高等数学电子教案

1、第一章 函 教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题 中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的

2、类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 基本初等函数的性质及其图形；3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比较；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质。教学难点：1 、分段函数的建立与性质；2 、左极限与右极限概念及应用；3 、极限存在的两个准则的应用；4 、间断点及其分类；5 、闭区间上连续函数性质的应用。§ 1.1 映射与函数一、教学目的与要求：1. 理解函数的概念，掌

3、握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2. 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。二、重点：复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及图形。难点: 复合函数及分段函数.自学: 集合, 映射三、主要外语词汇 :Functionandmapping四、辅助教学情况：多媒体课件第四版（修改）五、参考资料（资料）：同济大学高等数学第五版一、集合1 .集合概念集合（简称集）：具有某种特定性质的事物的总体.用A RC.等表示.元素：组成集合的事物称为集合的元素.a是集

4、合M的元素表示为a?M集合的表示：列举法：把集合的全体元素一一列举出来.例如 A:a, b, c, d, e, f, g.描述法:若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成，则M可表示为A：a1，a2, ;, an,Mx|x具有性质P.例如 M( x, y)| x, y 为实数，x"y2?1.几个数集：N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集.N：0,1,2,n, ：. N：1,2,n,:二二.R表示所有实数构成的集合，称为实数集.Z表示所有整数构成的集合，称为整数集.z：:：, n 二二：，2 10,1,2,Q表示所有有理数构成的集合，称为有理数集.子集：若xA则必有x?B

5、则称A是B的子集,记为A?B（读作A包含于B）或B?A 如果集合A与集合B互为子集，A?B且B?A则称集合A与集合B相等，记作AB.若A?B且A?B,则称A是B的真子集，记作 吗B例如,NZ曝QR.不含任何元素的集合称为空集，记作？.规定空集是任何集合的子集.2 .集合的运算设A B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B 的并集(简称并)，记作A?B,即A?B%x| x叭或 x?B.设A B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为 A与B 的交集(简称交)，记作A阻即A?B?x| x叭且 x?B.设A B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为

6、 A与B 的差集(简称差)，记作A B,即A B?x| x 叭且 x?B.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行，所研究的其他集合A都是I的子集.止匕时，我们称集合I为全集或基本集.称IA为A的余集或补集， 记作AC.集合运算的法则：设A B、C为任意三个集合，则(1)交换律 A 旧?B，AAB?B，A 结合律(A?B ?CA?( BC),( A?B) ?CA?(B?Q;(3)分配律(A?B ?C% A?Q 义 BC),( A?B) ?C( A?C ?(B?Q;(4)对偶律(A?B)C?AC?BC,( A?B)c?AC?BC6旧°演汨°的证明：*?3旧)。乂八汨仪次

7、且x?Bx?AC且x甘1射如：所以(AHC，AC?B.直积（笛卡儿乘积）：设A B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一 个元素y,组成一个有序对（x,y）,把这样的有序对作为新元素，它们全体组成 的集合称为集合A与集合B的直积，记为A?B,即A?B?（ x, y）| x 叭且 y ?B.例如，RR（ x, y）| x?R且y?R即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.3.区间和邻域有限区间：设a<b,称数集x a<x<b为开区间,记为（a, b）,即（a, b） ：x| a<x<b.类似地有a, b ?x| a?x?b称为闭区间,a,

8、 b） ?x| a?x<b、（a, b ?x| a<x?b称为半开区间.其中a和b称为区间（a, b）、a, b、a, b）、（a, b的端点，b?a称为区间的长 度.无限区间：a,二）:x|a：x,（二，b）x|x<b,（:, ：）:x|x|<二.区间在数轴上的表示：邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U（a）.设?是一正数,则称开区间（a?, a?）为点a的？邻域，记作U（a, ?）,即U（a, ：） ：x| a： ：<x<a： ：:x| x：a|< :.其中点a称为邻域的中心，？称为邻域的半径.去心邻域 u(a, ：): u (a,

9、 ：) ：x|0< |x ：a|< :二、函数1 .函数概念定义设数集DR则称映射f:DR为定义在D上的函数，通常简记为y :f (x), x D其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D,即D?D注：(1)记号f和f(x)的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间 的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常 用记号“f(x), x?D'或"y=f(x), x?D'来表示定义在D上的函数，这时应理解 为由它所确定的函数f.(2)函数符号：函数yf(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如 “F”，“？”等

10、.此时函数就记作y?(x), y，F(x).(3)函数的两要素：函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此 构成函数的要素是定义域 D及对应法则f.如果两个函数的定义域相同，对应 法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.(4)函数的定义域：函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实 际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例：求函数yjx的定义域.x解：要使函数有意义，必须x。且x2?4R.解不等式得| x|。2.所以函数的定义域为 Dx| x| ?2,或D(?,2 ?2, ?). 表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法)，这在

11、中 学里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标 平面上的点集P(x, y)l yf (x), x,吗称为函数y?f(x), x?D的图形.图中的R表示函数y?f(x) 的值域.2 .单值函数与多值函数：在函数的定义中，对每个x?D,对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称 为单值函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个x?D,总有确定的y值 与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多值函数.例如, 设变量x和y之间的对应法则由方程x"y2?r2给出.显然，对每个x? ", r,由 方程x2jy2?r2,可确定出对应的y值，当

12、x?r或x?r时，对应y?0 一个值；当x取 (?r,r)内任一个值时,对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数. 对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到 的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，在由方程x2?y2?r2给出的对应法则 中，附加“y?0”的条件，即以“x2，y2?r2且y，0”作为对应法则，就可得到一个 单值分支y=yi(x)=#h;附加“y?0”的条件，即以“。力>2且丫?0”作为对应 法则，就可得到另一个单值分支y=y2(x) =&?二”.3 .分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函 数

13、.注：(1)分段函数是一个函数，而不是两个函数。(2)对分段函数要求会求定义域会画图像，会求函数值。例：函数y=*2 x 0 -x -11 +x x >1这是一个分段函数，其定义域为60,1 ?(0, ?)?0, ?).当 0仅？1 时，y=2及 当 x>1 时，y?1 .乂例如 f(1)=2、1 =.2； f=2、1 =2；f(3) 13 44 .几个特殊函数的例子：例.绝对值函数y斗x|=_； X：0.其定义域为D?(?, ?)，值域为R?0, ?).1x0例.符号函数y=gnx= 0 x斗.其定义域为D( ?, ?),值域为R? ?1,0,1.-1 x <0例取整函数设

14、x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作x. 函数y彳x,其定义域为D?( ?, ?),值域为R?Z.币=0, 2=1, : ：3, ：1 ：1, ：3.5 ：4.5 .函数的几种特性函数的有界性设函数f(x)的定义域为D数集XD,如果存在数K,使对任一 xX有f (x) ?K, 则称函数f (x)在X上有上界，而称K为函数f (x)在X上的一个上界.图形特点 是yf(x)的图形在直线y?K的下方.如果存在数K2,使对任一 x X有f (x) ?K,则称函数f (x)在X上有下界，而称K 为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是，函数y?f (x)的图形在直线y'K2的

15、 上方.如果存在正数M使对任一 x?X有|f(x)| ?乂则称函数f(x)在X上有界；如果这 样的M不存在，则称函数f (x)在X上无界.图形特点是，函数y?f (x)的图形在 直线y；M和yM的之间.函数f (x)无界，就是说对任何M总存在xi ?X使| f (x)|> M例如(1) f(x) ?sinx在(？?，?)上是有界的:|sin x| ?1.(2)函数f(x)=1在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界，无上 x界.这是因为，对于任一 M>1,总有Xi： ?0"<<1,使f(Xi)=工 M ,所以函数无上界.函数f(x)工在(1

16、,2)内是有界的. X(2)函数的单调性设函数yf (x)的定义域为D区间I ?D如果对于区间I上任意两点X1及X2,当X1VX2时，恒有f(X1)<f (X2),则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点X1及X2,当X1<X2时，恒有f(X1)>f (X2),则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例：函数y衣2在区间(？?,0上是单调增加的，在区间0, ?)上是单调减少的，在(?, ?)上不是单调的.(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x?D,则改。D).如果对于任一 x?

17、D有f( ：X) ：f(x),则称f (X)为偶函数.如果对于任一 x?D有f( :x);f(x),则称f (x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称，奇偶函数举例：y 7x2, y vcosx都是偶函数.y次3, y?sin x都是奇函数，y ?sin x?cosx是非奇非偶函 数.(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D如果存在一个正数l ,使得对于任一 x?D有(x?l )?D,且f (x :l) :f (x)则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为l的区间上，函数的图形 有相同的形状.6 .反函数与复合函

18、数反函数：设函数f：Df(D是单射，则它存在逆映射f ?：f(C)?D称此映射f?为函数 f的反函数.按此定义，对每个y f(D),有唯一的x?D使得f(x)，,于是有f ?(y) 乂 这就是说，反函数f?的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.一般地，yf(x), x?D的反函数记成 y?f?(x), x?f(D).若f是定义在D上的单调函数，则f: Df (D)是单射,于是f的反函数f -必定存 在，而且容易证明f ?也是f(D)上的单调函数.相对于反函数yf'"(x)来说，原来的函数y?f (x)称为直接函数.把函数y，?f (x) 和它的反函数yf ?(x)的图形

19、画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y次是对称的.这是 因为如果Ra, b)是y?f(x)图形上的点，则有bf (a).按反函数的定义，有 af 1(b),故Q(b, a)是y f ?(x)图形上的点；反之，若Q b, a)是y f ?(x)图形上 的点，则P(a, b)是y?f(x)图形上的点.而Ra, b)与Q(b, a)是关于直线y?x对称 的.复合函数：复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如 下表述.设函数y f (u)的定义域为D,函数u?g(x)在D上有定义且g(D)?D,则由下式确 定的函数y：fg(x), x-D称为由函数u?g(x)和函数y，?

20、f(u)构成的复合函数，它的定义域为D变量u称 为中间变量.函数g与函数f构成的复合函数通常记为f为，即(f g) fg(x).与复合映射一样，g与f构成的复合函数f，g的条件是：是函数g在D上的值域 g(D)必须含在f的定义域D内，即g( D) ?D.否则，不能构成复合函数.注：不使任何两个函数都可以复合成一个复合函数，内层函数的值域必须包 含在外层函数的定义域内。例如，y?f(u) ?arcsin u,的定义域为?1,1, u=g(x)=2i-x2 在 d=-i,-mi上 有定义，且g(D)?1,1,则g与f可构成复合函数y=arcsin2n ,x?D但函数y?arcsin u和函数u&#

21、39;2，x2不能构成复合函数，这是因为对任x?R, u?2 3x均不在y?arcsin u的定义域?1,1内.多个函数的复合：y=sin2(2+x) , y=u2,u=sinv,v=(2+x)7 .函数的运算设函数f(x), g(x)的定义域依次为D, D2, D?D?D2?,则我们可以定义这两个函数的下列运算： 和(差)f ?g：( f ?g)( x) f (x) ?g(x), x?D积 f -g：( f :g)( x) f(x) :g(x), x：D商工：(f)(x)=X,xQ x| g(x) ：0.g g g(x)例11设函数f(x)的定义域为(？l,l),证明必存在(？l ,l)上的

22、偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x) ：g(x) :h(x).分析如果 f (x) ?g(x) ?h(x),则 f (')？g(x) ?h(x),于是iig(x)= f (x) f (-x) , h(x)= f(x) -f(-x). 22证作 g(x)=1f(x)+f(-x), h(x)=2f(x)f(T),则 f (x) ?g(x) ?h(x),且 g(-x)=-1f (-x) f (x)=g(x) ,1 1h(x) =-f(-x)-f(x) =-f(x) -f(-x) =-h(x).2 25.初等函数基本初等函数：哥函数：y衣?"R是常数)；指数函数：y?ax(

23、a?0且a?1);对数函数：y?log ax(a?0且a?1,特别当a杷时，记为y?lnx);三角函数:y :sin x, y cosx, y:tan x, y cotx, y secx, y cscx;反三角函数:y :arcsin x, y:arccos x, y:arctan x, y:arccot x.初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如yAi_x2 , ysin 2x, y=Jx cot2等都是初等函数.双曲函数:双曲正弦:双曲余弦:x,e -eshx 二2x, e e chx 二2-x一;_x一

24、;双曲正切:shx ex -e , thx =chx ex e *双曲函数的性质：sh（ x ：y） :shx:chy :chx:shy;ch（ x ：y） :chx:chy :shx:shy.2.2.ch x sh x 1;sh2x ：2shx :chx;ch2x :ch2x :sh2x.下面证明 sh(x ：y) ：shx ：chy ：chx ：shy:ex y _e -(x y)=sh(x y).2反双曲函数：双曲函数yWhx, y?chx(x?0), y?th x的反函数依次为反双曲正弦：y :arsh x;反双曲余弦:y 'arch x;反双曲正切：y :arth x.反双曲

25、函数的表示达式：y?arshx是x?shy的反函数,因此,从中解出y来便是arshx.令u ?ey,则由上式有u2 ：2xu ：1 ：0.这是关于u的一个二次方程，它的根为u =x 二.x2 1 .因为u?ey?0,故上式根号前应取正号，于是u =x +v x2 .由于y in u,故得y =arshx =ln（x，一 x2 1）.函数y 7arsh x的定义域为（附？?），它是奇函数，在区间（？?，？?）内为单调增加 的.类似地可得y wrchx =ln（x，. x2-1） y =arthx =1 In 1-x .2 1 -x§ 1 ?2数列的极限一、教学目的与要求：理解数列的极限

26、的概念，性质.二、重点（难点）：极限的概念理解，应用.三、主要外语词汇：limit四、辅助教学情况：多媒体课件第四版（修改）五、参考资料（资料）：同济大学高等数学第五版引例：如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆？首先作内接正四边形？它的面积记为A;再作内接正八边形？它的面 积记为A;再作内接正十六边形？它的面积记为A;如此下去？每次边数加倍? 一般把内接正8X2n?1边形的面积记为A?这样就得到一系列内接正多边形的 面积：A ? A? A3? An?设想n无限增大（记为n?”读彳n趋于穷大）？即内接正多边形的边数无限增 加?在这个过程中？内接正多边形无限接近于圆？同时A也无限接近于某一确定

27、的数值？这个确定的数值就理解为圆的面积他个确定的数值在数学上称为上 面有次序的数（数列） A? A? A?A?当n?时的极限?一、数列的概念？如果按照某一法则门使得对任何一个正整数n有一个确定的 数xn :则得到一列有次序的数X1 ：X2：X3 ”:公 Xn = "这一列有次序的数就叫做数列？记为xn"其中第n项Xn叫做数列的一般项?数列的例子： n -1 ' 2 ： 3 . n1n"1； ' 2 ' 3 ' 4 n-1 2n ：2 ：4 ：8： 2n： 1 11 '1、11 . . . . .12n J ' 2 &

28、#39; 4 ' 8 2n （ ：1）n：1 ：1 ：1 ：1 ：；：（ ：1）n：1：；n n , (-1)n 二 i q 11 -4 n，( -1)n 4 1乙，一m n2 3n它们的一般项依次为nv2n4mn'T： 数列的几何意义 嗷列Xn可以看作数轴上的一个动点？它依次取数轴上的点数列与函数。数列xn可以看作自变量为正整数n的函数？Xn f （n）:它的定义域是全体正整数：数列的极限？定义如果数列？Xn?与常？?有下列关系？对于任意给定的正数?不 论它多么小总存在正整数？?使得对于n?时的一切Xn?不等式 ?°Xn?都成立？?则称常数？?是数列？Xn?的极限？

29、?或者称数列"Xn?收敛 于？?记为? nimxn -a 或 Xn?如果数列没有极限？就说数列是发散的？lim Xn 乂？?0,7N?N?当 n?N 时?有 | Xn?a| n数列极限的几何解释？当n?时，所有点Xn都落在（？?？）内，只有有限 个点（至多只有N个）落在其外，当n越大，点Xn与？的距离越近。二、收敛数列的性质：定理1（极限的唯一性）数列Xn不能收敛于两个不同的极限?定理2（收敛数列的有界性）如果数列Xn收敛？那么数列Xn 一定有界?定理3 （收敛数列的保号性）如果数列Xn收敛于a,且a?0（或a?0）?那么存在正整数N?当n?N时?有Xn?0（或Xn?0）?推论如果数

30、列 Xn从某项起有Xn?0（或Xn?0） ?且数列 Xn收敛于a。那么a ?0（或 a：0）.子数列？在数列Xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 "这样得到的一个数列称为原数列Xn的子数列？例如？数列 Xn ?1 ? 1 ?1倒? （ ?1） n? ?的一子数列为X2n ?1 ?1 ?1 ?（ ?1）2%?定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列Xn收敛于a。那么它的任一子数列也收敛？且极限也是a讨论：1。对于某一正数？0?如果存在正整数 N使得当n?N时。有| xn?a ?0?是否有Xn :a（ n 二）：2 ?如果数列Xn收敛？那么数列Xn 一定有界，发散的

31、数列是否一定无界有界的 数列是否收敛3嗷列的子数列如果发散？原数列是否发散数列的两个子数列收敛但其极限 不同？原数列的收敛性如何发散的数列的子数列都发散吗？4.如何判断数列1 ?1?1 ?1 ?（ ?1）N?是发散的？§ 1。3函数的极限一、教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。二、重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质三、主要外语词汇：limitoffunction四、教学辅助：多媒体课件第四版（修改）五、参考资料（资料）：同济大学高等数学第五版一、函数极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势：X无限接近Xto%?nX从X0的左

32、侧（即小于X0）无限接近X0女女0 ?X从X0的右侧（即大于X。）无限接近*0次*?X的绝对值| X|无限增大取窈X小于零且绝对值|X|无限增大 女？?？X大于零且绝对值|X|无限增大 取咖1 .自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义：如果当X无限接近于X0加数f（X）的值无限接近于常数 A测称当X趋于X0时？f（X）以A为极限？记作lim f（X）叭或 f（X）理当 x?x0）?XX0分析狂x货0的过程中f (x)无限接近于 A就是| f (x) 巴能任意小或者说底x与X0接近到一定程度(比 如I x改。| ?必某一正数)时4f (x) ,利可以小于任意给定的(小的)正数至钳即f (x)见?反

33、之,?对于任 意给定的正数？却果x与x0接近到一定程度(比如|xw|?安协某一正数)就有|f(x)则？?则能保证当 x约时f (x)无限接近于 A定义1设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义如果存在常数 A7对于任意给定的正数 ?不论它多么小)？总存在正数了7使得当x满足不等式0<|x/o|? ?时？对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)利？ 那么常数A就叫做函数f(x)当x、0时的极限 如为lim f (x)=人或f (x)叭当x数)？ x囱定义的简单表述：lim f (x) =A ?0 ?幻?当 0?x%0| ?叫 71f (x)刊？RXf例 1 ：iim c 二c :x7

34、0例 2 ： lim x =刈: xx0例 3 Jim (2x _1) =1 'X 1一， x2 -1例 4 Jim =2 'x-1 x -1单侧极限：若当x .%的f (x)无限接近于某常数 A测常数A叫x ：:0x =0当x，R时的极限不存在x 0做函数f(x)当x.X时的右极限 犯为lim f(x)=A或 f ( x0 ) A：x-1例5函数f(x)=10 x 19这是因为：lim f (x) = lim (x -1) - -1x 0 x )0 lim f (x) = lim (x 1) -1 :lim f(x)吏 lim f (x):x 0 x Q -2 .自变量趋于无

35、穷大时函数的极限设f(x)当| x|大于某一正数时有定义,如果存在常数 A对于任意给定的正数？?总存在着正数X喉得当x满足不等式| x|> X时,次寸应的函数数值f( x)都满足不等式| f(x) A|< 二则常数A叫做函数f (x)当x。射的极限力己为lim f (x)=A f (x) ?A(x ?) ? x-limJ(x)=A可作0瞥| x|水时有| f (x) 3A W,类似地可定义lim *)=人和x .：lim f (x) =A 'x )二结论lim f (x) =A的定义的几何意义x 二?lim f (x) =A ? lim f(x)=A 且 lim f(x)=

36、A? x )：x J.：x ：一般地 灰口果lim f(x)=cU直线y七称为函数y?f(x)的图形的水平渐近线 ？ x,二、函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)如果极限lim f(x)存在哪么这极限唯一 ? xxo定理2(函数极限的局部有界性)如果f (x)叫x%)哪么存在常数 M0和？,彼得当01 x%| ?w 洎| f(x)| W定理3(函数极限的局部保号性)如果f (x),丹x%o).而且A。或A?0).哪么存在常数？加强当0?|x次0| 丁时，有“*)?0(或£(冲？0)?定理3 :1如果f (x)穴x(x0)( AR) 哪么存在点x0的某一去心邻域,在该邻域内,?有|

37、f(x)|>-|A|?推论如果在x。的某一去心邻域内f (x)如(或f (x)勒？而且f (x).附x改。),那么A额或A0)?定理4(函数极限与数列极限的关系)如果当x .殳。时f(x)的极限存在3xn为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列？且满足xn?x0(n?N，) ,哪么相应的函数值数列f (xn)必收敛,咀lim f(xn) = lim f (x) ?n .x w§ 1%无穷小与无穷大一、教学目的与要求掌握无穷小与无穷大概念及无穷小的性质.二、教学重点(难点)：理解无穷小与无穷大关系 三、主要外语词汇：limitoffunction四、教学辅助情况：多媒体课件第四版

38、（修改）五、参考资料（资料）：同济大学高等数学第五版一、无穷小如果函数f （x）当X?Xo（或X?）时的极限为零?那么称函数f（x）为当X?Xo（或 X?）时的无穷小？特别地？以零为极限的数列Xn称为时的无穷小?例如：因为lim 1=0 ?所以函数二为当X?时的无穷小? x）二二 XX因为lim（X_1）=0 ?所以函数为X ?1当X?1时的无穷小?因为 区卷=0 ?所以数列去为当n?时的无穷小?讨论?很小很小的数是否是无穷小？ 0是否为无穷小？提示。无穷小是这样的函数？在X，X0（或X ?）的过程中，极限为零？很小很小的数 只要它不是零？作为常数函数在自变量的任何变化过程中？其极限就是这个常

39、 数本身？不会为零？无穷小与函数极限的关系：定理1在自变量的同一变化过程X ?X0（或X?）中？函数f （x）具有极限A的充分 必要条件是f（X）叭?”其中？是无穷小？例如咽为劈4+*?而Xm2X3=0 ?所以%骁4 ?二、无穷大如果当XX（或X?）时?对应的函数值的绝对值|f（X）|无限增大？就称函数f（X） 为当X*0（或X?）时的无穷大？记为（或!imf（X）H） ?注？当XTXo(或x?)时为无穷大的函数f (x) ?按函数极限定义来说"极限是不存在的？但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大” ？并 记作lim f(x)no (或 lim f(x)=o)

40、? x xx)二二讨论。无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大提示？!im f(x)d?M0?0?当 0?|X?%| ?时?有|f (X)| ?M正无穷大与负无穷大：lim f (x)=二 lim f(x)=-二， x_xox xo(x_. -)(x_)例2证明lim4事？ x1 x -1铅直渐近线：如果lim f(x) 口 ？则称直线x=xo是函数y?f(x)的图形的铅直渐近线？ x及例如？直线x?1是函数y。的图形的铅直渐近线? x -1定理2(无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中"如果f(x)为无穷大?则71T为无穷小？反之.改口果f (x)为无穷小？

41、且f( x) ?0?则.为无穷大？ f(x) f(x)如果 f(x) ?0(x?x°)且 f(x) ?0?贝U?0?0?当 0?| x?x0| ?时？有|f(x)| ?即?所以 f (x) ?(x?x。)改口果 f(x) ?(xTx。)叫U?M0?0?当 0?| x?x0| ?时?有|f(x)|林即？所以f (x)犯(x?x。)、§ 1万极限运算法则一、教学目的与要求：掌握极限运算法则求极限二、教学重点(难点)：熟练应用极限运算法则三、主要外语词汇：limitoffunction 四、教学辅助情况：多媒体第四版课件 五、参考资料(资料)：同济大学高等数学第五版，定理1有限个

42、无穷小的和也是无穷小？例如？当x ?0时，x与sin x都是无穷小？x，sin x也是无穷小?定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小？例如？当x?时？1是无穷小"arctan x是有界函数"所以arctan x也是无穷小？ xx推论1常数与无穷小的乘积是无穷小?推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小？定理 3 如果 lim f (x) ?A?lim g( x) ?B?那么(1)lim f(x) ：g(x) ：lim f (x) ：lim g(x) ：A：B:(2)lim f(x) :g(x) :lim f (x) :lim g(x) :A:B: lim Hx) =limf(x)

43、= A(b；0)；g(x) lim g(x) B'证明(1)泅为lim f (x) 7A?lim g(x)孙根据极限与无穷小的关系？有f (x) A ：g(x)其中？及"为无穷小。于是f (x) ：g(x) ：(A： ：) ：(B： ：) ：(A：B 二(二：):即f( x) ?g( x)可表示为常数(AB)与无穷小(？?)之和“因此lim f(x) ：g(x) ：lim f(x) lim g(x) ：A：B：推论1如果lim f (x)存在？而c为常数？则lim cf (x) ：clim f (x)：推论2如果lim f (x)存在？而n是正整数？则lim f (x) n：

44、lim f (x) n：定理4设有数列 xn和 yn ?如果 nnlim xn =A ' lim yn = B ' n )二.n-那么(1) lim (Xn _yn) =A_B : n :f(2) lim (xn Yn)=A B 'n/二(3)当 yn#0(n?1?2?)且 B?0 时？ lim±=A? n-/-：Yn B定理 5 如果？(x) ?(x) ?而 lim ?(x) ?a?lim ?(x) ?b?那么 a?b?例 1 ：求 lim(2x_1)：解：lim(2x_1)=lim2x -lim1 =2 limx_1=2 1 _1 =1:X_1x_1 x_

45、1 x_1讨论P(x) =a0xn +a1xn十 +an 1x+an ?贝| lim P(x)=? 一x囱提木：lim P(x) =lim (a0xn) lim (a1xn)一 ，lim (anx)lim anx_xox_xox 附x 两 一 x 附二ao(lim x)n a(lim x)n 二， a) ：aoxo :axoan：P(x。)：xxoxx)若 P(x)=a0xn +axn+ +an ?贝！J lim P(x)=P(%) ? x xo例 2 :求 lim .x3-1:x 必 x2 -5x 3解?坐3limx3 -1)limx2 -5x，3)lim x3 -lim 1x 2x2(lm

46、x)3-1lim x2 5lim x lim 3 (lim x)2 5 2 3x )2x )2x )2x )223 -1=_7、22 -10 3 - 3 '提问。如下写法是否正确?3lim x31x -1 x2x2 -5x 3 lim x2 -5x 3x 223 -1= _7、22 -10 3 一一3 'limx心x3 T 呵(x3 T)x2 -5x 3 lim(x2 -5x 3)lim(23 -1)lim(22 -10 3)例3 :求lim守： x 3 x29解：期品:x吗*)=x吗六lim 1.=_x3 =1 :一 lim (x 3) -6x3例4?求xim寻4?解典当二书

47、二0：根据无穷大与无穷小的关系得lim聋之：二 x1 x2 -5x y提问？如下写法是否正确?lim 告*"3)一二:x 1 x2 -5x 4 lim(x2 -5x 4) 0讨论：有理函数的极限lim职二?x 囱 Q(x)当Q(x0)#0时？ 1而的上3?x 4 Q(x) Q(x0)当 Q(x0) =0 且 P(x0),0 时? lim P£ ? x jxcQ(x)当Q X0)?Rx。？0时。先将分子分母的公因式(x?x。约去？例5：求xm沿箓3： 解，先用x3去除分子及分母？然后取极限？3 4 2lim 3x；4x2 2=1imxx3=3:x、；7x35x2 -3 x ：

48、 -5377- 3x x3例 6 :求 lim 3x2 -2： -1 :x f 二 2x3 -x2 5解先用x3去除分子及分母？然后取极限？lim 3x 含 =limx f 二 2x3-x2 5 xf 二解？因为xm翁需=0 ?所以有理函数的极限如黑黑；,色提示：a0xn -a1xn 1 -ann :二 mn =m :例8 :求lim也x : x ： x解？当X?，时?分子及分母的极限都不存在"故关于商的极限的运算法则不能应因为亚=1sinx ?是无穷小与有界函数的乘积？ x x所以lim亚=0 :x ): ： x定理8(复合函数的极限运算法则)设函数y?fg(x)是由函数y?f(u

49、)与函数u?g(x)复合而成f g( x)在点xo的某去心邻域内有定义”若lim g(x) =uo ? lim f (u) =A ?且在 x。的某去心邻域内 g(x) ?Uo?则 x 询uU0lim fg(x) =lim f (u) =A x 於。u w。注?把定理中lim g(x)=u。换成lim g(x)田或lim g(x)田 x_xox_xox )二而把lim f(u)=A换成lim f(u)=A可类似结果？ U_U0u_,例9求lim#三？x 3 - x -3解,y=1=9是由y=石与u1复合而成的'x-3x -3因为lim 上三9 =6 ”所以lim，二29 =lim 丸=灯

50、6X3 x -3x_3 x-3 u 6§ 1为极限存在准则两个重要极限一、教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限二、重点(难点)：极限存在准则，两个重要极限的应用三、主要外语词汇：limitoffunctionExiststandardImportantextremelimit四、教学辅助情况：多媒体课件第四版(修改) 五、参考资料(资料)：同济大学高等数学第五版准则I 如果数列Xn、 9及 Zn满足下列条件？(1) yn：Xn：Zn(n :1 :2 3 :二)：(2) lim yn =a ： lim zn =a ; n ,n那么数列Xn的极限存在？且lim Xn=a

51、 ? nj 二二准则I :如果函数f (x)、g( x)及h( x)满足下列条件？(1) g(x) f(x) :h(x):(2)lim g(x) :A:lim h(x) :A:那么 lim f (x)存在？且 lim f (x) ?A?注如果上述极限过程是x。" ?要求函数在"的某一 邻域内有定义？上述极限过程是x?要求函数当| x| ?M时有定义?准则I及准则I 1，称为夹逼准则?下面根据准则I ?证明第一个重要极限？lim皿=1 ? x Q x证明首先注意到？函数处对于一切x?0都有定义？参看附图？图中的圆为单位 x圆？BCOADAOA圆心角？AOBx(0 8?：)？显

52、然 sin x?CBx?ab ?tan xAD因为S aobS 扇形 aobS ;aod所以2sinx?ix?itanx?即 sin x x :tanx :不等号各边都除以sin x：就有注意此不等式当7X?0时也成立？而lim cosx=1 ?根据准则I ?lim年=1 ? 2x_0X_0 X在极限lim s®中？只要？( x)是无穷小门就有lim犯也=1 ? 二(x)： (x)这是因为？令 U，?(x)?则 U?0 才是 lim sn迎) =limsnu=l ? :(x) u W ulim 孙=1 ：limsin； (x)=i( ：(x) ：0)：x 0 x：(x)例1 :求li

53、m蛔：x 0 xtanx sinx 1 sinx 1用牛 lim =lim =lim lim =1 x )0 x x 0 x cosx x 0 x x_0 COSx例2 :求lim上磬：x )0x2,2sin2-Jim2 x q.x sin 411=lim2x-o. 2 x sin2 2 (f)2解：lim上等：lim 一 x )0x2x0x211,zsinx ¥ 11lim 212 =2x x 22准则II单调有界数列必有极限？如果数列*满足条件x1 x2 ：x3；xn :xn1 ：二二就称数列 xn是单调增加的？如果数列 xn满足条件x1 *2 汰3 ：=二 xn ：xn 1 二

54、：二就称数列*是单调减少的？单调增加和单调减少数列统称为单调数列 如果数列*满足条件xn»n?n?N?在第三节中曾证明？收敛的数列一定有界"但那时也曾指出？有界的数列不一定收敛。现在准则II表明。如果数列不仅有界。并且是单调的？那么这数列的极限必定存在：也就是这数列一定收敛：准则II的几何解释？单调增加数列的点只可能向右一个方向移动？或者无限向右移动？或者无限趋近于某一定点A:而对有界数列只可能后者情况发生：根据准则II何以证明极限lim(1+1)n存在？ n)二 n设Xn =(1 +n)n。现证明数列 Xn是单调有界的？按牛顿二项公式？有11112112 n 1 一T 1(1)(1)(1 -)(1)(1 一) (1) 2!n3n n n! n n n-(1 %)(1 彳)(1 4):(n 1)!