？Skip Record If.?, 2?Skip Record If.?2?Skip Record If.?2?Skip Record If？Skip Record If.?. 2例 4 (10 分)若？Skip Record If.?在？Skip Record If.? 内连续，(1) 证明：？Skip Record If.?；(2) 利用上式，求？Skip Record If.?.(1)证明：？Skip Record If？Skip Record If？Skip Reco

42、rdIf.? -3同理，？Skip Record If.?1(2)由(1)知？Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.? ?Skip Record If.?2故？Skip Record If.?2?Skip Record If.?Skip Record If.?.2例 5 (7 分)设 f (r)在0, 1上连续,则？Skip Record If.?.证明：?Skip Record If.?, 2设？Skip Record If.?,则？Skip Record If.?注意到：?Skip Record If.?,于是由夹逼定理可知要证结论成

43、立.5例 6 (8 分)若连续函数？Skip Record If.?满足？Skip Record If.?,求？Skip Record If.?.解：令？Skip Record If.? 1则？Skip Record If.?Skip Record If.?-3?Skip Record If.? 1?Skip Record If.?=?Skip Record If.?. 3例7 (10分)设？Skip Record If.?在单位圆域有连续的偏导数，且在边界上取值为零，而？Skip Record If.?,若 D为圆环域：？Skip Record If.?,求？Skip Record If.?

44、.解：令？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?,贝"Skip Record If.?Skip Record If.?2?Skip Record If.?在单位圆的边界上取值为零，则 ?Skip RecordIf.? 1?Skip Record If.?1?Skip Record If.?2?Skip Record If.?1?Skip Record If.?, ?Skip Record If.?,2故？Skip Record If.?. 1例8 (8分)设函数f (u)连续，在点u = 0处可导，且f(0)= 0, ?Skip RecordIf.?,

45、求？Skip Record If.?.解：记?Skip Record If.?,应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有?Skip Record If.?4于是有？Skip Record If.?. 4 例 9 （8 分）设？Skip Record If.?在？SkipRecord If.?内具有一阶连续偏导数，？Skip Record If.? 是上半平面？SkipRecord If.?内的有向分段光滑曲线，起点为 ？Skip Record If.? 终点为?Skip Record If.?记？Skip Record If.?Skip Record If.?（1）证明曲线积分？

46、Skip Record If.? 与路径无关；（2）当？Skip Re cordIf.?时，求？Skip Record If.? 的值.,?Skip Record满足：在?Skip Record且？Skip Record解：（1）记？Skip Record If.?Skip Record If.?If.?Skip Record If.?,贝U?Skip Record If.?, 于是？Skip Record If.?If.? 时，?Skip Record If.?Skip Record If.?If.?,所以曲线积分？Skip Record If.?与路径？Skip Record If.? 无

47、关4（2）由于曲线积分与路径无关，取 ？Skip Record If.?为从？Skip RecordIf.?至U?Skip Record If.?的折线段，于是?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?2?Skip Record If.?Skip Record If.?2例 10 （8 分）（1）求空间曲线？Skip Record If.?: ?Skip Record If.? ?Skip Record If.?在?Skip Record If.?面的投影曲线？Skip Record If.?的方程;（2）若取上述？Skip Record

48、 If.?为顺时针方向,求?Skip Record If.?.解：（1）对？Skip Record If.?,消？Skip Record If.?得投影柱面方程?SkipRecord If.?2故投影曲线?Skip Record If.?的方程为?Skip Record If.?2（2）原式？Skip Record If.?1?Skip Record If.?Skip Record If.?.3例 11 （8 分）求？Skip Record If.?,其中？Skip Record If.? 圆周？SkipRecord If.?, ?Skip Record If.?的方向为逆时针方向.解：由于？

49、Skip Record If.? 时，被积函数无意义，故？Skip Record If.?所包围的区域不满足格林公式白条件，作一小圆挖去原点？Skip RecordIf.?，作逆时针方向的圆周？Skip Record If.?: ?Skip Record If.?,?Skip Record If.?, ?Skip Record If.?使？Skip Record If.?全部被？Skip Record If.? 所包围，在？Skip RecordIf.?和？Skip Record If.?为边界的区域？Skip Record If.? 内，根据格林公式，有?Skip Record If.?3v

50、 ?Skip Record If.?,故上式为零-3原式?Skip Record If.?$ .£？.-2例12 （10分）设函数？Skip Record If.?在x O y平面上具有连续一阶偏导数, 曲线积分？Skip Record If.?与路径无关，并且对任意的t何有 ?Skip Record If.?,求？Skip Record If.?.解：由曲线积分与路径无关知?Skip Record If.?, -2所以？Skip Record If.?,其中？Skip Record If.?为待定函数。又？Skip Record If.?2?Skip Record If.?2根据题设，有?Skip Record If.? , 1上式两边对t求导，得到?Skip Record If.?,于是知？Skip Record If.?,即？Skip Record If.?, 2故？Skip Record If.?.-1例13 （12分）设？Skip R