高考文科数学解题策略专题二三角函数与平面向量第四节平面向量与几何的综合应用

1、第四节平面向量与几何的综合应用平面向量与几何的综合应用内容为每年高考必考内容，多以选择题(填空题)形式考查平面向量相 关概念的几何意义及与平面几何知识的综合应用，或作为题设条件与解析几何知识综合以解答题形式出 现，分值在4-12分左右；难度系数在 0.30.6之间.考试要求 理解平面向量的概念、两个向量平行或共线及相等的几何意义；掌握向量的加减法运算 及数乘运算几何意义，了解向量线性运算的性质及其几何意义；了解平面向量基本定理及其意义； 理解平面向量的数量积的含义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，能用数量积表示两向量的夹 角，会用数量积判断两向量的垂直关系；会用向量方法解决简单的平面几何

2、问题和简单力学问题及其 他一些实际问题 题型一平面向量加减法及数乘运算的几何意义应用(1,2),则()uuuu uuu uuu例1已知O, A,M ,B为平面上四点，且 OM OB (1 )OA,A .点M在线段AB上B .点B在线段AM上C.点A在线段BM上D. 0、A、M、B四点共线在VABC中，点D在AB上，CD平分uuuACB.若 CBr uur r r ra , CA b , a 1, buuur2 ,则 CD ()A.1a32b 32 r11rB.- a b333r 4rC. a b554rD.- a3b 5点拨：考查了平面向量的加减法运算，利用数乘运算几何意义根据(1,2)来判断

3、点M的位置：考查向量的基本运算和三角形的角平分线定理，关键在于确定点D在AB上的位置，由角平分线定理得出D为AB的三等分点，结合向量的基本运算求解；uuuuuuuuuuuuuuuruuu解：选B.根据题意知OMOBOAOA(OBOA)uuur uur即AMAB.由(1,2)判断出点M在线段AB的延长线上，即点uuu uuur uuuOA,则 OM OAB在线段AM上;uur uuu (OB OA),选B.因为CD平分 ACB,由角平分线定理得ADDBCA 2一,所以D为AB的三等分点，且CB 1uuurAD2 uuu2 uuuuur uuuruuuuuur-AB(CBCA),故 CDCAAD3

4、32 uuu1 uuu2 r1 rCB- CA a一 b;3333易错点：没有根据(1,2)来判断点M的位置；同学对角平分线定理不熟悉，导致求解出错uuuuuuruuuuruuuuur uuur变式与引申1已知 ABC和点M满足MAMBMC0,若存在实数 m使彳# ABACmAM成立，则m=()A. 2B. 3C. 4D. 5uuruuur uuu uuu uur uuu2.设 D,E,F 分别是 ABC 的三边 BC、CA、AB上的点，且 DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB,则uuur uuu uuuruuuAD BE CF 与 BC ()A.反向平彳TB.同向平行C.互相垂直D.

5、既不平行也不垂直题型二平面向量基本定理及数量积的几何意义应用 例2 ：在正六边形 ABCDEF中，点P是 CDE内(包括边界)的动点，若 uuu uuu uuur AP AB AF ( , R),则的取值范围是 ；uuu r已知OA auuirr uuur ruuiruuuurrr r r irOB b,OC c,OD d , OE e,设 t R,如果 3a c , 2b dr rt(a b),那么t为何值时，C,D,E三点在一条直线上？点拨：利用平面向量基本定理和向量加法的平行四边形法则，通过画图数形结合解出，或者用平面向 量基本定理及线性规划的知识来解出；向量个数较多，应选准一对作为基底

6、，利用平面向量共线充要 条件列出方程求解；解：方法一，的取值范围是 3,4 .从特例试一试，当点P与C重合时（如图2 4 1）,过点C作AB和AF （即ED和CD）的平行线得 YAGCF，易知2,所以 时，3；同理点P与E重合时，也可以得3;点P与D重合2,所以方法二，如图24 2建立直角坐标系，设六边形的边长为别是 A( 1, a B(1,邪)、C(2,0)、D(1,® E(令P（x, y），那么uuu由APuuuAB有x 2必在直线uuuAP (x uuur AF得x, y .3_ uuruuur1,y .3), AB (2,0), AF1,e)、F( 2,0) (1,3).9

7、y串书，二者联立J3.因为点P在 CDE内（包括边界），所以点DE和CD的下方,同时在直线 CE的上方，求出直线 CD和CE的方程,根据线性规划知识得到点y满足的约束条件是：y,3、3(x'.3T(x2)2)(21, .3；作图验证可知,当点p与c重合时,C2,各个顶点的坐标分uuuAC确定,DA B 图2 4 11 , E点P与D重合时，2 ,即4.所以uuiru rr r uuur rr由题设知，CDd c2b 3a,CEe c (t3)auuuuuurr rr是存在实数k,使得CEkCD ,即(t3)a tb3kar rrr3则有若a,b共线，则t可为任意实数；若 a,b不共线,

8、rtb ， r的取值范围是3,4述，当a,b共线时，则t可为任意实数；当a,b不共线时,GECABD P -小y图2 4 2x, y分别换成3；C,D,E三点在一条直线上的充要条件2kb ,整理得(t 3 3k)a3 3k 0后、小 ,解之得，tt 2k 065r(2k t)b ,6-.所以综上所5易错点：对平面向量基本定理概念不清晰，利用向量加法进行平行四边形法则作图不到位,判断的取值出错；不能正确选准一对向量来作为基底去表示 论；uurCEuurkCD ,没有对a,b是否共线进行分类讨变式与引申3：已知在平面直角坐标系中，A（ 2,0）, B（1,3）。为原点，且OM OA OB,（其中1

9、,均为实数），若N （1, 0）,则|MN |的最小值是uuu4.已知 OA =1 ,uur uuu uuuOB = V3 , OA OB =0，点 C 在 AOB 内，且uuur uuu uurAOC =30 ,设 OC=mOA nOB（m,n R）,则 m 等于（）A. 1B.3C.gD. . 3题型三 平面向量与平面几何综合的问题例3 :已知 ABC中，过重心G的直线交AB于P ,交边AC于Q ,设 APQ的面积为S1ABC的面积为uuu uuu umruuurS2, AP pPB , AQ qQC ,则pqp 1_ S1 ,士的取值范围是S2,已知圆PA, PB为该圆的两条切线,umv

10、 uuvA、B为两切点，那么 PA PB的最小值为（A. 4 夜B. 3 72uuu r uuir r uuur uur点拨：令 AB a, AC b,AP1a, AQC. 4 272D. 3 242r uuiruur2b,PQPG,通过引入中间变量根据三角形的重心和平面向量的基本定理演算出p和q之间的关系式；用uurr uuuAPB的三角函数形式表示出 PA PB ,再使用均值不等式得到答案；或者建立适当的坐标系，使用向量数量积的坐标运算形式求解解： _pq_ 1.SLp q 8uuuri r r uuurAG -(a b),又 PG 3uuur共线，所以PQ4 i uurr r uuur

11、.,).设 AB a, ACr uur r uur rb, AP ia,AQ2b,因为G是 ABC的重心，故uiur uuri rAG AP (1)a3uuuriPG，即(1 i) 3i r uur uiur uurrb, PQ AQ AP3ri r ria (-2)b 0 ，3r r uuu uuu2b a因为PG与PQr r又a与b不共线，i .i所以（-i） i及2 ,消去，得i333 =金(z,那么-3-1 4 3AB AC sin ZSAC-用工 三- - , 当 F 与 X 重 合时.3z, -1 y 1 人19 七4=L当F位于上必中照时，上1 1 ,：=j欲4厘二口，故3,nJ

12、 -T X只因为尸与S不能重合,选D.方法一：如图2 4 4,令APB ,0uurPA12()costan 22cos一(12.2 sin2sin2 -)(1 sin2 2)(1 2sin22).2sin 2令 x sin2 -,0 21,uurPAuuuPB(1 x)(1 2x) 2x 13uuuPB2 x2 y1,方法二：以圆心O的坐标原点，以OP为x轴，建立坐标系：圆的方程为设 A(x1，yi), B(x1,yj P(xo,0)uuu uuuPA PB (% x。，%)(X 5,y1)2x12%2x0y2，由uuurAOuuuPA(xi, yi)(xi xo,yi)2x1x1x02y10

13、xxo1所以有ULUPAuuu 9PB x122x1x0 x022x12 x2 (1 x2)242 3.易错点：没有正确引入中间变量使得p和q之间的关系式运算出错：对uuu uuuPA PB的三角形式化简方向偏离正确结构或建立坐标系没有利用uur uuuAO PA得出x1x0 1 ,难以继续演算.受苴与引用5=goog合肥一中)。是平面上一定点，丛艮c是平面上不共线的三个点动点F滴足而二及十上上出C的，)A.外心 B.内占国如图聿扇的旦径一出=4,。为圆心，C是圆弧上不同于X；£的任意式一点，若尸为牛役。C上的动点，贝h：可两定的最小值是题型四平面向量与圆锥曲线综合的问题222例4：

14、如图2 4 6,已知双曲线C：彳 夫 1 (a 0, b 0),直线I1： x 旦-与一条渐近线 a bc点M,F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.uuuu uuur证：OM MF ；uuur品若MF 1 ,且双曲线C的离心率e ,求双曲线C的方2在的条件下，直线l3过点A(0,1)与双曲线右支交于不同的两uur uurP,Q,且P在A,Q之间，满足 AP AQ,试判断的范围，12交于程；占八、并用代数方法给出证明.2【注】考虑课程标准和教材关于双曲线的准线方程不作要求，所以题目里给出的直线11: x实际上就是双曲线的右准线.uuuu uJLT由题意写出点 M,F的坐标，判断 OM MF 0即

15、可;uuur由离心率和 MF1建立关于a,b方程组求解出a,b的值;由题意可初步猜想出 01,用直线与圆锥曲线的位置关系来进一步推证解:因为11： x2,渐近线 ca2 ab _ _ 一12： y Bx；所以 M (a-,ab),又 F(c,0),2.2a b ,uuuu OMa2 ab(一，一)c cuuur MF(cab一)b2L，cab) cuuuu OMUULTMF2, 2a bc2, 2a bc0,uuuu所以OMUULT MF .6UULTMF2, 2a b2 c22b (b2 ca2)1 ,解得b2 1即所求的双曲线C的方程为:由题意可得.证明：设kx 1 ,点 P(x1,y)Q

16、(x2,y2)2y2y kx 1联立消去y得出方程：(1_222k )x4kx 40 ,因为13与双曲线C右支交于不同的两点P,Q得出不等式组:2k2 0_ 2=16k16(14k2k2),2X1X2X1X21 2k241 2k2化简得k2(x1，y1 1)(x2, y21)成立(1)2_ 24(1 2k )4k22k2 122k2 1因为解得02k2故(1uuuAPLuurAQ ,有)x24k1 2k22X21 2k2消x2得22k ，有 0 2k 2(1得出-1,根据题意知 P在A,Q之间，所以 的取值范围是(0,1).易错点：在第问中字母的代数式运算出错，解得且1之后，不结合题意分析的取

17、值范围16k211成立,uuur2 uuuu2变式与引申7已知定点A （-1,0）和B （1,0）, P是圆（x 3）2 （y 4）24上的一动点，则 PA PB的最大值是 ;最小值是 本节主要考查 知识点有平面向量的加减法、向量共线定理、平面向量的基本定理、向量的数量积的几何意义及运算，平面向量平行和垂直位置关系；演绎推理能力、运算能力、创新意识；数形结合 思想、函数、不等式思想、分类讨论思想、化归转化思想和应用向量法分析解决问题.点评 认识向量的几何特性.对于向量问题一定要结合图形进行研究，掌握平面向量相关概念的几何意义，正确地运用向量的各种运算来处理向量与几何的综合应用问题（如例1、例2

18、）,要善于利用向量数”与形”两方面的特征；理解向量数量积的定义、运算律、性质几何意义，并能灵活应用处理与向量的夹角、模长和垂直的相关问题；平面向量能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，注意向量在知识的交汇点处命题，要关注平面向量与三角形等平面几何知识相结合的综合问题（如例3）及平面向量作为解析几何问题的已知条件与之交织在一起的综合问题（例4）;平面向量重视考查综合能力，体现了向量的工具性及学生分析问题、解决问题的能力，学生要善于运用向量方法解题，树立运用向量知识解题的意识；知晓三角形五心”向量形式的充要条件，设 。为 ABC所在平面上一点，角A, B,C所对边长分别为a,b,c,

19、则。为 ABC的外心uuu2 uuu2 uur2OA OB OC ;。为ABC的重心uun uuu uuur rOA OB OC 0；。为ABC的垂心uuu uuu uuir uurOA OB OB OCuur uuuOC OA；。为 ABC的内心uuu uuu uiur raOA bOB cOC 0 ；。为ABC的 A的旁心uuu uur uuuraOA bOB cOC ；习题2 4uuuuur uuur ab1,已知非零向量 AB与AC满足(-uuu- |AB|uurAC uuu-huh) - BC =0, |AC|uuu 且福 |AB|uuurAC 1 一-utur =,则ABC为()|

20、AC| 2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形2.设P为uur 3 uuuABC内一点，且 AP -AB 41 tuur AC,则 ABP的面积与 ABC面积之比为 （）5A.B.C.D.3 .已知0 ,关于X的函数yr(ab）x在R上有极值，则a与b夹角的范围4 .在平面直角坐标系xOy 中，点 A(1, 2)、B(2,3)、C(- 2,-1)o（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;（2）设实数t满足（AB tOC ） OC =0,求t的值.2.一 x25.已知椭圆一 9b OAOB.y- 1 ,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A

21、、B两点，a (3, 1),3(1)判断a与b是否共线;(2)设M为椭圆上任意一点，且 OM OA OB ( , R),证明：22为定值.空西引申1舄选风方法一:由益-工？=花而，知通-诟十沅-豆I=一国3£九1 =J. j解得-所以(ff? - 1ZB + 3/C = 0 即 m-方法二,因为立5+初+近二G, 3rUA -7+75-Zu7+JC-Ti7 = d ep- AC = 3HAj所以前=3,故选B；二解二选A,由已知云 =2万.江=2笆，万=J而,得罚就十二万 武,BE = -BC-Ba 式，CF =-CB式，以上三个式子相加得二AD+BE-CF = 耽、故选 A.变式与

22、引uuuu申3：解：MN的最小值是uuuu 由OMuuuOAuuuOB及1知，点M与点A、B共线,uuuu所以MN的最小值是点N到直线AB的距离，在Rt ABN中求解得uuuuMN最小值是3、. 22uuu4解：选B.由已知OAuur1,OBuuu uuu3,OA OB0,判断出点C在AB上，且 AOC 30°,设A点坐标为(1, 0), B点的坐标为3C点的坐标为(x, y)=(-4、3T)建立方程解出m变式与引申5：取BC中点D uuin ABuuu34，解:1_一，所以4选c.如答uuum一二3, n2 4 1 ,过 A 作 AH uur uuur由题意知 sinB| AB 尸

23、sinC|AC|=|AH |sin B| AB |uuu uuur 又因为AB ACuurAC uuku-= sin C| AC |uuur uur = 2AD ,得 APuuu, AB(uuu|AH |2 uuur|AH |uuurAC uuu-utu-),即 AP|AH |uuurADBC于H点, uuu uuu OP OA =uuu uurAB ACuuur|AH |所以P的轨迹一定通过ABC的重心.uuu uur uuur6解：最小值为 2.如答图2 4 2, (PA PB) PCuuur uuur2PO PCuurUUUT2 PO PCuuuuuu uuuOC =2uuurPOuuu

24、rPCuuur2 ,等号在POuuurPC,即P为OC的中点时成变式与引申7解:（分析：因为O为问题转化为求向量uuuOAuur(1,0), OBPA22PB的最大值为100,最小值为20.uuu uuu uuuuAB的中点，所以PA PB 2PO,故可利用向量把uuuOP的最值）如答图 2-6,设圆心为C,由已知可得:uur (1,0) OAuur OBr uur0,OAuuirOB 1,又由中点公式得uuuPAuuuPBuuur所以uuu 2 PAuuuPBuuu(PAuuu cPB)uuu 2PAuuuPBuuur 2 =(2 PO)2uuu 2(OAuurOP)uuu (OBuuuuu

25、ur 2OP) =4 POuuu 2OAuuuOBuur 2 2 OPuur2OPuuu uur(OA OB)uur 2 =2 OPuuur2 ;又因为OC（3,4）点P在圆（x3)2(y 4)24上，所以uuurOC5,C2,且uuuOPuuurOCuuuCPuuur 有 OCuuuCPuuurOPuuurOCuuuCPuurOCuuuCPuuurOCuuuCPuuurOCuuuCPuuuOP7,20uuu 2PAuuu 2PBuuu2 OP .22100所以I PA PB的最大值为100,最小值为20.习题2-41.选uuuD.非零向量与满足（晶 | AB|uur AC uur ) |AC|uuiuBC =0,即角 A的平分线垂直于BC,所以 AB=AC,又uurABLi-ui-uuur|AB|uuurAC = 1,所以 cosA -| AC| 2A=,故 ABC为等边三角形;32.选C【解析】如图，过P 作 PM/AC, PNI/ AB,uuu因为AP3 uuu 1 uuur -AB -AC ,所以N为AC靠近A的五等分点，所以连接CP并延长,交AB于Duuuuuiruur则 CP 4PD ,故 CDuuur5PD ,则 ABP的面积与ABC面积之比为-3 .夹角范围为（一,3.对函数f(x)根据题意有a2r4ab cos0,解得cosr r，所